基于奇異攝動理論的馬爾可夫機(jī)制轉(zhuǎn)換波動模型下的期權(quán)定價.pdf

1、期權(quán)作為一種重要的金融衍生證券，于70年代中期首先在美國出現(xiàn)。30多年來它作為一種金融創(chuàng)新工具及防范風(fēng)險和投機(jī)的有效手段，得到了迅猛發(fā)展。但是期權(quán)的價格很難從市場中直接反映或獲得，因此期權(quán)定價問題一直都是金融數(shù)學(xué)所關(guān)心的一個重要問題。Black-Scholes期權(quán)定價模型是期權(quán)定價的核心和基礎(chǔ)，自從其建立以來，一直被認(rèn)為是衍生定價和風(fēng)險管理的有力工具。但是長期以來，無論是實證研究還是理論分析都已經(jīng)發(fā)現(xiàn)和證明了Black-Scholes期

2、權(quán)定價模型中常數(shù)波動率不能很好的描述市場的運動，這就指導(dǎo)我們建立和分析動態(tài)波動率模型。
　　 事實上，波動率是隨機(jī)的，它是股票價格和時間的函數(shù)，這可以解釋隱含波動率“微笑曲線”和“偏斜效應(yīng)”。本文通過對金融衍市場、金融衍生品以及股票市場的運行、特征的分析，也證明了Black-Scholes期權(quán)定價模型不能很好的反映期權(quán)的實際價格。因此本文分析了具有隨機(jī)波動率的期權(quán)定價模型，對Black-Scholes模型進(jìn)行修正，并且建立了馬爾

3、可夫機(jī)制轉(zhuǎn)換波動模型。由于波動率的隨機(jī)性和不可觀測性，所以隨機(jī)波動率模型下的顯示解很難得到，因此本文運用奇異攝動理論、雙時標(biāo)思想以及漸近展開方法對期權(quán)定價進(jìn)行研究。具體在以下五個方面的研究成果比較突出:
　　 第一，在分析期權(quán)定價理論中的風(fēng)險中性定價理論和無套利理論基礎(chǔ)上對Black-Scholes模型的結(jié)構(gòu)、結(jié)果進(jìn)行分析，認(rèn)為經(jīng)典Black-Scholes模型不能精確地反映出期權(quán)的價格。為此本文討論了幾種不同的波動率模型，在對

4、隨機(jī)波動率模型分析的基礎(chǔ)上，分析了具有均值回復(fù)特點的隨機(jī)波動率模型。由于控制單個股票走向的一個主要因素是整體股票市場的走向，因此有必要讓股票的這個主要參數(shù)來反映股票市場的運動。股票市場機(jī)制能夠反映出根本的經(jīng)濟(jì)狀態(tài)、市場中投資者的心態(tài)以及其它一些經(jīng)濟(jì)因素。假設(shè)市場機(jī)制（模式）的轉(zhuǎn)換是有限狀態(tài)的，則簡單來說，股票參數(shù)依賴于市場機(jī)制（模式）的模型稱為機(jī)制轉(zhuǎn)換模型。我們用馬爾可夫鏈來表示這種機(jī)制轉(zhuǎn)換，比如一個具有兩狀態(tài)的馬爾可夫鏈，其狀態(tài)空間為

5、{0，1｝，可以用來描述市場模式（機(jī)制）在“牛市”和“熊市”兩種機(jī)制下的轉(zhuǎn)換。由于馬爾可夫機(jī)制轉(zhuǎn)換隨機(jī)波動模型能夠很好的模擬由于一些事件或者政策變動引起的機(jī)制變化，因此，我們將有限狀態(tài)馬爾可夫鏈引入到波動率模型中來更好的描述股票市場波動過程中的機(jī)制變換問題。通過對模型進(jìn)行設(shè)計和構(gòu)建，建立了馬爾可夫機(jī)制轉(zhuǎn)換期權(quán)定價模型。
　　 第二，本文通過對攝動理論、奇異攝動方法和雙時標(biāo)方法進(jìn)行分析，將其應(yīng)用到期權(quán)價格的波動率模型中來描述波動率

6、“微笑曲線”;通過將過程分為慢變和快變兩部分來討論，從而將“微笑曲線”復(fù)雜的系統(tǒng)簡化為兩個子系統(tǒng)研究，對理論研究和證明提供了明確、清晰的研究思路和方法。
　　 第三，表面上看來期權(quán)價格顯式解的計算好像應(yīng)該是很快且精確的，但事實上，由于波動率的隨機(jī)性和不可觀測性，不能得到期權(quán)價格的精確解，因此，只能通過數(shù)值方法得到其近似值。通常這個計算采用數(shù)值積分方法或者是采用逼近的方法來得到。本文利用了奇異攝動理論和雙時標(biāo)方法，將其引入到機(jī)制轉(zhuǎn)

7、換擴(kuò)散模型中對期權(quán)價格進(jìn)行漸近擴(kuò)展，運用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)得到并證明了展開式的零階項即為一般Black-Scholes模型價格的漸近值，而高階項可以看作是其修正項，從而得到更精確的期權(quán)定價，在此基礎(chǔ)上證明了漸近值與真實價格之間的誤差估計為無窮小量，即近似值是期權(quán)定價的很好的逼近。
　　 最后，在以上理論研究的基礎(chǔ)之上，通過數(shù)值試驗來說明本文的馬爾可夫機(jī)制轉(zhuǎn)換波動率模型可以更好的刻畫波動率“微笑效應(yīng)”，并得到很好的試驗結(jié)果。本文還對S