第三章自動控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法

1、1,第三章 自動控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法,第一節(jié) 系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,第二節(jié) 自動控制系統(tǒng)的動態(tài)性能分析,第三節(jié) 穩(wěn)態(tài)性能分析,2,第一節(jié) 系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,一、穩(wěn)定性的概念,,定義：線性系統(tǒng)處于某一平衡狀態(tài)下，受到干擾的作用而偏離了原來的平衡狀態(tài)，在干擾消失后，系統(tǒng)能夠回到原狀態(tài)或者回到原平衡點(diǎn)附近，稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則，不穩(wěn)定。,穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而與初始條件和外作用的大小無關(guān)。,3,二、系統(tǒng)穩(wěn)定的

2、充分必要條件,線性系統(tǒng)特征方程的所有根的實(shí)部都必須是負(fù)數(shù)。,三、Hurwritz代數(shù)穩(wěn)定判據(jù),1．Hurwritz代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)內(nèi)容設(shè)線性系統(tǒng)的特征方程式為：D(s)=ansn+ an-1sn-1+……+ a2s2+ a1s+ a0=0，則系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：（1）特征方程的各項(xiàng)系數(shù)均為正值?！匾獥l件（2）特征方程的Hurwritz行列式△k(k=1，2，…… n)均大于0。——充分條件,2．Hurwritz行列式△k的編

3、寫方法 ①第一行為特征式第二項(xiàng)、第四項(xiàng)等偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)； ②第二行為特征式第一項(xiàng)、第三項(xiàng)等偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)； ③第三、四行重復(fù)上二行的排列，但向右移一列，前一 列則用0代替。,4,其中,,,,5,3．推論,在特征方程式各項(xiàng)系數(shù)全為正的條件下，若所有奇次Hurwritz行列式為正，則所有偶次Hurwritz行列式必為正，反之亦然。,例3-1 設(shè)系統(tǒng)的特征方程式為 2s4+s3+3s2+5s+10=0,試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性.,解

4、：（1）各項(xiàng)系數(shù)為正，且不為零，滿足穩(wěn)定的必要條件。 （2）系統(tǒng)的Hurritz行列式為,例3-2 已知系統(tǒng)的框圖如圖3-2所示，求當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K的取值范圍。,圖3-2,所以，該系統(tǒng)不穩(wěn)定。,解：因?yàn)槲粗苯咏o出系統(tǒng)的特征方程式，故須求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞 函數(shù)，從而得到特征方程式D(s)。,（1）閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：,,（2）系統(tǒng)的特征方程式為s3+3s2+2s+K=0（3）穩(wěn)定的必要條件是系統(tǒng)的特征方程式各項(xiàng)系數(shù)為正，因而要求

5、K>0 。,（4）系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件是：,,由此可見，加大系統(tǒng)增益對系統(tǒng)的穩(wěn)定性不利。,,因此，為保證系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，增益K的可調(diào)范圍是,上例表明，某些系統(tǒng)在一定的參數(shù)范圍內(nèi)，它是穩(wěn)定的；超出這個(gè)范圍，它就是不穩(wěn)定的。這類系統(tǒng)稱為條件穩(wěn)定系統(tǒng)。但有些系統(tǒng)，無論如何調(diào)整其他參數(shù)，系統(tǒng)也不穩(wěn)定。這類系統(tǒng)稱為結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)。如特征方程式缺項(xiàng)，或者出現(xiàn)負(fù)系數(shù)等。對于結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)，必須采用校正措施才能改善其穩(wěn)定性。,7,第二節(jié) 自動控制

6、系統(tǒng)的動態(tài)性能分析,一、一階系統(tǒng) 的時(shí)域分析,1、一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,圖3-2為一典型一階系統(tǒng)的框圖。一階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)閉環(huán)傳遞函數(shù)為,T ——時(shí)間常數(shù),2、一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng),若r(t)為單位階躍信號，即R(s)=1/s，則,對上式進(jìn)行拉氏反變換，得單位階躍響應(yīng)為,其曲線如圖3-3所示，它具有以下特點(diǎn)：,圖3-3,t=3T－4T時(shí),過渡過程基本結(jié)束;,t=0處斜率為1/T,t=T時(shí),輸出到達(dá)穩(wěn)態(tài) 的63.2%;,t→∞時(shí),輸出等于輸

7、 入值（公式中暫態(tài)項(xiàng)等于零）;,無振蕩，無超調(diào),3、一階系統(tǒng)的性能指標(biāo),上升時(shí)間 ：,超調(diào)量 ：,調(diào)節(jié)時(shí)間 ：,9,二、二階系統(tǒng)的時(shí)域分析,1、二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,方框圖,標(biāo)準(zhǔn)閉環(huán)傳遞函數(shù),ξ——阻尼比， ωn ——自然振蕩角頻率T ——時(shí)間常數(shù),開環(huán)傳遞函數(shù),10,2、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng),對上式進(jìn)行拉氏反變換，得單位階躍響應(yīng)為,,其曲線如圖3—5所示該曲線特點(diǎn)：衰減振蕩,圖3—5,12,3．二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)

