函數方程思想的應用舉例

1、函數方程思想的應用舉例函數方程思想的應用舉例函數方程思想是中學數學中最基本、最重要的數學思想，也是歷年高考的重點。函數的思想就是用運動和變化的觀點，分析和研究數學問題。具體來說，即先構造函數，把給定問題轉化為研究輔助函數的性質（單調性、奇偶性、周期性、圖象的交點個數、最值、極值等）問題，研究后得出所需要的結論。函數方程思想就是將數學問題轉化為方程或方程組問題。通過解方程（或方程組）或者運用方程的性質來分析、轉化問題，使問題得以解決。函數

2、與方程思想是密切相關的，函數，當時，就轉化為方程或看作方程；而方程的解是函數圖象與x軸交點的橫坐標。函數與不等式也可以相互轉化，對函數，當時，就是不等式，而求的解則可比較函數圖象位置而得到。一.構造函數思想例1.證明不等式分析：由所證不等式很容易想到比商法，但a、b的正負無法確定，即使分類后，當a、b都為正數時，其商也無法與1比大小，思路受阻。再觀察不等式兩邊形式類似，稍加變形即為，即可聯想到函數，就只需證了，利用函數單調性，問題得以巧

3、妙解決。解：令在上，則在上為增函數則，即所以。點評：應用函數性質證明不等式，關鍵在于構造一個適當的函數，且能方便地判斷函數的有關性質。例2.已知，對于值域內的所有實數m，不等式恒成立，求x的范圍。分析：我們習慣上把x當作自變量，構造函數，于是問題轉化為：當時，恒成立，求x范圍，但要解決這個問題要用到二次函數以及二次方程的區(qū)間根原理。相當復雜。而如果把m看作自變量，x視為參數，原不等式化為，構造函數為m的一次函數，在上恒大于0，這樣就非常

4、簡單。解：因為，故b、c是關于x的一元二次方程的兩根。故解得。點評：當問題出現兩數積與這兩數和時，是構造一元二次方程的明顯信號，構造方程后再用方程特點可使問題巧妙解決。三.函數方程統(tǒng)一思想例5.已知三次方程恰有三個相異實根，求實數m的范圍方程的根，即函數圖象與x軸交點橫坐標，由題意函數應與x軸有三個不同產點，因三次曲線連續(xù)且光滑，故只需函數極大值與極小值異號即可。解：令則令，得為使與x軸交于不同的三個點。只須即。點評：方程函數互相轉化，