自動(dòng)控制課件第三章時(shí)域分析法

1、1,第三章 時(shí)域分析法,3－1 時(shí)域分析基礎(chǔ),3－2 一、二階系統(tǒng)分析與計(jì)算,3－3 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析,3－4 穩(wěn)態(tài)誤差分析計(jì)算,主要內(nèi)容,返回主目錄,2,基本要求熟練掌握一、二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型和階躍響應(yīng)的特 點(diǎn)。熟練計(jì)算性能指標(biāo)和結(jié)構(gòu)參數(shù)，特別是一階系統(tǒng)和典型欠阻尼二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的計(jì)算方法。2.了解一階系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)和斜坡響應(yīng)的特點(diǎn)。3.正確理解系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念，能熟練運(yùn)用穩(wěn)定性判據(jù)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性并進(jìn)行有關(guān)的參數(shù)計(jì)算

2、、分析。,返回子目錄,3,4.正確理解穩(wěn)態(tài)誤差的概念，明確終值定理的應(yīng) 用條件。5.熟練掌握計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差的方法。6.掌握系統(tǒng)的型次和靜態(tài)誤差系數(shù)的概念。,4,控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是分析、研究和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的基礎(chǔ)，經(jīng)典控制論中三種分析（時(shí)域、根軌跡、頻域）、研究和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的方法，都是建立在這個(gè)基礎(chǔ)上的。,5,3－1 時(shí)域分析基礎(chǔ),一、時(shí)域分析法的特點(diǎn),根據(jù)系統(tǒng)微分方程，通過拉氏變換，直接求出系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)。依據(jù)響應(yīng)的表達(dá)式及時(shí)間

3、響應(yīng)曲線來分析系統(tǒng)控制性能，并找出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)與這些性能之間的關(guān)系。時(shí)域分析法是一種直接方法，而且比較準(zhǔn)確，可以提供系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的全部信息。,返回子目錄,6,二、典型初始狀態(tài)，典型外作用,1. 典型初始狀態(tài)通常規(guī)定控制系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零狀態(tài)。即在外作用加于系統(tǒng)之前，被控量及其各階導(dǎo)數(shù)相對(duì)于平衡工作點(diǎn)的增量為零，系統(tǒng)處于相對(duì)平衡狀態(tài)。,7,2. 典型外作用,8,,,,單位斜坡函數(shù),9,單位脈沖函數(shù),圖中1代表了脈沖強(qiáng)度。單位脈沖作

4、用在現(xiàn)實(shí)中是不存在的，它是某些物理現(xiàn)象經(jīng)數(shù)學(xué)抽象化的結(jié)果。,10,正弦函數(shù),其拉氏變換為,f(t),11,三、典型時(shí)間響應(yīng),初狀態(tài)為零的系統(tǒng)，在典型輸入作用下的輸出，稱為典型時(shí)間響應(yīng)。,12,1. 單位階躍響應(yīng),定義：系統(tǒng)在單位階躍輸入[r(t)=1(t)]作用下的響應(yīng)，常用h(t)表示。,若系統(tǒng)的閉環(huán)傳函為 ，則h(t)的拉氏變換為,故,(3-1),0,13,2. 單位斜坡響應(yīng),定義：系統(tǒng)在單位斜坡輸入[r(t)=t&#

5、183;1(t)]作用下的響應(yīng)，常用 表示。,故,14,3. 單位脈沖響應(yīng),定義：系統(tǒng)在單位脈沖輸入 r(t)=δ(t)作用下的響應(yīng)，常用k(t)表示。,注：關(guān)于正弦響應(yīng)，將在第五章里討論,故,則有,15,4.三種響應(yīng)之間的關(guān)系,由式(3-3)可將式(3-1)和式(3-2)寫為：,相應(yīng)的時(shí)域表達(dá)式為,16,四、階躍響應(yīng)的性能指標(biāo),17,1.峰值時(shí)間tp：指h(t)曲線中超過其穩(wěn)態(tài)值而達(dá)到第一個(gè)峰值所需的時(shí)間。,2.超調(diào)

