7.彎曲變形

1、第六章 彎曲變形,第六章 彎曲變形,重點掌握內(nèi)容：,1、計算梁在荷載作用下的變形問題,2、建立剛度條件,3、利用梁的變形解決超靜定問題,,第一節(jié) 梁的變形和位移,1、撓曲線：,在平面彎曲情況，梁變形后的軸線將成為xoy平面內(nèi)的一條曲線。這條連續(xù)、光滑的曲線—梁的撓曲線。 （彈性曲線）,,,,2、截面轉(zhuǎn)角和撓度,（梁彎曲變形的兩個基本量）,（1）撓度：梁變

2、形后，橫截面的形心在垂直 于梁軸線（x 軸）方向上所產(chǎn)生 的線位移，稱為梁在截面的撓度。,一般情況下，不同橫截面的撓度值不同。,橫截面撓度隨截面位置（x 軸）而改變的規(guī)律用撓曲線方程表示。即：,符號：撓度向下為正， 向上為負(fù)。 單位：mm,P,（2）轉(zhuǎn)角：橫截面繞中性軸所轉(zhuǎn)過的角度。,由梁彎曲的

3、平面假設(shè)可知：梁的橫截面變形前垂直于軸線，變形后仍垂直于撓曲線。,?A：曲線OAB在A點的切線與X軸間的夾角。,符號：轉(zhuǎn)角從X軸逆時針轉(zhuǎn)至切線方向為正， 反之為負(fù)。 單位：弧度,（3）截面撓度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系,撓曲線的斜率：,工程中由于是小變形，? 極小。可用：,注： 撓曲線上任意點處切線的斜率等于該點處橫截面的轉(zhuǎn)角。,彈性曲線的小撓

4、度微分方程,力學(xué)公式,數(shù)學(xué)公式,此即彈性曲線的小撓度微分方程,,撓曲線近似微分方程,積分一次：,再次積分：,積分常數(shù)：需要利用邊界條件和連續(xù)光滑條件來確定。,邊界條件和連續(xù)光滑條件：梁上某些橫截面處 位移為已知的條件。,撓曲線近似微分方程,例題1：求該懸臂梁的最大撓度和轉(zhuǎn)角,解：,建立坐標(biāo)、寫彎矩方程,積分一次：,再次積分：,第三節(jié) 用積分法求彎曲變形,P,利用邊界條件確定積分常數(shù)：,例題2：求該簡支梁的

5、最大撓度和轉(zhuǎn)角,解：,建立坐標(biāo)、寫彎矩方程,積分一次：,再次積分：,,利用邊界條件確定積分常數(shù)：,例題3：求該簡支梁的最大撓度和轉(zhuǎn)角,解：,建立坐標(biāo)、寫彎矩方程,積分一次：,再次積分：,利用邊界條件確定積分常數(shù)：,第四節(jié) 用疊加法求彎曲變形,* 疊加法：當(dāng)梁上同時作用幾個荷載時， 在小變形情況下，且梁內(nèi)應(yīng)力不超過比例極限，則每個荷載所引起的變形（撓度

6、和轉(zhuǎn)角）將不受其它荷載的影響。,即：梁上任意橫截面的總位移等于各荷載單獨作用時，在該截面所引起的位移的代數(shù)和。,* 荷載疊加：將作用在梁上的荷載分解成單個荷載，利用單個荷載作用下梁的撓度和轉(zhuǎn)角的結(jié)果進(jìn)行疊加，就可求得梁在多個荷載作用下的總變形。,* 逐段剛化法：將梁分成幾段，分別計算各段梁的變形在需求位移處引起的位移，然后計算其總和。,即：考慮某段梁的變形時，將其它梁段視為剛體，在利用外力平移計算其它梁段的變形，

7、最后疊加。,,,例題4：求最大撓度和轉(zhuǎn)角,例題5：求：梁跨中點處的撓度。已知：抗彎剛度EI,解：,例題6：已知簡支外伸梁抗彎剛度EI。試求：A點撓度,解：,第五節(jié) 提高梁剛度的一些措施,1、剛度條件：,例題7：已知：P1=2KN，P2=1KN。L=400mm，a=100mm，外徑D=80mm，內(nèi)徑d=40mm，E=200GPa，截面C處撓度不超過兩軸承間距離的10-4，軸承B處轉(zhuǎn)角不超過10-3弧度。試校核該主軸的剛度。,,,,滿

8、足剛度條件,2、提高梁剛度的措施,注： 梁的變形不僅與荷載、支承有關(guān)，而且與材料、跨度等也有關(guān)。,（1） 提高梁的抗彎剛度 EI,對彈性模量來說，即使采用高強(qiáng)合金鋼也只是增加了許用應(yīng)力，但 E 值比較接近，（提高梁的抗彎強(qiáng)度的措施）。要增加梁的抗彎剛度還是需要考慮橫截面的慣性矩。,梁的變形與橫截面的慣性矩成反比，增加慣性矩可以提高梁的抗彎剛度。（與提高梁的抗彎強(qiáng)度的辦法相類似）,為提高梁的強(qiáng)度可以將梁的局部截

