06章-彎曲變形

1、第六章 彎曲變形,,6.1 工程中的彎曲變形問題,受彎桿件除滿足強度要求外，往往還要滿足剛度要求。,6.1 工程中的彎曲變形問題,6.1 工程中的彎曲變形問題,6.2 撓曲線的微分方程,一、基本概念,撓曲線方程：,由于小變形，截面形心在x方向的位移忽略不計,撓度轉(zhuǎn)角關(guān)系為：,撓度w：截面形心在y方向的位移,向上為正。,轉(zhuǎn)角θ：截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度，逆時針為正。,二、撓曲線的近似微分方程純彎曲情況下，推導(dǎo)彎曲正應(yīng)力時，得到：

2、忽略剪力對變形的影響,6.2 撓曲線的微分方程,由數(shù)學(xué)知識可知：,所以,因為在小變形情況下：,6.2 撓曲線的微分方程,撓曲線的近似微分方程為：,,由上式進行積分，就可以求出梁橫截面的轉(zhuǎn)角和撓度。,6.2 撓曲線的微分方程,6.3 用積分法求彎曲變形,撓曲線的近似微分方程為：,,積分一次得轉(zhuǎn)角方程為：,,,,再積分一次得撓度方程為：,,積分常數(shù)C、D 由梁的位移邊界條件和光滑連續(xù)條件確定。,?位移邊界條件：,?連續(xù)條件：,?光滑條件：,

3、6.3 用積分法求彎曲變形,剛度條件：,6.3 用積分法求彎曲變形,例6-1 求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度，梁的EI已知。,解:,1）由梁的整體平衡分析可得：,,2）寫出x截面的彎矩方程,3）列撓曲線近似微分方程并積分,積分一次,再積分一次,4）由位移邊界條件確定積分常數(shù),,代入求解,6.3 用積分法求彎曲變形,5）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程,6）確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度,6.3 用積分法求彎曲變形,積分法求解梁位移的思路

4、：,① 建立合適的坐標(biāo)系；,② 求彎矩方程M(x) ；,③ 建立近似微分方程：,⑤ 用約束條件或連續(xù)條件，確定積分常數(shù)；,⑥ 一般求極值可用數(shù)學(xué)方法，也可由撓曲線直接判別。,6.3 用積分法求彎曲變形,例6-2 求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度，梁的EI已知，l=a+b，a>b。,解,1)由梁整體平衡分析得：,2）彎矩方程,AC 段：,CB 段：,6.3 用積分法求彎曲變形,3）列撓曲線近似微分方程并積分,AC

5、段：,CB 段：,6.3 用積分法求彎曲變形,4）由邊界條件確定積分常數(shù),,代入求解，得,位移邊界條件,光滑連續(xù)條件,,,6.3 用積分法求彎曲變形,5）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程,AC 段：,CB 段：,6.3 用積分法求彎曲變形,6）確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度,令 得，,,令 得，,,6.3 用積分法求彎曲變形,練習(xí)題：由積分法求圖示梁的wA、?A,，EI已知。,作業(yè)：P198 題6.4（d）,6

6、.3 用積分法求彎曲變形,6.4 用疊加法求彎曲變形,由于：1）小變形，軸向位移可忽略；2）線彈性范圍工作。因此，梁的撓度和轉(zhuǎn)角與載荷成線性關(guān)系。當(dāng)梁承受復(fù)雜載荷時，可將其分解成幾種簡單載荷，利用梁在簡單載荷作用下的位移計算結(jié)果（表6-1，P188），疊加后得到梁在復(fù)雜載荷作用下的撓度和轉(zhuǎn)角，這就是疊加法。,6.4 用疊加法求彎曲變形,設(shè)梁上有n 個載荷同時作用，任意截面上的彎矩為M(x)，轉(zhuǎn)角為θ，撓度為w，則有：,若梁上只有

7、第i個載荷單獨作用，截面上彎矩為 ，轉(zhuǎn)角為 ，撓度為 ，則有：,由彎矩的疊加原理知：,所以，,6.4 用疊加法求彎曲變形,故,由于梁的邊界條件不變，因此,重要結(jié)論： 梁在若干個載荷共同作用時的撓度或轉(zhuǎn)角，等于在各個載荷單獨作用時的撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。這就是計算彎曲變形的疊加原理。,6.4 用疊加法求彎曲變形,,例6-3 已知簡支梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求C 截面的撓度ωC ；B截面的轉(zhuǎn)角?

8、B。,1）將梁上的載荷分解,2）查表得3種情形下C截面的撓度和B截面的轉(zhuǎn)角。,解,,3） 應(yīng)用疊加法，將簡單載荷作用時的結(jié)果求和,,,,例6-4 已知：懸臂梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求C截面的撓度wC和轉(zhuǎn)角?C,1）首先，將梁上的載荷變成有表可查的情形,為了利用梁全長承受均布載荷的已知結(jié)果，先將均布載荷延長至梁的全長，為了不改變原來載荷作用的效果，在AB 段還需再加上集度相同、方向相反的均布載荷。,,解,,,,,,,3）將結(jié)