6、量?％：指h(t)中對(duì)穩(wěn)態(tài)值的最大超出量與穩(wěn)態(tài)值之比。,3.調(diào)節(jié)時(shí)間ts：指響應(yīng)曲線中，h(t)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)值附近?5%h(?)或?2%h(?)誤差帶，而不再超出的最小時(shí)間。,4.穩(wěn)態(tài)誤差ess：指響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值與期望值之差。,18,注意事項(xiàng)：,19,3－2 一、二階系統(tǒng)分析與計(jì)算,定義： 由一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。,一、一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及單位階躍響應(yīng),返回子目錄,20,一階系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型,微分方程：,動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖：,傳遞函數(shù)：

7、,21,一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng),輸入：,輸出：,22,單位階躍響應(yīng)曲線,初始斜率：,t,23,性能指標(biāo),1. 平穩(wěn)性??：,2. 快速性ts：,3.準(zhǔn)確性 ess：,非周期、無振蕩， ?? ＝0,t,24,舉例說明（一階系統(tǒng)）,一階系統(tǒng)如圖所示，試求：當(dāng)KH＝0.1時(shí)，求系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的調(diào)節(jié)時(shí)間ts，放大倍數(shù)K，穩(wěn)態(tài)誤差ess。如果要求ts＝0.1s，試問系統(tǒng)的反饋系數(shù)KH應(yīng)調(diào)整為何值？討論KH的大小對(duì)系統(tǒng)性能的影響及KH與ess

8、的關(guān)系。,看懂例題3-1并回答上述各題,25,二、二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及單位階躍響應(yīng),定義： 由二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。,26,二階系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型,二階系統(tǒng)的微分方程的一般式為,27,二階系統(tǒng)的反饋結(jié)構(gòu)圖,28,二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù),開環(huán)傳遞函數(shù)：,閉環(huán)傳遞函數(shù)：,29,二階系統(tǒng)的特征方程為,解方程求得特征根：,當(dāng)輸入為階躍信號(hào)時(shí)，則微分方程解的形式為：,式中： 為由r(t)和初始條件確定的待定的系

9、數(shù)。,s1,s2完全取決于 ，?n兩個(gè)參數(shù)。,30,此時(shí)s1, s2為一對(duì)共軛復(fù)根，且位于復(fù)平面的左半部。,,①特征根分析—— （欠阻尼）,31,②特征根分析—— （臨界阻尼）,此時(shí)s1, s2為一對(duì)相等的負(fù)實(shí)根。 s1=s2=-?n,32,③特征根分析 —— （過阻尼）,此時(shí)s1, s2為兩個(gè)負(fù)實(shí)根，且位于復(fù)平面的負(fù)實(shí)軸上。,33,④特征根分析—— （零阻尼）,此時(shí)s1, s2為一對(duì)

10、純虛根，位于虛軸上。s1,2= ?j?n,34,⑤特征根分析—— （負(fù)阻尼）,此時(shí)s1, s2為一對(duì)實(shí)部為正的共軛復(fù)根，位于復(fù)平面的右半部。,35,⑥特征根分析—— （負(fù)阻尼）,此時(shí)s1,s2為兩個(gè)正實(shí)根，且位于復(fù)平面的正實(shí)軸上。,36,二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng),1.過阻尼 二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng),取C (s)拉氏逆變換得：,37,過阻尼系統(tǒng)分析,衰減項(xiàng)的冪指數(shù)的絕對(duì)值一個(gè)大，

11、一個(gè)小。絕對(duì)值大的離虛軸遠(yuǎn)，衰減速度快，絕對(duì)值小的離虛軸近，衰減速度慢衰減項(xiàng)前的系數(shù)一個(gè)大，一個(gè)小二階過阻尼系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)呈非周期性，沒有振蕩和超調(diào)，但又不同于一階系統(tǒng)離虛軸近的極點(diǎn)所決定的分量對(duì)響應(yīng)產(chǎn)生的影響大，離虛軸遠(yuǎn)的極點(diǎn)所決定的分量對(duì)響應(yīng)產(chǎn)生的影響小，有時(shí)甚至可以忽略不計(jì)。,38,過阻尼系統(tǒng)單位階躍響應(yīng),,39,與一階系統(tǒng)階躍響應(yīng)的比較,,,,,,,t,c(t),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,二階

