概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率歷史介紹

1、1一、概率定義的發(fā)展與分析一、概率定義的發(fā)展與分析1.古典定義的歷史脈絡(luò)古典定義中的“古典”表明了這種定義起源的古老，它源于賭博博弈的形式多種多樣，但是它們的前提是“公平”，即“機(jī)會(huì)均等”，而這正是古典定義適用的重要條件：同等可能16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家和賭博家卡爾丹（1501—1576）所說(shuō)的“誠(chéng)實(shí)的骰子”，即道明了這一點(diǎn)在卡爾丹以后約三百年的時(shí)間里，帕斯卡、費(fèi)馬、伯努利等數(shù)學(xué)家都在古典概率的計(jì)算、公式推導(dǎo)和擴(kuò)大應(yīng)用等方面做了重要的工作直

2、到1812年，法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯（1749—1827）在《概率的分析理論》中給出概率的古典定義：事件A的概率等于一次試驗(yàn)中有利于事件A的可能結(jié)果數(shù)與該事件中所有可能結(jié)果數(shù)之比2.古典定義的簡(jiǎn)單分析古典定義通過(guò)簡(jiǎn)單明了的方式定義了事件的概率，并給出了簡(jiǎn)單可行的算法它適用的條件有二：（1）可能結(jié)果總數(shù)有限；（2）每個(gè)結(jié)果的出現(xiàn)有同等可能其中第（2）條尤其重要，它是古典概率思想產(chǎn)生的前提如何在更多和更復(fù)雜的情況下，體現(xiàn)出“同等可能”？伯努利家

3、族成員做了這項(xiàng)工作，他們將排列組合的理論運(yùn)用到了古典概率中用排列（組合）體現(xiàn)同等可能的要求，就是將總數(shù)為P(nr)的各種排列（或總數(shù)為C(nr)的各種組合）看成是等可能的，通常用“隨意取”來(lái)表達(dá)這個(gè)意思即使如此，古典定義的方法能應(yīng)用的范圍仍然很窄，而且還有數(shù)學(xué)上的問(wèn)題“應(yīng)用性的狹窄性”促使雅各布伯努利（1654—1705）“尋找另一條途徑找到所期待的結(jié)果”，這就是他在研究古典概率時(shí)的另一重要成果：伯努利大數(shù)定律這條定律告訴我們“頻率具有

4、穩(wěn)定性”，所以可以“用頻率估計(jì)概率”，而這也為以后概率的統(tǒng)計(jì)定義奠定了思想基礎(chǔ)“古典定義數(shù)學(xué)上的問(wèn)題”在貝特朗（1822—1900）悖論中表現(xiàn)得淋漓盡致，它揭示出定義存在的矛盾與含糊之處，這導(dǎo)致了拉普拉斯的古典定義受到猛烈批評(píng)3.統(tǒng)計(jì)定義的歷史脈絡(luò)概率的古典定義雖然簡(jiǎn)單直觀，但是適用范圍有限正如雅各布?伯努利所說(shuō)：“……這種方法僅適用于極罕見(jiàn)的現(xiàn)象”因此，他通過(guò)觀察來(lái)確定結(jié)果數(shù)目的比例，并且認(rèn)為“即使是沒(méi)受過(guò)教育和訓(xùn)練的人，憑天生的直覺(jué)

5、，也會(huì)清楚地知道，可利用的有關(guān)觀測(cè)的次數(shù)越多，發(fā)生錯(cuò)誤的風(fēng)險(xiǎn)就越小”雖然原理簡(jiǎn)單，但是其科學(xué)證明并不簡(jiǎn)單，在古典概型下，伯努利證實(shí)了這一點(diǎn)，即“當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)愈來(lái)愈大時(shí)，頻率接近概率”事實(shí)上，這不僅對(duì)于古典概型適用，人們確信“從現(xiàn)實(shí)中觀察的頻率穩(wěn)定性”的事實(shí)是一個(gè)普遍規(guī)律1919年，德國(guó)數(shù)學(xué)家馮?米塞斯（1883—1953）在《概率論基礎(chǔ)研究》一書中提出了概率的統(tǒng)計(jì)定義：在做大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，某個(gè)事件出現(xiàn)的頻率總是在一個(gè)固