9、果疊加,2）再將處理后的梁分解為簡單載荷作用的情形，計算各自C截面的撓度和轉(zhuǎn)角。,作業(yè)：P201 題6.10（d）,6.4 用疊加法求彎曲變形,思考1：用疊加原理求圖示彎曲剛度為EI的外伸梁C截面的撓度和轉(zhuǎn)角以及D截面的撓度。,解：可將外伸梁看成是圖a和b所示的簡支梁和懸臂梁的疊加。,q,6.4 用疊加法求彎曲變形,（1）對圖a，其又可看成為圖c和d所示荷載的組合。,6.4 用疊加法求彎曲變形,圖c中D截面的撓度和B截面的轉(zhuǎn)角為：,圖d

10、中D截面的撓度和B截面的轉(zhuǎn)角為：,D,B,6.4 用疊加法求彎曲變形,將相應(yīng)的位移進行疊加，即得：,（2）對圖b，C截面的撓度和轉(zhuǎn)角分別為：,6.4 用疊加法求彎曲變形,所以：,原外伸梁C端的撓度和轉(zhuǎn)角也可按疊加原理求得，即：,（向下）,（順時針）,6.4 用疊加法求彎曲變形,思考2：利用疊加原理求圖示彎曲剛度為EI的中間鉸梁鉸接點B處的撓度和B點右截面的轉(zhuǎn)角以及D截面的撓度，其中：F=2qa。,q,解：可在鉸接點處將梁分成圖a和b所示

11、兩部分，并可求得鉸接點處的一對作用力與反作用力為：,6.4 用疊加法求彎曲變形,圖a和b中分別給出了兩部分的變形情況。,并且圖b又可分解為圖c所示兩種載荷的組合。,6.4 用疊加法求彎曲變形,（1）對圖b，可得其B截面的撓度和轉(zhuǎn)角為：,進行相應(yīng)的疊加可得：,6.4 用疊加法求彎曲變形,（2）圖a可看成為右支座有一定豎直位移（位移量為ωB）的簡支梁，此時D截面的撓度為：,D,6.4 用疊加法求彎曲變形,6.5 變形比較法解簡單超靜定梁,1

12、.基本概念：,超靜定梁：支反力數(shù)目大于有效平衡方程數(shù)目的梁,多余約束：從維持平衡角度而言,多余的約束,超靜定次數(shù)：多余約束或多余支反力的數(shù)目。,2.求解方法：,解除多余約束，建立相當(dāng)系統(tǒng)——比較變形，列變形協(xié)調(diào)條件——由物理關(guān)系建立補充方程——利用靜力平衡條件求其他約束反力。,相當(dāng)系統(tǒng)：用多余約束力代替多余約束的靜定系統(tǒng),解,例6-5 求梁的支反力，梁的抗彎剛度為EI。,1）判定超靜定次數(shù),2）解除多余約束，建立相當(dāng)系統(tǒng),3）進行變形

13、比較，列出變形協(xié)調(diào)條件,6.5 變形比較法解簡單超靜定梁,,,4）由物理關(guān)系，列出補充方程,所以,4）由整體平衡條件求其他約束反力,6.5 變形比較法解簡單超靜定梁,,思考：梁AB 和BC 在B 處鉸接，A、C 兩端固定，梁的抗彎剛度均為EI，F(xiàn) = 40kN，q = 20kN/m。畫梁的剪力圖和彎矩圖。,,從B 處拆開，使超靜定結(jié)構(gòu)變成兩個懸臂梁。,變形協(xié)調(diào)方程為：,物理關(guān)系,解,6.5 變形比較法解簡單超靜定梁,,代入得補充方程：,

14、,確定A 端約束力,6.5 變形比較法解簡單超靜定梁,確定B 端約束力,,,6.5 變形比較法解簡單超靜定梁,,A、B 端約束力已求出,最后作梁的剪力圖和彎矩圖,6.5 變形比較法解簡單超靜定梁,各種載荷下彎曲變形情況,動畫演示BEAM系列,6.6 剛度條件及提高彎曲剛度的措施,1.剛度條件,建筑鋼梁的許可撓度：,機械傳動軸的許可轉(zhuǎn)角：,精密機床的許可轉(zhuǎn)角：,根據(jù)要求，圓軸必須具有足夠的剛度，以保證軸承B 處轉(zhuǎn)角不超過許用數(shù)值。,B,1

15、）由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁B 處的轉(zhuǎn)角為：,解,例6-6 已知鋼制圓軸左端受力為F＝20 kN，a＝1m，l＝2m，E=206 GPa。軸承B處的許可轉(zhuǎn)角?θ? =0.5°。根據(jù)剛度要求確定軸的直徑d。,2）由剛度條件確定軸的直徑：,6.6 剛度條件及提高彎曲剛度的措施,2.提高梁剛度的措施,,,彎曲變形與彎矩大小、跨度長短、支座條件、梁截面的慣性矩I、材料的彈性模量E有關(guān)。,6.6 剛度條件及提高彎曲剛度的措施,1

16、）選擇合理的截面形狀,不同形狀的截面，盡管面積相等，但慣性矩卻并不一定相等。,6.6 剛度條件及提高彎曲剛度的措施,2）改善結(jié)構(gòu)形式，減少彎矩數(shù)值,改變支座形式,6.6 剛度條件及提高彎曲剛度的措施,改變載荷類型,2）改善結(jié)構(gòu)形式，減少彎矩數(shù)值,6.6 剛度條件及提高彎曲剛度的措施,3）采用超靜定結(jié)構(gòu),6.6 剛度條件及提高彎曲剛度的措施,3）采用超靜定結(jié)構(gòu),6.6 剛度條件及提高彎曲剛度的措施,第六章 彎曲變形,本章小結(jié)1、明確撓