12、過阻尼系統(tǒng),,,,一階系統(tǒng)響應(yīng),1,0,40,二階過阻尼系統(tǒng)階躍響應(yīng)指標(biāo)分析,對(duì)于過阻尼二階系統(tǒng)的響應(yīng)指標(biāo)，只著重討論 ，當(dāng) 時(shí) ，當(dāng)時(shí) 。,41,2.欠阻尼 二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng),42,二階欠阻尼系統(tǒng)的輸出,拉氏逆變換得：,43,二階欠阻尼系統(tǒng)輸出分析,二階欠阻尼系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量組成。穩(wěn)態(tài)分量值等于1，暫態(tài)分量為衰

13、減過程，振蕩頻率為ωd。,44,下圖為二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的通用曲線。,,45,下面根據(jù)上圖來分析系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù) 、 對(duì)階躍響應(yīng)的影響。,平穩(wěn)性（?％）,結(jié)論： 越大，ωd越小，幅值也越小，響應(yīng)的振蕩傾向越弱，超調(diào)越小，平穩(wěn)性越好。反之， 越小， ωd 越大，振蕩越嚴(yán)重，平穩(wěn)性越差。,46,當(dāng) ＝0時(shí)，為零阻尼響應(yīng)，具有頻率為 的不衰減（等幅）振蕩。,阻尼比和超調(diào)量的關(guān)系曲線如下圖所示,,47,結(jié)論：對(duì)于

14、二階欠阻尼系統(tǒng)而言， 大， 小，系統(tǒng)響應(yīng)的平穩(wěn)性好。,在 一定的情況下， 越大，振蕩頻率 也越高，響應(yīng)平穩(wěn)性也越差。,48,快速性,從圖中看出，對(duì)于5％誤差帶，當(dāng) 時(shí)，調(diào)節(jié)時(shí)間最短，即快速性最好。同時(shí)，其超調(diào)量<5％，平穩(wěn)性也較好，故稱 為最佳阻尼比。,總結(jié)： 越大，調(diào)節(jié)時(shí)間 越短；當(dāng) 一定時(shí)， 越大，快速性越

15、好。,49,穩(wěn)態(tài)精度,從上式可看出，瞬態(tài)分量隨時(shí)間t的增長(zhǎng)衰減到零，而穩(wěn)態(tài)分量等于1，因此，上述欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)穩(wěn)態(tài)誤差為零。,50,欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)性能指標(biāo),1.上升時(shí)間 ：令 ，則,所以：,51,根據(jù)極值定理有：,該項(xiàng)不可能為零,2.峰值時(shí)間?。?52,取n=1得:,53,3.超調(diào)量,將峰值時(shí)間 代入下式,得:,所以:,54,4.調(diào)節(jié)時(shí)間,寫出調(diào)節(jié)時(shí)間的表達(dá)式

16、相當(dāng)困難。在分析設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)，經(jīng)常采用下列近似公式。,當(dāng)阻尼比 時(shí),55,三、二階系統(tǒng)舉例,設(shè)位置隨動(dòng)系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)圖如圖所示，當(dāng)給定輸入為單位階躍時(shí)，試計(jì)算放大器增益KA＝200，1500，13.5時(shí)，輸出位置響應(yīng)特性的性能指標(biāo)：峰值時(shí)間tp，調(diào)節(jié)時(shí)間ts和超調(diào)量??，并分析比較之。,56,例題解析(1),輸入：?jiǎn)挝浑A躍函數(shù),系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù),57,例題解析(2),當(dāng)KA ＝200時(shí),系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)：,與標(biāo)準(zhǔn)的二

17、階系統(tǒng)傳遞函數(shù)對(duì)照得：,58,例題解析(3),當(dāng)KA ＝1500時(shí),系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)：,與標(biāo)準(zhǔn)的二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)對(duì)照得：,59,例題解析(4),當(dāng)KA ＝13.5時(shí),系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)：,與標(biāo)準(zhǔn)的二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)對(duì)照得：,無,60,系統(tǒng)在單位階躍作用下的響應(yīng)曲線,61,四、 改善二階系統(tǒng)響應(yīng)的措施,1.誤差信號(hào)的比例－微分控制,62,系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為,閉環(huán)傳遞函數(shù)為,等效阻尼比為,63,可見，引入了比例－微分控制，使系統(tǒng)的等效阻尼比

