第八章第7講空間向量在證明空間位置關系中的應用

1、 第 7 講 空間向量在證明空間位置關系中的應用 1．直線的方向向量與平面的法向量的確定 (1)直線的方向向量：在直線上任取一非零向量作為它的方向向量． (2)平面的法向量可利用方程組求出：設 a，b 是平面 α 內兩不共線向量，n 為平面 α 的法向量，則求法向量的方程組為? ? ? ? ?n· a＝0，n· b＝0.2．用向量證明空間中的平行關系 (1)設直線 l1 和 l2 的方向向量分別為 v1 和 v

2、2，則 l1∥l2(或 l1 與 l2 重合)?v1∥v2. (2)設直線 l 的方向向量為 v，與平面 α 共面的兩個不共線向量為 v1 和 v2，則 l∥α 或 l?α?存在兩個實數 x，y，使 v＝xv1＋yv2. (3)設直線 l 的方向向量為 v，平面 α 的法向量為 u，則 l∥α 或 l?α?v⊥u. (4)設平面 α 和 β 的法向量分別為 u1，u2，則 α∥β?u1∥u2. 3．用向量證明空間中的垂直關系 (

3、1)設直線 l1 和 l2 的方向向量分別為 v1 和 v2，則 l1⊥l2?v1⊥v2?v1· v2＝0. (2)設直線 l 的方向向量為 v，平面 α 的法向量為 u，則 l⊥α?v∥u. (3)設平面 α 和 β 的法向量分別為 u1 和 u2，則 α⊥β?u1⊥u2?u1· u2＝0. 1．利用? ? ? ? ?n· a＝0n· b＝0 ，列出關于 n＝(x，y，z)的方程組，即由 x，

4、y，z 為未知數的兩個三元一次方程組成的不定方程組，根據其特點令其中一個為非零實數．即可求出其它兩個． 例如令 z＝z0(z0≠0)．可求出 x＝x0，y＝y0，則法向量 n＝(x0，y0，z0)． 2．利用向量方法求解立體幾何問題，最后將向量關系“翻譯”成幾何元素關系． 1．(選修 2－1 P118A 組 T7 改編)已知向量 a＝(1,1,0)，b＝(－1，0,1)．若 ka＋b 與 2a－b垂直，則 k 的值為( ) A.15

5、 B.25 C.35 D.45 解析：選 D.ka＋b＝k(1,1,0)＋(－1,0,1)＝(k－1，k,1)， 2a－b＝2(1,1,0)－(－1,0,1)＝(3,2，－1)， 因為 ka＋b 與 2a－b 垂直． ∴(k－1，k,1)· (3,2，－1)＝0， 即 3k－3＋2k－1＝0， ∴k＝45，故選 D. 2． (選修 2－1 P104 練習 T2(3)改編)已知平面 α， β 的法向量分別為 n1

6、＝(2,3,5)， n2＝(－3,1，－4)，則( ) A．α∥β B．α⊥β 證明：取基底{DA → ，DC → ，DD1 → }＝{a，b，c}，由題意有EC →＝ED → ＋DC → ＝－12c＋b， EF →＝ED → ＋DF → ＝－12c＋12a＋12b. GD1 → ＝GA1 → ＋A1D1 → ＝－a＋12c， 設GD1 → ＝λEC →＋μEF →. 即(－a＋12c)＝λ(－12c＋b)＋μ(－12c＋12a

7、＋12b)， ∴? ? ? ? ? －1＝12μ，0＝λ＋12μ，1 2＝－12λ－12μ.解得 λ＝1，μ＝－2. 即存在 λ＝1，μ＝－2，使GD1 → ＝EC →－2EF → ， 即GD1 → 、EC →、EF →共面．又 GD1?平面 EFC. ∴GD1∥平面 EFC. (提示：此題還有其他兩種證明方法：①建立空間直角坐標系，求出 EFC 的法向量 n，證明 n⊥D1G → ；②連接 GB 與 BD1，證明平面 GBD1∥平

8、面 EFC.) 利用向量法證明平行問題 已知正方體 ABCD- A1B1C1D1 的棱長為 2，E，F 分別是 BB1，DD1 的中點．求證：FC1∥平面 ADE. [證明] 如圖所示，建立空間直角坐標系 D- xyz， 則有 D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2，2,1)，F(0,0,1)． FC1 → ＝(0,2,1)，DA → ＝(2,0,0)，AE →＝(0,2,1)． 設 n＝(x