空間中的垂直問題練習(xí)題答案

1、1空間線線、線面、面面垂直關(guān)系練習(xí)題空間線線、線面、面面垂直關(guān)系練習(xí)題一、填空題一、填空題1給出下列三個(gè)命題：①“直線、為異面直線”的充分非必要條件是“直線、不相交”；abab②“直線垂直于直線”的充分非必要條件是“直線垂直直線在平面內(nèi)的射影”；abab?③“直線垂直平面”的必要非充分條件是“直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線”a?a?其中所有真命題的序號(hào)是③2如圖，正方形ABCD，P是正方形平面外的一點(diǎn)，且PA⊥平面ABCD則在△PAB、△

2、PBC、△PCD、△PAD、△PAC及△PBD中，為直角三角形有______5___個(gè)3在四棱錐PABCD中，PA⊥底面ABCD，底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足時(shí)，平面MBD⊥BMPC?平面PCD4已知三棱錐的底面是正三角形，點(diǎn)在側(cè)面上的射影ABCS?ASBC是的垂心，且的長(zhǎng)為定值，則下列關(guān)于此三棱錐的命題：①點(diǎn)在側(cè)面上的射影是HSBC?SABSAC的垂心；②三棱錐是一個(gè)正三棱錐；③三棱錐的體積有最大值；④三棱錐SAC?

3、ABCS?ABCS?的體積有最小值.其中正確命題的序號(hào)為①②③.ABCS?5如果ab是異面直線，P是不在ab上的任意一點(diǎn)，下列四個(gè)結(jié)論：（1）過P一定可作直線L與ab都相交；（2）過P一定可作直線L與ab都垂直；（3）過P一定可作平面與ab都平行；（4）?過P一定可作直線L與ab都平行，其中正確的結(jié)論有___（2）______6給出下列命題：①分別和兩條異面直線ABCD同時(shí)相交的兩條直線ACBD一定是異面直線②同時(shí)與兩條異面直線垂直的兩

4、直線不一定平行③斜線b在面α內(nèi)的射影為c，直線a⊥c，則a⊥b④有三個(gè)角為直角的四邊形是矩形，其中真命題是①7點(diǎn)P在直徑為2的球面上，過P作兩兩垂直的三條弦，若其中一條弦長(zhǎng)是另一條弦長(zhǎng)的2倍，則這三條弦長(zhǎng)之和為最大值是57028正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1，棱AB平面，則正四面體上?的所有點(diǎn)在平面內(nèi)的射影構(gòu)成圖形面積的取值范圍是?]2142[9直二面角α－－β的棱上有一點(diǎn)A，在平面α、β內(nèi)各有一條射線AB，AC與成450，ABlll，則∠

5、BAC=（或，兩種情形）????AC60?120?10.四棱錐的底面是矩形，面，為的中點(diǎn)，DABCE?DE?ABCE312.DEECBCG???DA為上一點(diǎn)，且面，則＝.QDCEQ?GBCDQQC3211已知邊長(zhǎng)為的正，點(diǎn)分別在邊上，且，23ABC?DEABACDEBC以為折痕，把折起至，使點(diǎn)在平面上的射影DEADE?ADE??A?BCED始終落在邊上，記，則的取值范圍為HBC2ADESAH???的面積S【答案】【解析】設(shè)到的距離為，則

6、與間距離為3()3??ADExDEBC，的面積為的取值范3x?ADE??233x??222369AHxxx??????2339232xSxx???????????S?圍為3()3??12三棱錐中，，點(diǎn)在△內(nèi)，且ABCP????????90CPABPCAPBMABC??MPA，則的度數(shù)是_________???60MPBMPC??4513.如圖，與是四面體中互相垂直的棱，，若，且ADBCABCD2?BCcAD2?，其中、為常數(shù)，則四面體的