18、加大了，從而抑制了振蕩，使超調(diào)減弱，可以改善系統(tǒng)的平穩(wěn)性。微分作用之所以能改善動(dòng)態(tài)性能，因?yàn)樗a(chǎn)生一種早期控制（或稱為超前控制），能在實(shí)際超調(diào)量出來之前，就產(chǎn)生一個(gè)修正作用。,64,前面圖的相應(yīng)的等效結(jié)構(gòu),由此知道,65,和 及 的大致形狀如下,一方面，增加 項(xiàng)，增大了等效阻尼比 ，使 曲線比較平穩(wěn)。另一方面，它又使 加上了它的微分信號(hào) ，加速了c(t)的

19、響應(yīng)速度，但同時(shí)削弱了等效阻尼比 的平穩(wěn)作用。,,66,總結(jié)：引入誤差信號(hào)的比例－微分控制，能否真正改善二階系統(tǒng)的響應(yīng)特性，還需要適當(dāng)選擇微分時(shí)間常數(shù) 。若 大一些，使 具有過阻尼的形式，而閉環(huán)零點(diǎn)的微分作用，將在保證響應(yīng)特性平穩(wěn)的情況下，顯著地提高系統(tǒng)的快速性。,67,2.輸出量的速度反饋控制,將輸出量的速度信號(hào)c (t)采用負(fù)反饋形式，反饋到輸入端并與誤差信號(hào)e (t)比較，構(gòu)成一個(gè)內(nèi)

20、回路，稱為速度反饋控制。如下圖所示。,68,閉環(huán)傳遞函數(shù)為,等效阻尼比為,等效阻尼比增大了，振蕩傾向和超調(diào)量減小，改善了系統(tǒng)的平穩(wěn)性。,69,3.比例-微分控制和速度反饋控制比較,從實(shí)現(xiàn)角度看，比例-微分控制的線路結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單，成本低；而速度反饋控制部件則較昂貴。從抗干擾來看，前者抗干擾能力較后者差。從控制性能看，兩者均能改善系統(tǒng)的平穩(wěn)性，在相同的阻尼比和自然頻率下，采用速度反饋不足之處是其會(huì)使系統(tǒng)的開環(huán)增益下降，但又能使內(nèi)回路中被

21、包圍部件的非線性特性、參數(shù)漂移等不利影響大大削弱。,70,五、 高階系統(tǒng)的時(shí)域分析,定義：用高階微分方程描述的系統(tǒng)稱為高階系統(tǒng)。,由于求高階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)很是困難，所以通?？偸菍⒍鄶?shù)高階系統(tǒng)化為一、二階系統(tǒng)加以分析。通常對(duì)于高階系統(tǒng)來說，離虛軸最近的一個(gè)或兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)在時(shí)間響應(yīng)中起主導(dǎo)作用，而其他離虛軸較遠(yuǎn)的極點(diǎn)，它們?cè)跁r(shí)間響應(yīng)中相應(yīng)的分量衰減較快，只起次要作用，可以忽略。,71,這時(shí)，高階系統(tǒng)的時(shí)域分析就轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的一、二階系統(tǒng)。這

22、就是所謂的主導(dǎo)極點(diǎn)的概念，將在第四章中詳細(xì)介紹。,一、二階系統(tǒng)的極點(diǎn)分布如下：,72,3－3 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析,主要內(nèi)容：,線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的概念系統(tǒng)穩(wěn)定的條件和穩(wěn)定性的判定方法。,返回子目錄,73,一、系統(tǒng)穩(wěn)定的概念,穩(wěn)定性是指當(dāng)擾動(dòng)作用消失后，系統(tǒng)由初始偏差狀態(tài)恢復(fù)到原平衡狀態(tài)的能力。若系統(tǒng)能恢復(fù)到平衡狀態(tài)，就稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的，若系統(tǒng)在擾動(dòng)作用消失后不能恢復(fù)平衡狀態(tài)，且偏差越來越大，則稱系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,74,二、穩(wěn)定性的數(shù)學(xué)條件

23、,設(shè)系統(tǒng)的線性化增量方程為,75,對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換得,其中：D(s)為系統(tǒng)閉環(huán)特征式，也稱輸出端算子式；M(s)稱為輸入端算子式。R(s)為輸入，C(s)為輸出，M0(s)是與系統(tǒng)的初始狀態(tài)有關(guān)的多項(xiàng)式。,或簡(jiǎn)寫為,76,則有,假定：,將C(s)等式右邊的兩項(xiàng)分別展成部分分式，可得,77,再進(jìn)行拉氏逆變換，得,該部分為穩(wěn)態(tài)分量，即微分方程的特解，取決于輸入作用。,78,,,該部分為瞬態(tài)分量，即微分方程的通解，運(yùn)動(dòng)規(guī)律取決于

