隨機最優(yōu)控制相關(guān)的HJB方程及弱解研究.pdf_第1頁
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文檔簡介

1、在上世界五十年代,Bellman[10]引入了解決一系列相關(guān)問題的數(shù)學(xué)技術(shù)-動態(tài)規(guī)劃原理。它被廣泛應(yīng)用于很多優(yōu)化問題中(包括最優(yōu)控制問題)。Yong和Zhou[92]研究了隨機控制問題,并且給出了它的動態(tài)規(guī)劃原理和它相對應(yīng)的HJB方程的粘性解。
   1990年,Pardoux和Peng[69]首先證明了系數(shù)滿足Lipschitz條件的非線性倒向隨機微分方程的解的存在唯一性。1992年,著名經(jīng)濟學(xué)家Duffle和Epstein也

2、獨立的引入了一類特殊類型的倒向隨機微分方程用以刻畫金融中的遞歸效用函數(shù)。隨后,學(xué)者們也進一步的研究了不同條件下的這類方程的可解性及相關(guān)性質(zhì),并廣泛應(yīng)用于數(shù)理金融,隨機控制和經(jīng)濟管理領(lǐng)域,使倒向隨機微分方程理論得到了進一步的完善和發(fā)展。1992年,Peng[74]研究了消費函數(shù)是由一個倒向隨機微分方程來刻畫的隨機遞歸的最優(yōu)控制問題,并且給出了這類問題的動態(tài)規(guī)劃原理和它相對應(yīng)的HJB方程的粘性解。
   1997年,El Karou

3、i,Kapoudjian,Pardoux,Peng和Quenez[46]首先提出了反射倒向隨機微分方程的定義。在原來方程的基礎(chǔ)上增加一個增過程Kt,產(chǎn)生一個向上的“推力”使得方程的解恰好能保持在一給定的過程(稱為邊界或障礙)的上方,且“推力”最小。此時方程表示為(公式略)Wu和Yu[87]研究了這類消費函數(shù)帶障礙的隨機最優(yōu)控制問題,其中它的消費函數(shù)是由一個帶下反射邊界的倒向隨機微分方程刻畫的。他們給出了這類最優(yōu)控制問題的動態(tài)規(guī)劃原理和相

4、應(yīng)的HJB方程的粘性解。
   然而,在經(jīng)典的動態(tài)規(guī)劃原理中還存在著一個比較大的困難。若這個HJB方程存在著經(jīng)典解,那就意味著這個解必須是足夠光滑的(達到方程中的可微性條件)。不幸的是,在許多情況下是達不到這個條件的。在隨機的情況下,擴散項是不能夠退化的,所以說在一般情況下,HJB方程沒有經(jīng)典解。為了克服這個困難,在以前的文章中,作者都是給出了HJB方程的粘性解。在本文中,我們第一次嘗試給出HJB方程的Sobolev弱解。

5、>   另外一個問題是,在以前的文章中,嚴格控制中的最優(yōu)解不一定存在,它必須要有一個Filipov凸性條件。沒有這個條件,U中的最優(yōu)控制就不一定存在。為了克服沒有這個條件最優(yōu)控制就不一定存在的困難,在本文中,我們討論松弛控制。以下是本文的結(jié)構(gòu)和主要結(jié)論。
   第一章:簡要介紹本文中所討論問題的背景及總體思路。
   第二章:我們研究了隨機松弛最優(yōu)控制問題中的動態(tài)規(guī)劃原理,并且證明了它的值函數(shù)是對應(yīng)的HJB方程的Sob

6、olev弱解。我們還考慮了,當消費函數(shù)是遞歸的情況下,HJB方程對應(yīng)的Sobolev弱解的情況。定理2.2.4.(動態(tài)規(guī)劃原理)在(A2.3)(A2.4)的假設(shè)條件下,對于任意的(t,x)∈[0,T)×Rn都有(公式略)成立。定理2.3.1.假設(shè)(A2.3)-(A2.4)成立并且值函數(shù)V∈C1,2([0,T]×Rn),則V是下面的二階偏微分方程的解(公式略)定理2.3.8.(HJB方程的Sobolev弱解)在(A2.5)-(A2.9)的

7、假設(shè)條件下,由(2.7)式定義的值函數(shù)V(t,x)是偏微分方程(2.36)的唯一的Sobolev弱解.定理2.5.5.在(A2.5)(A2.6)和(A2.11)-(A2.13)的假設(shè)條件下,由(2.90)定義的值函數(shù)V(t,x)是偏微分方程(2.92)的唯一的Sobolev弱解.
   第三章:我們研究了隨機遞歸松弛最優(yōu)控制問題,其中它的消費函數(shù)是由一個帶有限制的反射方程刻畫。我們給出了該最優(yōu)控制問題的動態(tài)規(guī)劃原理,并且證明了它

8、的值函數(shù)是對應(yīng)的HJB方程的唯一Sobolev弱解。定理3.2.8.(動態(tài)規(guī)劃原理)在(A2.3)-(A3.4)的假設(shè)條件下,對于任意的0<δ≤T-t,值函數(shù)u(t,x)滿足下面的動態(tài)規(guī)劃原理(公式略)定理3.3.6.(HJB方程的Sobolev弱解)在(A2.5)-(A2.6)和(A3.5)-(A3.8)的假設(shè)條件下,定義在(3.8)中的值函數(shù)V(t,x)是偏微分方程(3.15)的唯一的Sobolev弱解.
   第四章:我們

9、研究了隨機遞歸的零和微分對策和混合微分對策問題,并且得到了鞍點的存在性結(jié)果。我們應(yīng)用的主要工具是倒向隨機微分方程和帶雙邊反射的倒向隨機微分方程。作為我們主要的研究動機和應(yīng)用背景,我們還討論了當貸款利率高于存款利率時的美式期權(quán)定價問題。定理4.1.1.(Y*,Z*)是下面的倒向隨機微分方程的解(公式略)則Y*0是最優(yōu)賠付J(x0,u*,v*),控制對(u*,v*)是這個遞歸對策的鞍點.定理4.2.1.(Y*,Z*,K*+,K*-)是下面的

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