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文檔簡介
1、1,§2.3 極限運算的基本法則及其運用,問題: 根據(jù)極限的定義, 只能驗證某個常數(shù) A 是否為某個函數(shù)?(x)的極限, 而不能求出函數(shù)?(x)的極限. 為了解決極限的計算問題, 下面介紹極限的運算法則; 并利用這些法則和§2.1及2.2中的某些結(jié)論來求函數(shù)極限.,一.極限的四則運算法則,定理6. 若lim ?(x) = A, lim g(x) = B. 則(1). lim [?(x)
2、 ± g(x)] = lim ?(x) ± lim g(x) = A ± B;(2). lim?(x) · g(x) = lim?(x) · lim g(x) = A · B;(3).當,2,其證明可用定義. 以極限過程為x→x0的證明(1)為例. 由|[?(x)+g(x)]–(A+ B) |=|[?(x) – A] +[g(x) – B]|≤|?(x) – A |+
3、|g(x) – B |即可.,(1)、(2)的推廣:,(2)中 g(x) = c 時, lim c?(x) = c lim?(x).,(2)中?(x) = g(x) 時,,3,有理分式函數(shù),從而有多項式函數(shù),例9. 求,4,5,6,對有理分式函數(shù)F(x), 在x→∞ 時極限有如下討論:,例10. 設,求,7,解,例11. 求,8,,例12.,二.復合函數(shù)的極限運算法則,定理7. 如果函數(shù) y =?(u) , u =φ(x)滿足條
4、件:,則復合函數(shù)?[φ(x) ], 當x→x0時的極限也存在, 且,9,其理論證明(略). 但須指出以下兩點:(1).也可將此定理中的極限過程改為x→∞, 或者將φ(x)的極限 a 改為 ∞ (即只須外函數(shù)極限存在), 結(jié)論同樣成立.(2).此定理表明了滿足定理條件的復合函數(shù)的極限是存在的, 同時也說明用變量替換的方法去計算復合函數(shù)的極限是可行的, 即?(u)與u = φ(x)滿足定理條,件, 則通過變換
5、u = φ(x) , 即可把求,的,問題轉(zhuǎn)換為求,10,例13.求,提示:,三.曲線的漸近線,定義 當曲線 y = ?(x)上動點M沿著曲線無限遠離原點移動時,若該動點M到某直線L的距離無限趨近于零(如右圖),則稱此直線L是曲線y = ?(x) 的漸近線.,,,o,x,y,,,y=?(x),,,?,»,α,α,M,Q,L:y=ax+b,?,?,,?,,故應當考慮左、右極限.,11,曲線y = ?(x) 的漸近線按其與x軸的位置
6、關系, 可分為以下三種:,則稱直線 y = c為曲線 y = ?(x)的水平漸近線.,因,,,o,x,y,,,,y=arctgx,y=π/2,y= – π/2,1.水平漸近線,如果曲線y = ?(x)的定義域是無限區(qū)間, 且有,所以曲線y = arctan x有水平漸近線 y= π/2 與 y= -π/2.,問題:曲線 是否有水平漸近線?分別是什么?,12,2.垂直(鉛垂)漸近線,如果曲線 y = ?(x
7、)在x0 處無定義(或不連續(xù)), 且,則稱直線 x=x0 為曲線 y = ?(x) 的垂直漸近線.,因,,,o,x,y,,,,,問題:曲線,, 所以曲線,有一條垂直漸近線 x = 0.,是否有垂直漸近線?,分別是什么?,13,,3.斜漸近線,則稱直線y = ax + b為曲線 y =?(x) 的斜漸近線. (如圖),,,o,x,y,,,y=?(x),,,?,»,α,α,M,Q,L:y=ax+b,?,?,?,,14,分析:如
8、果曲線 y =?(x)有斜漸近線 y = ax+b, 則由定義知必有,兩邊同除以x并取極限有,從而得到求曲線 y = ?(x) 的斜漸近線 y = ax+b 的公式為,15,例14.求下列函數(shù)的漸近線,故垂直漸近線: x = 0; 斜漸近線: y = x +2.,故斜漸近線: y = x + π/2 及 y = x – π/2.,16,證明 設 A > 0取正數(shù)ε < A, 由lim?(x)= A的定義,,A–
9、ε < ?(x) < A +ε,由 A – ε >0 知 ?(x) >0.,同理可證 A <0的情形.,推論1. 若 lim ?(x) = A 且 A ≥0(或 A ≤0). 則存在那么一個時刻, 在此時刻以后, 就恒有?(x)≥0 (或?(x)≤0).,定理5.(局部保號性定理)若lim ?(x)=A 且 A>0(或A0 (或?(x) <0).,必存在那么一個時刻, 在此時刻以后,
10、 就,恒有| ?(x) – A |< ε 即,17,定理6.(局部保號性定理) 若lim?(x)= A且?(x)≥0(或?(x)≤0), 則A ≥0 (或 A ≤0).,其證明可用反證法(略).,也可將?(x)≥0中等號去掉, 定理結(jié)論同樣成立.,上述幾條性質(zhì)對于特殊函數(shù)—數(shù)列也適用.,推論2.若lim?(x)= A存在, 則存在一個時刻, 在此時刻以后, 就恒有,推論3.若lim ?(x)與lim g(x)存在,
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