24、 ，由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)確定。,79,系統(tǒng)去掉擾動(dòng)后的恢復(fù)能力，應(yīng)由瞬態(tài)分量決定。此時(shí)，系統(tǒng)的輸入為零。,故：穩(wěn)定性定義可轉(zhuǎn)化為,式中：Ai，Ci均為常值，因此，系統(tǒng)的穩(wěn)定性僅取決于特征根si的性質(zhì)。,80,特征根的性質(zhì)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響,當(dāng)si為實(shí)根時(shí)，即si＝?i,81,82,特征根與系統(tǒng)穩(wěn)定性的關(guān)系(2),當(dāng)si為共軛復(fù)根時(shí)，即si，i+1＝?i ± jωi,83,共軛復(fù)根情況下系統(tǒng)的穩(wěn)定性,84,結(jié)論：,系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必

25、要條件是：,系統(tǒng)的特征方程的所有根都具有負(fù)實(shí)部，或者說都位于s平面的虛軸之左。,注：拉氏變換性質(zhì)中的終值定理的適用條件： sE(s)在s平面的右半平面解析，就是上面穩(wěn)定條件的另一種表示，即特征方程的所有根si位于s平面的虛軸之左。,85,三、穩(wěn)定性判據(jù),判據(jù)之一：赫爾維茨（Hurwitz)穩(wěn)定判據(jù),,系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：特征方程的赫爾維茨行列式Dk（k＝1,2,3,…，n）全部為正。,86,赫爾維茨判據(jù),系統(tǒng)特征方程的一般形式為

26、,各階赫爾維茨行列式為,（一般規(guī)定 ）,87,舉例：,系統(tǒng)的特征方程為,試用赫爾維茨判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,88,解：,第一步：由特征方程得到各項(xiàng)系數(shù),第二步：計(jì)算各階赫爾維茨行列式,結(jié)論：,系統(tǒng)不穩(wěn)定。,89,判據(jù)之二：林納德 奇帕特（Lienard-Chipard)判據(jù),系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為：,１．系統(tǒng)特征方程的各項(xiàng)系數(shù)大于零，即,２．奇數(shù)階或偶數(shù)階的赫爾維茨行列式大于零。即,或,必要條件,,90,舉例：,單位

27、負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,試求開環(huán)增益Ｋ的穩(wěn)定域。,91,解：,第一步：求系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程,第二步：列出特征方程的各項(xiàng)系數(shù)。,第三步：系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件。,92,解得：Ｋ＜１４,開環(huán)增益Ｋ的穩(wěn)定域?yàn)椋?由此例可見，K越大，系統(tǒng)的穩(wěn)定性越差。上述判據(jù)不僅可以判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而且還可根據(jù)穩(wěn)定性的要求確定系統(tǒng)參數(shù)的允許范圍（即穩(wěn)定域）。,93,判據(jù)之三：勞思(Routh)判據(jù),系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：勞思表中第一列所有元素的計(jì)算值

28、均大于零。,94,若系統(tǒng)的特征方程為,則勞思表中各項(xiàng)系數(shù)如下圖,,95,關(guān)于勞思判據(jù)的幾點(diǎn)說明,如果第一列中出現(xiàn)一個(gè)小于零的值，系統(tǒng)就不穩(wěn)定。第一列中數(shù)據(jù)符號(hào)改變的次數(shù)等于系統(tǒng)特征方程正實(shí)部根的數(shù)目，即系統(tǒng)中不穩(wěn)定根的個(gè)數(shù)。,96,例1,設(shè)系統(tǒng)特征方程如下：,試用勞思判據(jù)判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并確定正實(shí)部根的數(shù)目。,97,,,,解：,將特征方程系數(shù)列成勞思表,,,結(jié)論：系統(tǒng)不穩(wěn)定；系統(tǒng)特征方程有兩個(gè)正實(shí)部的根。,,98,勞思表判據(jù)的特殊