7、體積的最aCDACBDAB2????acABCD大值是?！敬鸢浮?3222??cac14如圖，已知平面平面，、是平面與平面的交線上???AB??的兩個(gè)定點(diǎn)，，且，，，DACB????DA??CB??4AD?，，在平面上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，使得，8BC?6AB??PAPDBPC???則的面積的最大值是12.PAB?二、解答題二、解答題15如圖，正方形所在的平面與三角形所在的平面交于，平面，且ABCDCDECDAE?CDE2ABAE?（1）求證：平

8、面；ABCDE（2）求證：平面平面；ABCD?ADE證明：證明：（1）正方形ABCD中，ABCD，又AB?平面CDE，CD?平面CDE，所以AB平面CDE（2）因?yàn)锳ECDE?平面，且CDCDE?平面，所以AECD?，又ABCDCDAD?正方形中，，且AEADA??AEADADE?、平面，所以CDADE?平面，又CDABCD?平面，所以ABCDADE?平面平面1616.如圖所示，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，EC＝C

9、A＝2BD，M是EA的中點(diǎn)求證：（1）平面BDM⊥平面ECA（2）平面DEA⊥平面ECA17.如圖，在四棱錐中，平面平面，PABCD?PAD?ABCD，是等邊三角形，已知，ABDC∥PAD△28BDAD??245ABDC??(1)設(shè)是上的一點(diǎn)，證明：平面平面；MPCMBD?PAD(2)求四棱錐的體積PABCD?(1)證明：在中，由于，，ABD△4AD?8BD?，所以故45AB?222ADBDAB??ADBD?又平面平面，平面平面，PAD

10、?ABCDPAD?ABCDAD?平面，所以平面，BD?ABCDBD?PAD又平面，故平面平面BD?MBDMBD?PAD(2)解：過作交于，由于平面平面PPOAD?ADOPAD?，所以平面因此為四棱錐的ABCDPO?ABCDPOPABCD?高，又是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形因PAD△此在底面四邊形中，，，所以四邊形是梯34232PO???ABCDABDC∥2ABDC?ABCDαβPABDCABCDEABCMPD3設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，則，a22132

11、AOa?2234MOa?在Rt△中，∵，∴11ACM22194AMa?22211AOMOAM??∵OM∩DB=O，∴⊥平面MBD1AOOM?1AO評(píng)注：在證明垂直關(guān)系時(shí)，有時(shí)可以利用棱長(zhǎng)、角度大小等數(shù)據(jù)，通過計(jì)算來證明22.如圖2，是△ABC所在平面外的一點(diǎn)，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平P面PBC求證：BC⊥平面PAC證明：在平面PAC內(nèi)作AD⊥PC交PC于D因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面PBC，且兩平面交于PC，平面PAC，且AD⊥PC，

12、由面面垂直的性質(zhì)，得AD⊥平面PBC又∵平面AD?BC?PBC，∴AD⊥BC∵PA⊥平面ABC，平面ABC，∴PA⊥BCBC?∵AD∩PA=A，∴BC⊥平面PAC評(píng)注：已知條件是線面垂直和面面垂直，要證明兩條直線垂直，應(yīng)將兩條直線中的一條納入一個(gè)平面中，使另一條直線與該平面垂直，即從線面垂直得到線線垂直在空間圖形中，高一級(jí)的垂直關(guān)系中蘊(yùn)含著低一級(jí)的垂直關(guān)系，通過本題可以看到，面面垂直線面垂直線線垂直??一般來說，線線垂直或面面垂直都可轉(zhuǎn)

13、化為線面垂直來分析解決，其關(guān)系為：線線垂直線????????判定性質(zhì)面垂直面面垂直這三者之間的關(guān)系非常密切，可以互相轉(zhuǎn)化，從前面推出后面是判定定理，????????判定性質(zhì)而從后面推出前面是性質(zhì)定理同學(xué)們應(yīng)當(dāng)學(xué)會(huì)靈活應(yīng)用這些定理證明問題下面舉例說明23.如圖１所示，ABCD為正方形，⊥平面ABCD，過且垂直于的平面分別交于SAASCSBSCSD平平求證：，EFG平平AESB?AGSD?證明：∵平面ABCD，SA?∴∵，∴平面SAB又∵平

