橢圓與雙曲線常見題型總結(jié)附答案

1、第1頁共56頁橢圓與雙曲線常見題型歸納橢圓與雙曲線常見題型歸納題型一：弦的垂直平分線問題題型一：弦的垂直平分線問題弦的垂直平分線問題和對(duì)稱問題是一種解題思維，首先弄清楚哪個(gè)是弦，哪個(gè)是對(duì)稱軸，用到的知識(shí)是：垂直（兩弦的垂直平分線問題和對(duì)稱問題是一種解題思維，首先弄清楚哪個(gè)是弦，哪個(gè)是對(duì)稱軸，用到的知識(shí)是：垂直（兩直線的斜率之積為直線的斜率之積為11）和平分（中點(diǎn)坐標(biāo)公式））和平分（中點(diǎn)坐標(biāo)公式）。例題例題1、過點(diǎn)T(10)作直線與曲線N

2、：交于A、B兩點(diǎn)，在x軸上是否存在一點(diǎn)E(0)，使得是l2yx?0xABE?等邊三角形，若存在，求出；若不存在，請(qǐng)說明理由。0x分析：過點(diǎn)T(10)的直線和曲線N：相交A、B兩點(diǎn)，則直線的斜率存在且不等于0，可以設(shè)直線的方程，2yx?聯(lián)立方程組，消元，分析類一元二次方程，看判別式，運(yùn)用韋達(dá)定理，得弦的中點(diǎn)坐標(biāo)，再由垂直和中點(diǎn)，寫出垂直平分線的方程，得出E點(diǎn)坐標(biāo)，最后由正三角形的性質(zhì)：中線長是邊長的倍。運(yùn)用弦長公式求弦長。32解：依題意知

3、，直線的斜率存在，且不等于0。設(shè)直線，，，。:(1)lykx??0k?11()Axy22()Bxy由消y整理，得①2(1)ykxyx??????2222(21)0kxkxk????由直線和拋物線交于兩點(diǎn)，得即②2242(21)4410kkk????????2104k??由韋達(dá)定理，得：。則線段AB的中點(diǎn)為。212221kxxk????121xx?22211()22kkk??線段的垂直平分線方程為：221112()22kyxkkk????

4、?令y=0得，則為正三角形，到直線AB的距離d為021122xk??211(0)22Ek?ABE???211(0)22Ek?。32AB221212()()ABxxyy?????222141kkk???A212kdk??22223141122kkkkk?????A解得滿足②式此時(shí)。3913k??053x?思維規(guī)律思維規(guī)律：直線過定點(diǎn)設(shè)直線的斜率k，利用韋達(dá)定理法，將弦的中點(diǎn)用k表示出來，再利用垂直關(guān)系將弦的垂直平分線方程寫出來，求出了橫截

5、距的坐標(biāo)；再利用正三角形的性質(zhì)：高是邊長的倍，將k確定，進(jìn)而求出的320x坐標(biāo)。例題例題2、已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。1222??yx第3頁共56頁練習(xí)練習(xí)1：已知橢圓)0(1:2222????babyaxC過點(diǎn))231(，且離心率21?e。（Ⅰ）求橢圓方程；（Ⅱ）若直線)0(:???kmkxyl與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N，且線段MN的垂直平分線過定點(diǎn))081(G，求k的取值范圍。分析分析：第一問中已知橢圓的離心率，可以得到：

6、第一問中已知橢圓的離心率，可以得到的關(guān)系式，再根據(jù)的關(guān)系式，再根據(jù)“過點(diǎn))231(”得到得到的第的第2個(gè)關(guān)系式，解個(gè)關(guān)系式，解abab方程組，就可以解出方程組，就可以解出的值，確定橢圓方程。的值，確定橢圓方程。ab第二問，設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立方程組，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，通過判別式得出第二問，設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立方程組，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，通過判別式得出的不等式，再根據(jù)韋達(dá)定理，得的不等式，再根據(jù)韋達(dá)定理，得km出弦出弦MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利

7、用弦的直線方程，得到中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐標(biāo)和定點(diǎn)的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用弦的直線方程，得到中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐標(biāo)和定點(diǎn))081(G，得垂直平分線的，得垂直平分線的斜率，有垂直平分線的斜率和弦的斜率之積為斜率，有垂直平分線的斜率和弦的斜率之積為1，可得，可得的等式，用的等式，用k表示表示m再代入不等式，就可以求出再代入不等式，就可以求出k的km取值范圍。取值范圍。解：（Ⅰ）離心率21?e，，即（1）；?2213144ba????2243b

8、a?又橢圓過點(diǎn))231(，則，（1）式代入上式，解得，，橢圓方程為。221914ab??24a?23b?22143xy??（Ⅱ）設(shè)，弦MN的中點(diǎn)A1122()()MxyNxy00()xy由得：，直線)0(:???kmkxyl與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，223412ykxmxy???????222(34)84120kxmkxm??????，即………………（1）2222644(34)(412)0mkkm???????2243mk??由韋達(dá)定理得：