函數(shù)與方程知識點(diǎn)總結(jié)

1、 1 函數(shù)與方程知識點(diǎn)總結(jié) 1、函數(shù)零點(diǎn)的定義 （1）對于函數(shù) ) (x f y ? ，我們把方程 0 ) ( ? x f 的實(shí)數(shù)根叫做函數(shù) ) (x f y ? 的零點(diǎn)。 （2）方程 0 ) ( ? x f 有實(shí)根? 函數(shù) ( ) y f x ? 的圖像與 x 軸有交點(diǎn)? 函數(shù) ( ) y f x ? 有零點(diǎn)。因此判斷一個(gè)函數(shù)是否有零點(diǎn)，有幾個(gè)零點(diǎn)，就是判斷方程 0 ) ( ? x f 是否有實(shí)數(shù)根，有幾個(gè)實(shí)數(shù)根。函數(shù)零點(diǎn)的求法：解方

2、程 0 ) ( ? x f ，所得實(shí)數(shù)根就是 ( ) f x 的零點(diǎn) （3）變號零點(diǎn)與不變號零點(diǎn) ①若函數(shù) ( ) f x 在零點(diǎn) 0 x 左右兩側(cè)的函數(shù)值異號，則稱該零點(diǎn)為函數(shù) ( ) f x 的變號零點(diǎn)。 ②若函數(shù) ( ) f x 在零點(diǎn) 0 x 左右兩側(cè)的函數(shù)值同號，則稱該零點(diǎn)為函數(shù) ( ) f x 的不變號零點(diǎn)。 ③若函數(shù) ( ) f x 在區(qū)間? ? , a b 上的圖像是一條連續(xù)的曲線，則 0 ) ( ) ( ? b f a

3、 f 是 ( ) f x 在區(qū)間? ? , a b 內(nèi)有零點(diǎn)的充分不必要條件。 2、函數(shù)零點(diǎn)的判定 （1）零點(diǎn)存在性定理：如果函數(shù) ) (x f y ? 在區(qū)間 ] , [ b a 上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，并且有 ( ) ( ) 0 f a f b ? ? ，那么，函數(shù) ) (x f y ? 在區(qū)間? ? , a b 內(nèi)有零點(diǎn)，即存在 ) , ( 0 b a x ? ，使得 0 ) ( 0 ? x f ，這個(gè) 0 x 也就是方程 0

4、) ( ? x f 的根。 （2）函數(shù) ) (x f y ? 零點(diǎn)個(gè)數(shù)（或方程 0 ) ( ? x f 實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)）確定方法 ① 代數(shù)法：函數(shù) ) (x f y ? 的零點(diǎn)? 0 ) ( ? x f 的根； ② （幾何法） 對于不能用求根公式的方程， 可以將它與函數(shù) ) (x f y ? 的圖象聯(lián)系起來， 并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)。（3）二次函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定 0 ? ? ? ) (x f y ? 有 2 個(gè)零點(diǎn)? 0 ) ( ? x

5、f 有兩個(gè)不等實(shí)根； 0 ? ? ? ) (x f y ? 有 1 個(gè)零點(diǎn)? 0 ) ( ? x f 有兩個(gè)相等實(shí)根； 0 ? ? ? ) (x f y ? 無零點(diǎn)? 0 ) ( ? x f 無實(shí)根；對于二次函數(shù)在區(qū)間? ? , a b 上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，要結(jié)合圖像進(jìn)行確定. 1、 二分法 （1）二分法的定義:對于在區(qū)間[ , ] a b 上連續(xù)不斷且 ( ) ( ) 0 f a f b ? ? 的函數(shù) ( ) y f x ? ,通過不

6、斷地把函數(shù) ( ) y f x ? 的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn),進(jìn)而得到零點(diǎn)的近似值的方法叫做二分法; （2）用二分法求方程的近似解的步驟: 3 【例 4】若函數(shù) ? ) (x f x a x a ? ?( 0 a ? 且 1 a ? )有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是 ） ， （ ? ? 1 . 【解析】?函數(shù) ) (x f = x a x a ? ?( 0 a ? 且 1 a ? )有兩個(gè)零點(diǎn)，?方程

7、0 ? ? ? a x a x 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即兩個(gè)函數(shù) x a y ? 與 a x y ? ? 的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng) 1 0 ? ? a 時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的圖像有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意；當(dāng) 1 ? a 時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，滿足題意. 【例 5】 函數(shù)2 2 3, 0 ( )2 ln , 0x x x f xx x? ? ? ? ? ?? ? ? ?，零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

8、 （ B ）A、3 B、2 C、1 D、0 【例 6】若函數(shù) 3 2 ( ) 2 2 f x x x x ? ? ? ? 的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法計(jì)算，其參考數(shù)據(jù)如下： f (1) = －2 f (1.5) = 0.625 f (1.25) = －0.984 f (1.375) = －0.260 f (1.4375) = 0.162 f (1.40625)

9、 = －0.054 那么方程 3 2 2 2 0 x x x ? ? ? ? 的一個(gè)近似根（精確到 0.1）為 （ C ） A、1.2 B、1.3 C、1.4 D、1.5 【例 7】 如果二次函數(shù) 2 3 y x x m ? ? ? ? 有兩個(gè)不同的零點(diǎn)， 則m 的取值范圍是 （ C ）A、 11 ( ,

10、) 4 ?? B、 11 ( , ) 2 ??C、 11 ( , ) 4 ??D、 11 ( , ) 2 ?? 【例8】方程 0 lg ? ? x x 根的個(gè)數(shù)為 （ D ）A、無窮多 B、3 C、1 D、0 【例9】用二分法研究函數(shù) 1 3 ) (3 ? ? ?

11、x x x f 的零點(diǎn)時(shí)，第一次經(jīng)計(jì)算 0 ) 5 . 0 ( 0 ) 0 ( ? ? f f ， ，可得其中一個(gè)零點(diǎn) ? 0 x，第二次應(yīng)計(jì)算 . 以上橫線上應(yīng)填的內(nèi)容為 ( A ) A、 （0，0.5） ， ) 25 . 0 ( fB、 （0，1） ， ) 25 . 0 ( fC、 （0.5，

12、1） ， ) 75 . 0 ( fD、 （0，0.5） ， ) 125 . 0 ( f反思：(1)函數(shù)零點(diǎn)(即方程的根)的確定問題，常見的有：①函數(shù)零點(diǎn)值大致存在區(qū)間的確定；②零點(diǎn)個(gè)數(shù)的確定；③兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或有幾個(gè)交點(diǎn)的確定． 解決這類問題的常用方法有解方程法、 利用零點(diǎn)存在的判定或數(shù)形結(jié)合法，尤其是方程兩端對應(yīng)的函數(shù)類型不同的方程多以數(shù)形結(jié)合求解． (2)提醒：函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn)，是方程 0 ) ( ? x f 的根，即當(dāng)函數(shù)