8、,1)上升時(shí)間tr： 定義：c(t)從0上升到c(∞)所需的時(shí)間。,,得,2)峰值時(shí)間tr： 定義：c(t)從0上升到c(∞)所需的時(shí)間。,,,,取n=1，得,13,,3)最大超調(diào)量,,定義：,,僅與阻尼比ξ有關(guān)，ξ越大， 則越小，系統(tǒng)的穩(wěn)定性越好。,4)調(diào)整時(shí)間ts,定義：系統(tǒng)輸出量與穩(wěn)態(tài)值之差進(jìn)入并一直保持在允許誤差帶δ內(nèi)所需要的時(shí)間。δ取2%或5% 。,,5)振蕩次數(shù) N,定義：在調(diào)整時(shí)間ts內(nèi)，輸出量c(

9、t)在穩(wěn)態(tài)值上下擺動的次數(shù)。,,14,第三節(jié) 穩(wěn)態(tài)性能分析,一、系統(tǒng)誤差與穩(wěn)態(tài)誤差,系統(tǒng)誤差,象函數(shù)形式,穩(wěn)態(tài)誤差,,,,,,終值定理,,,15,線性系統(tǒng)的總誤差為跟隨誤差和擾動誤差的代數(shù)和，即,,,給定輸入信號r(t)作用,,,,擾動輸入信號d(t)作用,,,,,16,二、輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差,與系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)及輸入信號R(s)有關(guān),1、典型輸入信號,,,2、型別,,系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù),注：含兩個(gè)以上積分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)不易穩(wěn)

10、定，所以很少采用II型以上的系統(tǒng),17,3、穩(wěn)態(tài)誤差與輸入信號、型別的關(guān)系,輸入信號為單位階躍信號,0型系統(tǒng),I型及I型以上系統(tǒng),,輸入信號為單位斜坡信號,,0型系統(tǒng),I型系統(tǒng),II型及II型以上系統(tǒng),,,,18,輸入信號為單位加速度信號,,0型系統(tǒng),I型系統(tǒng),II型系統(tǒng),,,,,II型以上系統(tǒng),總結(jié)：穩(wěn)態(tài)誤差與輸入信號有關(guān) 穩(wěn)態(tài)誤差與前向通路積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)v和開環(huán)增益K有關(guān)。若v愈多，K愈大，跟隨穩(wěn)態(tài)精度愈高。,例3- 2 已知某

11、單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 當(dāng)輸入信號r(t)=2+4t+t2時(shí)，試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。,解：首先判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)得系統(tǒng)的閉環(huán)特征式為 D(s)=s(s+4)(s+5)+20(s+2)=s3+9s2+40s+40=0由二階Hurwitz行列式 可知，該系統(tǒng)閉環(huán)是穩(wěn)定的。,,根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù),可知系統(tǒng)為v=1，K=2。由于輸入信號是由階躍、斜坡和加速度信

12、號組成的復(fù)合信號，根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，系統(tǒng)總誤差為各個(gè)信號單獨(dú)作用下的誤差之和。因此所求誤差為,,計(jì)算結(jié)果表明，該系統(tǒng)不能跟隨給定的輸入信號，應(yīng)進(jìn)行系統(tǒng)結(jié)構(gòu)校正。,20,三、擾動信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差,,,當(dāng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)=G1(s)G2(s)H(s)》1時(shí)，上式可近似為,,,,則系統(tǒng)在擾動信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為,設(shè),可見，輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)及輸入信號R(s)有關(guān)，擾動信號作用下穩(wěn)態(tài)誤差的大小和

13、有無，除了與擾動信號D(s)的形式有關(guān)外，當(dāng)G(s)=G1(s)G2(s)H(s)》1時(shí)，主要取決于擾動作用點(diǎn)前傳遞函數(shù)G1(s)中積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)v和放大倍數(shù)K。,同理從以上分析可知，系統(tǒng)在擾動信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差 與擾動信號有關(guān)，擾動信號不同，其穩(wěn)態(tài)誤差是不同的。 與擾動信號作用點(diǎn)前的積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)v1和開環(huán)增益K1有關(guān)。若v1愈多，K1愈大， 則對擾動信號的穩(wěn)態(tài)精度愈高。,例3-3 某系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖3-8 所示，假設(shè)r(t)=t

14、，d(t)=0.5，試計(jì)算該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。,首先判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，可得系統(tǒng)的閉環(huán)特征式為D(s)=s(3s+1)(0.2s+1)+4×0.5=0.6s3+3.2s2+s+2=0由二階Hurwitz行列式可知，該系統(tǒng)閉環(huán)是穩(wěn)定的。,圖3－8,22,由此可知，系統(tǒng)為I型，開環(huán)放大倍數(shù)K=2，且輸入為單位斜坡信號。因此 essr=1/K=1/2=0.5,,計(jì)算在輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差essr。 系統(tǒng)的開環(huán)傳