29、情況,在勞思表的某一行中，第一列項(xiàng)為零。在勞思的某一行中，所有元素均為零。 在這兩種情況下，都要進(jìn)行一些數(shù)學(xué)處理，原則是不影響勞思判據(jù)的結(jié)果。,99,例2,設(shè)系統(tǒng)的特征方程為：,,試用勞思判據(jù)確定正實(shí)部根的個(gè)數(shù)。,100,解：,將特征方程系數(shù)列成勞思表,由表可見，第二行中的第一列項(xiàng)為零，所以第三行的第一列項(xiàng)出現(xiàn)無窮大。為避免這種情況，可用因子(s+a)乘以原特征式，其中a可為任意正數(shù)，這里取a=1。,101,于是得到新的特征方程

30、為：,,將特征方程系數(shù)列成勞思表：,結(jié)論：第一列有兩次符號(hào)變化，故方程有兩個(gè)正實(shí)部根。,102,例3,設(shè)系統(tǒng)的特征方程為：,試用勞思判據(jù)確定正實(shí)部根的個(gè)數(shù)。,103,解：,將特征方程系數(shù)列成勞思表,勞思表中出現(xiàn)全零行，表明特征方程中存在一些大小相等，但位置相反的根。這時(shí)，可用全零行上一行的系數(shù)構(gòu)造一個(gè)輔助方程，對(duì)其求導(dǎo)，用所得方程的系數(shù)代替全零行，繼續(xù)下去直到得到全部勞思表。,104,用 行的系數(shù)構(gòu)造系列輔助方程,求導(dǎo)得：,用上述

31、方程的系數(shù)代替原表中全零行，然后按正常規(guī)則計(jì)算下去，得到,105,,,106,表中的第一列各系數(shù)中，只有符號(hào)的變化，所以該特征方程只有一個(gè)正實(shí)部根。求解輔助方程，可知產(chǎn)生全零行的根為 。再求出特征方程的其他兩個(gè)根為 。,107,四、結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定及改進(jìn)措施,某些系統(tǒng)，僅僅靠調(diào)整參數(shù)仍無法穩(wěn)定，稱結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)。,下圖為液位可能控制系統(tǒng)。,108,消除結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定的措施有兩種 改變積

32、分性質(zhì)。 引入比例-微分控制，補(bǔ)上特征方程中的缺項(xiàng)。,該系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為,系數(shù)缺項(xiàng)，顯然不滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件，且無論怎么調(diào)整系統(tǒng)參數(shù)，都不能使系統(tǒng)穩(wěn)定。,109,1. 改變積分性質(zhì),用反饋 包圍積分環(huán)節(jié)或者包圍電動(dòng)機(jī)的傳遞函數(shù)，破壞其積分性質(zhì)。,110,2.引入比例－微分控制,在原系統(tǒng)的前向通路中引入比例-微分控制。,111,其閉環(huán)特征方程為,由穩(wěn)定的充分必要條件,引入比例－微分控制后，補(bǔ)上了特征方程中s的一次項(xiàng)系

33、數(shù)。只要適當(dāng)匹配參數(shù)，滿足上述條件，系統(tǒng)就可以穩(wěn)定。,112,3－4 穩(wěn)態(tài)誤差分析計(jì)算,一、誤差與穩(wěn)態(tài)誤差,系統(tǒng)的誤差e(t)常定義為：e(t)=期望值－實(shí)際值,誤差的定義有兩種:(1) e(t)=r(t)-c(t)(2) e(t)=r(t)-b(t),返回子目錄,113,穩(wěn)態(tài)誤差定義：穩(wěn)定系統(tǒng)誤差的終值稱為穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)。當(dāng)時(shí)間t趨于無窮時(shí)，e(t)極限存在，則穩(wěn)態(tài)誤差為,二、穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算,若e(t)的拉普拉斯變換為E(s) ，且,1

34、14,就成立。,注：,sE(s)的極點(diǎn)均在左半面的條件中，蘊(yùn)涵了閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件。,115,對(duì)上述系統(tǒng)，若定義e(t)=r(t)-b(t),則E(s)=R(s)-B(s),116,稱之為系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的誤差傳遞函數(shù)。,稱 為系統(tǒng)對(duì)干擾的誤差傳遞函數(shù)。,117,例：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖。當(dāng)輸入信號(hào)r(t)=1(t),干擾n(t)=1(t)時(shí)，求系統(tǒng)的總的穩(wěn)態(tài)誤差,解：① 判別穩(wěn)定性。由于是一階系統(tǒng)，所以只要參數(shù)

