第八章 空間解析幾何與向量代數(shù)

1、第八章 空間解析幾何與向量代數(shù),第一節(jié) 向量及其線性運算,第二節(jié) 數(shù)量積 向量積 *混合積,第三節(jié) 曲面及其方程,第四節(jié) 空間曲線及其方程,第五節(jié) 平面及其方程,第六節(jié) 空間直線及其方程,一、向量概念,二、向量的線性運算,三、空間直角坐標系,四、利用坐標作向量的線性運算,五、向量的模、方向解、投影,§8.1 向量及其運算,表示法:,向量的模 :,向量的大小,,一、向量的概念,向量:,(又稱矢量).,,既有大小

2、, 又有方向的量稱為向量,向徑 (矢徑):,自由向量:,與起點無關(guān)的向量.,起點為原點的向量.,單位向量:,模為 1 的向量,,零向量:,模為 0 的向量,,有向線段 M1 M2 ,,或 a ,,,,,,規(guī)定: 零向量與任何向量平行 ;,記作,因平行向量可平移到同一直線上,,故兩向量平行又稱,兩向量共線 .,若 k (≥3)個向量經(jīng)平移可移到同一平面上 ,,則稱此 k,個向量共面 .,,,,,,,,,,,,,,二、向量的線性運算,1.

3、向量的加法,三角形法則:,平行四邊形法則:,,,,,,運算規(guī)律 :,交換律,結(jié)合律,三角形法則可推廣到多個向量相加 .,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2. 向量的減法,,,,,,三角不等式,,,,,3. 向量與數(shù)的乘法,? 是一個數(shù) ,,規(guī)定 :,可見,總之:,運算律 :,結(jié)合律,分配律,因此,,定理1.,設(shè) a 為非零向量 , 則,,,(? 為唯一實數(shù)),,,,點P,= xi,實數(shù)x,軸上點P的坐標為x的充分必要條件是,= x

4、i,直線上點的坐標,平面上點的坐標,點M,,向量,軸上點M的坐標為（x，y）的充分 必要條件是,,向量,,,,,,,,,三、空間直角坐標系,由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則,組成一個空間直角坐標系.,坐標原點,坐標軸,x軸(橫軸),y軸(縱軸),z 軸(豎軸),過空間一定點 o ,,,坐標面,卦限(八個),zox面,1. 空間直角坐標系的基本概念,向徑,在直角坐標系下,坐標軸上的點 P, Q , R ;,坐標面上的點 A , B ,

5、C,點 M,特殊點的坐標 :,有序數(shù)組,,,,,,,,(稱為點 M 的坐標),原點 O(0,0,0) ;,,,,坐標軸 :,,,,坐標面 :,,2. 向量的坐標表示,在空間直角坐標系下,,設(shè)點 M,則,沿三個坐標軸方向的分向量.,,,,,,,,,,的坐標為,,,,,四、利用坐標作向量的線性運算,設(shè),則,,,,,,平行向量對應(yīng)坐標成比例:,例2.,求解以向量為未知元的線性方程組,,解:,①,②,2×① －3×② , 得

6、,代入②得,例3. 已知兩點,在AB直線上求一點 M , 使,解: 設(shè) M 的坐標為,如圖所示,,,,,,,,,,,及實數(shù),得,即,,,,,,說明: 由,得定比分點公式:,點 M 為 AB 的中點 ,,于是得,中點公式:,五、向量的模、方向角、投影,1. 向量的模與兩點間的距離公式,則有,,,,,,,,由勾股定理得,因,,,,得兩點間的距離公式:,對兩點,與,,,,,例4. 求證以,證:,即,為等腰三角形 .,的三角形是等腰三角形 .,

7、,為頂點,,例5. 在 z 軸上求與兩點,等距,解: 設(shè)該點為,解得,故所求點為,及,思考:,(1) 如何求在 xoy 面上與A , B 等距離之點的軌跡方程?,(2) 如何求在空間與A , B 等距離之點的軌跡方程 ?,離的點 .,提示:,(1) 設(shè)動點為,利用,得,(2) 設(shè)動點為,利用,得,且,例6. 已知兩點,和,解:,求,,,,,,,2. 方向角與方向余弦,設(shè)有兩非零向量,任取空間一點 O ,,,,,,稱 ? =∠AOB (0

8、≤ ?≤ ? ) 為向量,,的夾角.,,類似可定義向量與軸, 軸與軸的夾角 .,與三坐標軸的夾角? , ? , ?,,,,,,為其方向角.,方向角的余弦稱為其方向余弦.,,,方向余弦的性質(zhì):,例7. 已知兩點,和,的模 、方向余弦和方向角 .,解:,計算向量,,,,例8. 設(shè)點 A 位于第一卦限,,解: 已知,角依次為,求點 A 的坐標 .,則,因點 A 在第一卦限 ,,故,于是,故點 A 的坐標為,向徑 OA 與 x 軸 y 軸的夾,