6、定數(shù)值的附近擺動(dòng)，顯示出一定的穩(wěn)定性，把這個(gè)固定的數(shù)值定義為這一事件的概率3在前面的分析中，我們說(shuō)“等可能”是古典概率非常重要的一個(gè)特征，它是古典概率思想產(chǎn)生的前提正是因?yàn)椤暗瓤赡堋?，所以才?huì)有了“比率”因此，“等可能性”和“比率”是古典定義教學(xué)中的兩個(gè)落腳點(diǎn)“等可能”是無(wú)法確切證明的，往往是一種感覺(jué)，但是這種感覺(jué)是有其實(shí)際背景的，例如，擲一枚硬幣，“呈正面”“呈反面”是等可能的，因?yàn)樗|(zhì)地均勻；而擲一枚圖釘，“釘帽著地”“頂針著地”不

7、是等可能的，因?yàn)閳D釘本身給我們的感覺(jué)就是帽重釘輕因此，“等可能”并不要多么嚴(yán)密的物理上或化學(xué)上的分析，只需要通過(guò)例子感知一下“等可能”和“不等可能”即可，以便讓學(xué)生明白古典定義的適用對(duì)象須具備的條件2.統(tǒng)計(jì)定義的教學(xué)定位從直觀上講，統(tǒng)計(jì)定義是非常容易接受的，但是它的內(nèi)涵是非常深刻的，涉及到大數(shù)定律在初中階段，我們不可能讓學(xué)生接觸其嚴(yán)格的形式和證明因此，統(tǒng)計(jì)定義定位在其合理性和必要性是比較恰當(dāng)?shù)娜绾巫寣W(xué)生體會(huì)其合理性和必要性？羅老師的課堂

8、教學(xué)比較好地實(shí)現(xiàn)了這兩點(diǎn)從教學(xué)順序來(lái)看，羅老師將“擲硬幣”作為歸納統(tǒng)計(jì)定義的例子，“擲硬幣”可以用古典定義求概率，所以概率值是明確的，而通過(guò)試驗(yàn)的方法計(jì)算得到的頻率就可以和這個(gè)明確的概率值相比較，如此更容易讓學(xué)生體會(huì)到“頻率具有穩(wěn)定性”這一事實(shí)，從而感受到“用頻率估計(jì)概率”的合理性；羅老師將“擲圖釘”作為統(tǒng)計(jì)定義的應(yīng)用，“擲圖釘”不能用古典定義求概率，由此能讓學(xué)生體會(huì)到學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)定義計(jì)算事件概率的必要性從教學(xué)手段來(lái)看，羅老師主要采用了“學(xué)

9、生試驗(yàn)”的方法，學(xué)生的親自試驗(yàn)在這節(jié)課所起的作用是無(wú)可代替的：“親自試驗(yàn)”獲得的結(jié)果能夠給學(xué)生以真實(shí)感和確切感；“親自試驗(yàn)”能夠讓學(xué)生感受到頻率的隨機(jī)性和穩(wěn)定性等特點(diǎn)所以，像概率與統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)該有更多的主動(dòng)權(quán)和試驗(yàn)權(quán)，在動(dòng)手和動(dòng)腦中感受概率與統(tǒng)計(jì)的思想和方法3.概率與統(tǒng)計(jì)教學(xué)的背后：專業(yè)素養(yǎng)的提升在課題研討時(shí)，教師們表現(xiàn)出這樣一些困惑：隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率就越來(lái)越穩(wěn)定？頻率估計(jì)概率，一定要大量試驗(yàn)？實(shí)驗(yàn)次數(shù)多少合適？事實(shí)上，這

10、些問(wèn)題涉及的就是概率與統(tǒng)計(jì)的專業(yè)素養(yǎng)對(duì)于大多數(shù)教師而言，概率與統(tǒng)計(jì)相對(duì)而言比較陌生，這是很自然的，因?yàn)樵诮處熥陨斫邮艿臄?shù)學(xué)專業(yè)學(xué)習(xí)中，概率與統(tǒng)計(jì)就是一個(gè)弱項(xiàng)但是，既然要向?qū)W生教授概率與統(tǒng)計(jì)，那么還是需要有“一桶水”的就像上面的問(wèn)題，翻閱任何一本《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》，都可以給我們知識(shí)上的答案，而翻閱一下相關(guān)的科普讀物或史料，就可以給我們思想方法上的答案舉個(gè)例子：伯努利大數(shù)定律：設(shè)m是n重伯努利試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，又A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的