第4講 函數與方程的思想方法

1、1第4講函數與方程的思想方法函數與方程的思想方法一、知識整合函數與方程是兩個不同的概念，但它們之間有著密切的聯系，方程f(x)＝0的解就是函數y＝f(x)的圖像與x軸的交點的橫坐標，函數y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)y＝0通過方程進行研究。就中學數學而言，函數思想在解題中的應用主要表現在兩個方面：一是借助有關初等函數的性質，解有關求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數的取值范圍等問題：二是在問題的研究中，通過建立函數關系式或構

2、造中間函數，把所研究的問題轉化為討論函數的有關性質，達到化難為易，化繁為簡的目的.許多有關方程的問題可以用函數的方法解決，反之，許多函數問題也可以用方程的方法來解決。函數與方程的思想是中學數學的基本思想，也是歷年高考的重點。1函數的思想，是用運動和變化的觀點，分析和研究數學中的數量關系，建立函數關系或構造函數，運用函數的圖像和性質去分析問題、轉化問題，從而使問題獲得解決。函數思想是對函數概念的本質認識，用于指導解題就是善于利用函數知識或

3、函數觀點觀察、分析和解決問題。2方程的思想，就是分析數學問題中變量間的等量關系，建立方程或方程組，或者構造方程，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質去分析、轉化問題，使問題獲得解決。方程的數學是對方程概念的本質認識，用于指導解題就是善于利用方程或方程組的觀點觀察處理問題。方程思想是動中求靜，研究運動中的等量關系.3(1)函數和方程是密切相關的，對于函數y＝f(x)，當y＝0時，就轉化為方程f(x)＝0，也可以把函數式y(tǒng)＝f(x)看做二

4、元方程y－f(x)＝0。函數問題（例如求反函數，求函數的值域等）可以轉化為方程問題來求解，方程問題也可以轉化為函數問題來求解，如解方程f(x)＝0，就是求函數y＝f(x)的零點。(2)函數與不等式也可以相互轉化，對于函數y＝f(x)，當y0時，就轉化為不等式f(x)0，借助于函數圖像與性質解決有關問題，而研究函數的性質，也離不開解不等式。(3)數列的通項或前n項和是自變量為正整數的函數，用函數的觀點處理數列問題十分重要。(4)函數f(x

5、)＝（n∈N）與二項式定理是密切相關的，利用這個函數nbax)(?用賦值法和比較系數法可以解決很多二項式定理的問題。(5)解析幾何中的許多問題，例如直線和二次曲線的位置關系問題，需要通過解二元方程組才能解決，涉及到二次方程與二次函數的有關理論。3恒成立，求x的取值范圍。xmmxx4242????解析∵t∈[，8]，∴f(t)∈[，3]221原題轉化為：0恒成立，為m的一次函數（這里思維的轉化很重要）2)2()2(???xxm當x＝2時，

6、不等式不成立?！鄕≠2。令g(m)＝，m∈[，3]2)2()2(???xxm21問題轉化為g(m)在m∈[，3]上恒對于0，則：；21???????0)3(0)21(gg解得：x2或x－1評析首先明確本題是求x的取值范圍，這里注意另一個變量m，不等式的左邊恰是m的一次函數，因此依據一次函數的特性得到解決。在多個字母變量的問題中，選準“主元”往往是解題的關鍵。例3為了更好的了解鯨的生活習性，某動物保護組織在受傷的鯨身上裝了電子監(jiān)測裝置，從

7、海洋放歸點A處，如圖（1）所示，把它放回大海，并沿海岸線由西向東不停地對它進行了長達40分鐘的跟蹤觀測，每隔10分鐘踩點測得數據如下表（設鯨沿海面游動），然后又在觀測站B處對鯨進行生活習性的詳細觀測，已知AB＝15km，觀測站B的觀測半徑為5km。觀測時刻t（分鐘）跟蹤觀測點到放歸點的距離a（km）鯨位于跟蹤觀測點正北方向的距離b（km）1010.9992021.4133031.7324042.001(1)據表中信息：①計算出鯨沿海岸線

8、方向運動的速度；②試寫出a、b近似地滿足的關系式并畫出鯨的運動路線草圖；（2）若鯨繼續(xù)以（1）－②運動的路線運動，試預測，該鯨經過多長時間（從放歸時開設計時）可進入前方觀測站B的觀測范圍？并求出可持續(xù)觀測的時間及最佳觀測時刻。（注：≈6.40；精確到1分鐘）41解析（1）由表中的信息可知：①鯨沿海岸線方向運動的速度為：（km分鐘）101②a、b近似地滿足的關系式為：運動路線如圖ab?（2）以A為原點，海岸線AB為x軸建立直角坐標系，設鯨