14、面SABC?ABBC?BC?AE?SAB，∴∵平面AEFG，∴∴平面BCAE?SC?SCAE?AE?SBC∴同理可證AESB?AGSD?評(píng)注：本題欲證線線垂直，可轉(zhuǎn)化為證線面垂直，在線線垂直與線面垂直的轉(zhuǎn)化中，平面起到了關(guān)鍵作用，同學(xué)們應(yīng)多注意考慮線和線所在平面的特征，從而順利實(shí)現(xiàn)證明所需要的轉(zhuǎn)化24.如圖２，在三棱錐Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ為垂足，作AH⊥BE于Ｈ求證：AH⊥平面BCD證明：取AB的中點(diǎn)Ｆ

15、，連結(jié)CF，DF∵，∴ACBC?CFAB?∵，∴ADBD?DFAB?又，∴平面CDFCFDFF??AB?∵平面CDF，∴CD?CDAB?又，，CDBE?BEABB??∴平面ABE，CD?CDAH?∵，，，AHCD?AHBE?CDBEE??∴平面BCDAH?評(píng)注：本題在運(yùn)用判定定理證明線面垂直時(shí)，將問題轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；而證明線線垂直時(shí)，又轉(zhuǎn)化為證明線面垂直如此反復(fù)，直到證得結(jié)論25如圖３，是圓Ｏ的直徑，Ｃ是圓周上一點(diǎn)，平面ABC若AE

16、⊥PC，Ｅ為垂足，Ｆ是PB上ABPA?任意一點(diǎn)，求證：平面AEF⊥平面PBC證明：∵AB是圓Ｏ的直徑，∴ACBC?∵平面ABC，平面ABC，PA?BC?∴∴平面APCPABC?BC?∵平面PBC，BC?∴平面APC⊥平面PBC∵AE⊥PC，平面APC∩平面PBC＝PC，∴AE⊥平面PBC∵平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBCAE?評(píng)注：證明兩個(gè)平面垂直時(shí)，一般可先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線即證線面垂直，而證線面垂直則需從已知條件出發(fā)尋

17、找線線垂直的關(guān)系26.如圖在空間四邊形SABC中SA?平面ABC?ABC=90?AN?SB于NAM?SC于M。求證:①AN?BC②SC?平面ANM分析:①要證AN?BC轉(zhuǎn)證BC?平面SAB。②要證SC?平面ANM轉(zhuǎn)證SC垂直于平面ANM內(nèi)的兩條相交直線即證SC?AMSC?AN。要證SC?AN轉(zhuǎn)證AN?平面SBC就可以了。證明:①∵SA?平面ABC∴SA?BC又∵BC?AB且ABSA=A∴BC?平面?SAB∵AN平面SAB?∴AN?BC②

18、∵AN?BCAN?SB且SBBC=B∴AN?平面SBC∵SCC平面?SBC∴AN?SC又∵AM?SC且AMAN=A∴SC?平面ANM?27.在三棱錐S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC（1）求證：AB⊥BC；（1）【證明】作AH⊥SB于H，∵平面SAB⊥平面SBC平面SAB∩平面SBC=SB，∴AH⊥平面SBC，又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，而SA在平面SBC上的射影為SB，∴BC⊥SB，又SA∩SB=S，∴BC⊥

19、平面SAB∴BC⊥AB28.如圖9—41，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)（1）求平面PCD與平面ABCD所成的二面角的大??；（2）求證：平面MND⊥平面PCD（1）【解】PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴PD⊥CD，故∠PDA為平面ABCD與平面PCD所成二面角的平面角，在Rt△PAD中，PA=AD，∴∠PDA=45（2）【證明】取PD中點(diǎn)E，連結(jié)EN，EA，則EN21CDAM，∴