35、 大于零，系統(tǒng)就穩(wěn)定。,② 求E(s)。,118,根據(jù)結(jié)構(gòu)圖可以求出,依題意：R(s)=N(s)=1/s,則,③ 應(yīng)用終值定理得穩(wěn)態(tài)誤差,119,三 、輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系,當(dāng)系統(tǒng)只有輸入r(t)作用時(shí)，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,120,將G(s)H(s)寫成典型環(huán)節(jié)串聯(lián)形式：,當(dāng)sE(s)的極點(diǎn)全部在s平面的左半平面時(shí)，可用終值定理求得：,上式表明：系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差除與輸入有關(guān)外，只與系統(tǒng)的開環(huán)增益K和積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)

36、有關(guān)。,121,1.階躍信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差,要消除階躍信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差，開環(huán)傳遞函數(shù)中至少要有一個(gè)積分環(huán)節(jié)。但是，積分環(huán)節(jié)多會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。,122,2. 斜坡信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差,要消除斜坡信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差，開環(huán)傳遞函數(shù)中至少要有兩個(gè)積分環(huán)節(jié)。,123,3.等加速信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差,要消除等加速信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差，開環(huán)傳遞函數(shù)中至少要有三個(gè)積分環(huán)節(jié)。但是，積分環(huán)節(jié)多會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。,124,由以上分析可見，要消除系統(tǒng)

37、在冪函數(shù)輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差，則要求增加積分環(huán)節(jié)的數(shù)目，要減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，則要求提高開環(huán)增益。,系統(tǒng)型別是針對(duì)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)而言的。?=０的系統(tǒng)稱為０型系統(tǒng)；?＝１的系統(tǒng)稱為Ⅰ型系統(tǒng)；?＝２的系統(tǒng)稱為Ⅱ型系統(tǒng)。,125,靜態(tài)誤差系數(shù),由,當(dāng),定義靜態(tài)位置誤差系數(shù) Kp 為,得,126,當(dāng),定義靜態(tài)速度誤差系數(shù) Kv 為,當(dāng),定義靜態(tài)加速度誤差系數(shù) Ka 為,127,,典型輸入下的靜態(tài)誤差系數(shù)及穩(wěn)態(tài)誤差

38、,128,例：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖：若輸入信號(hào)為 ，,試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。,解：① 判別穩(wěn)定性。系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為,129,② 根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與穩(wěn)態(tài)誤差之間的關(guān)系，可以直接求 。,從結(jié)構(gòu)圖看出，該系統(tǒng)為單位反饋且屬Ⅱ型系統(tǒng)。因此,。,。,130,注意事項(xiàng),系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的，否則計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差沒有意義；以上結(jié)論僅適用于輸入信號(hào)作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，不適用于干擾作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差；上述公式中Ｋ

39、必須是系統(tǒng)的開環(huán)增益，也即開環(huán)傳遞函數(shù)中，各典型環(huán)節(jié)的常數(shù)項(xiàng)均為１時(shí)的系數(shù)；以上規(guī)律是根據(jù)誤差定義E(s)=R(s)-B(s)推得的。,131,四、干擾作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系,用一待定的 來代替上圖中的 ，然后找出消除系統(tǒng)在干擾n(t)作用下的誤差時(shí)， 需具備的條件。,132,133,以上分析表明， 是誤差信號(hào)到干擾作用點(diǎn)之間的傳遞函數(shù)，系統(tǒng)在時(shí)間冪函數(shù)干擾作用下的穩(wěn)態(tài)誤差

40、 與干擾作用點(diǎn)到誤差信號(hào)之間的積分環(huán)節(jié)數(shù)目和增益大小有關(guān)，而與干擾作用點(diǎn)后面的積分環(huán)節(jié)數(shù)目和增益大小無關(guān)。,134,例：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下，已知干擾n(t)=1(t),試求干擾作用下的穩(wěn)態(tài)誤差 。,解：① 判斷穩(wěn)定性。系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為,135,所以閉環(huán)特征方程為,② 求穩(wěn)態(tài)誤差 。,從圖中可以看出，誤差信號(hào)到干擾作用點(diǎn)之前的傳遞函數(shù)中含有一個(gè)積分環(huán)節(jié)，所以可得出 ，系統(tǒng)在階躍干擾作用下的穩(wěn)態(tài)誤差