9、面慣性矩增加，即采用變截面梁。但對提高梁的剛度收效不大。,梁的最大正應(yīng)力只與最大彎矩所在截面有關(guān)，而梁在任意指定截面處的位移則與全梁的變形有關(guān)。要提高梁的剛度，必須使全梁的變形減小，因此應(yīng)增大全梁或大部分梁的截面慣性矩,（2）調(diào)整跨度,提高抗彎剛度方法：,* 調(diào)整支承—外伸梁,* 增加支承—超靜定,超靜定梁：可減小變形，降低梁內(nèi)最大彎矩。,第六節(jié) 簡單超靜定梁,例題8：試求：圖示梁的約束反力

10、 EI 為已知。,解：,（1）選取靜定基：,去掉荷載及多余約束使原超靜定結(jié)構(gòu)變?yōu)殪o定的基本系統(tǒng)—靜定基。,（2）得相當(dāng)系統(tǒng),,,將荷載及代替支坐的多余約束反力重新作用在靜定基上而得到的系統(tǒng)—相當(dāng)系統(tǒng),（3）列變形協(xié)調(diào)方程,將相當(dāng)系統(tǒng)的變形與原系統(tǒng)的變形相比較，列變形協(xié)調(diào)方程。,變形協(xié)調(diào)方程,（4）列補(bǔ)充方程,列出力與變形間物理方程,補(bǔ)充方程,,（5）列靜平衡方程,變形協(xié)調(diào)方程,例題9：已知：荷載q，梁AB的抗彎剛度為E

11、I、桿BC的抗拉壓剛度為EA。試求：BC 桿內(nèi)力,解：,（1）選取靜定基,（2）得相當(dāng)系統(tǒng),（3）將相當(dāng)系統(tǒng)變形與原系統(tǒng)比較，得變形協(xié)調(diào)方程：,例題10：懸臂梁受力如圖。試用疊加法計算ymax,解：采用逐段剛化法,首先將AB段視為剛體，研究BC段變形：,再將BC段視為剛體，通過外力平移，研究AB段變形：,,,,疊加法?應(yīng)用于彈性支承與簡單剛架,用疊加法求AB梁上E處的撓度 wE,wB=?,wE = wE 1+ wE 2= wE 1

12、+ wB/ 2,,wB= wB1+ wB2+ wB3,?=?,?,習(xí)題1：已知：P 、a、EI 。試求（1）C截面的撓度，（2）若a=3m，梁的[?]=160MPa，矩形截面為：50?120mm。求：[P]=？,解：一次超靜定,選取靜定基,得相當(dāng)系統(tǒng),得變形協(xié)調(diào)方程：,補(bǔ)充方程,荷載疊加：求B點撓度,,,強(qiáng)度條件：,梁上荷載已全部已知，下面求C截面的撓度,（2）求許可荷載,習(xí)題2：已知：EI為常數(shù)，受力如圖所示。試求：梁的支反力

13、，并畫Q、M圖。,解：二次超靜定,選取靜定基,得相當(dāng)系統(tǒng),得變形協(xié)調(diào)方程：,,,,,,,,,,,13qa/16,3qa/16,5qa2/16,3qa2/16,習(xí)題3：圖示結(jié)構(gòu)，懸臂梁AB和簡支梁GD均由N018工字鋼制成，BC為圓截面鋼桿，直徑d=20mm，梁和桿的彈性模量均為：E=200GPa，若P=30KN。試求（1）梁和桿內(nèi)?max ，（2）橫截面C的垂直位移。,解：一次超靜定,得相當(dāng)系統(tǒng),得變形協(xié)調(diào)方程：,選取靜定基,由

14、于很小，為方便計算可略去,習(xí)題4：兩懸臂梁間有一滾柱以實現(xiàn)彈性加固，受力情況如圖。AB梁抗彎剛度為EI，DC梁抗彎剛度為2EI。試求：經(jīng)過滾柱所傳遞的壓力。,,選取靜定基,解：一次超靜定,,習(xí)題5：懸臂梁受力如圖。已知：M、EI、L為常數(shù)。求：使?C=0時，P=？，并求此時的yC,,解：,習(xí)題6：試用疊加法計算剛架由于彎曲在A截面 引起的垂直位移及水平位移,? 梁的連續(xù)光滑撓曲線,? 由M 的方向確定軸線的

15、凹凸性;? 由約束性質(zhì)及連續(xù)光滑性確定撓曲線 的大致形狀及位置。,,? 梁的連續(xù)光滑撓曲線 (1),,? 梁的連續(xù)光滑撓曲線 (2),,? 梁的連續(xù)光滑撓曲線 (3),謝謝大家,? 定義? 圖形? 微分和積分? 彎矩方程的奇異函數(shù)表示? 梁的撓度方程的奇異函數(shù)形式,? 奇異函數(shù)的應(yīng)用,,? 奇異函數(shù)定義,? 奇異函數(shù)圖形,,? 奇異函數(shù)的微分和積分,,集中力偶作用的情形,彎矩方程的奇異函數(shù)表示,j,集中力作用