南京大學(xué)2008年和2009年數(shù)學(xué)分析考研試題及解答

1、1南京大學(xué)南京大學(xué)2008年數(shù)學(xué)分析考研試題年數(shù)學(xué)分析考研試題一設(shè)為上的周期函數(shù)，且，證明恒為0。()fx1Rlim()0xfx????f二設(shè)定義在上的二元函數(shù)關(guān)于，的偏導(dǎo)數(shù)均恒為零，證明為常值函數(shù)。2R()fxyxyf三設(shè)為上的一致連續(xù)函數(shù)，且，，()nfx(12...)n?nRlim()()nnfxfx???1xR??問(wèn)：是否為連續(xù)函數(shù)？若答案為“是”，請(qǐng)給出證明；若答案為“否”，請(qǐng)給出反()fx例。四是否存在區(qū)間上的數(shù)列，使得該數(shù)

2、列的極限點(diǎn)（即聚點(diǎn)）集為，把極限點(diǎn)[01]nx[01]集換成，結(jié)論如何？請(qǐng)證明你的所有結(jié)論。(01)五設(shè)為上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，且，問(wèn)是否在上()fx[0)??0()fxdx??????()fx[0)??有界若答案為“是”，請(qǐng)給出證明；若答案為“否”，請(qǐng)給出反例。六計(jì)算由函數(shù)和的圖像在平面上所圍成區(qū)域的面積。211()2fxx?22()1fxx???2R七計(jì)算積分。222(22)xxyyRedxdy?????八計(jì)算積分，其中為如下區(qū)域：xy

3、zdxdydz?????，3():000xyzRxyzxyza?????????為正常數(shù)。a九設(shè)，，證明：級(jí)數(shù)是收斂的。0na?(12...)n?1nnkkSa???21nnnaS???十方程在附近決定了隱函數(shù)，求2232327xyzxyz?????(121)?()zzxy?的值。2(12)zxy????十一求函數(shù)在約束條件，下的極333()fxyzxyz???2xyz???22212xyz???值，并判斷極值的類型。十二設(shè)，且，證明：

4、。1[01]fC?(0)(1)0ff??1122001[()][()]4fxdxfxdx????十三設(shè)為上的連續(xù)函數(shù)，且對(duì)任意正整數(shù)，均有()fx[0]?1n?，證明：為常值函數(shù)。0()cos0fxnxdx???f32223231[(1)]2Sxxdx??????223032(1)2xdx????3212()320xx???31222[()]233???。469?七解顯然這個(gè)二重廣義積分是收斂的。由，2xedx????????222(2

5、2)xxyyRedxdy?????22()xyxdxeedy??????????????22()xyxedxedy??????????????2xedx????????????。??八解xyzdxdydz????000aaxaxydxdyxyzdz???????十解，22920xxxzzyz????，24920yyzzxz????。218920yxxyxyzzzzzz????十一解333222()(2)(12)Lxyzxyzxyz???