數(shù)列求通項(xiàng)與求和常用方法歸納+針對(duì)性練習(xí)題

1、 第 1 頁 共 10 頁 數(shù)列通項(xiàng)與求和常 數(shù)列通項(xiàng)與求和常見方法歸納 方法歸納 一、 一、知能要點(diǎn) 知能要點(diǎn) 1、求通項(xiàng)公式的方法 求通項(xiàng)公式的方法： (1)觀察法：找項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系，然后猜想檢驗(yàn)，即得通項(xiàng)公式 an； (2)利用前 n 項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系 an＝? ? ? ? ?S1Sn－Sn－1 n＝ ，n ；(3)公式法：利用等差(比)數(shù)列求通項(xiàng)公式； (4)累加法：如 an＋1－an＝f(n)， 累積法，如an＋1an

2、＝f(n)； (5)轉(zhuǎn)化法：an＋1＝Aan＋B(A≠0，且 A≠1)． 2、求和常用 、求和常用的方法： 的方法： (1)公式法： ① d n n na a a n S nn 2) 1 (2) (11 ? ? ? ? ?②? ?? ??? ???? ) 1 ( 1) 1 () 1 (11q qq aq naSnn(2)裂項(xiàng)求和：將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩個(gè)式子的代數(shù)差，即，然后累加時(shí)抵消中間的許多項(xiàng). 應(yīng)掌握以下常見的裂項(xiàng)： ① 1 1 1(

3、 1) 1 n n n n ? ? ? ? ? ? ? ?② 1 1 1 1 ( ) ( ) n n k k n n k ? ? ? ? ? ? ? ?③ 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ); 1 2 1 1 1 ( 1) ( 1) 1 k k k k k k k k k k k k k ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

4、? ?④ 1 1 1 1 [ ] ( 1)( 2) 2 ( 1) ( 1)( 2) n n n n n n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?⑤ 2 1 2 2( 1 ) 2( 1)1 1n n n nn n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?(3)錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯(cuò)位相減法

5、(這也是等比數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法) . (4)倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和(這是等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法) . (5)分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和. 二、知能運(yùn) 二、知能運(yùn)用典型例題 用典型例題 第 3 頁 共 10 頁 解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以 1 ? n q ，

6、得： q qaqpqan nn n 11 1 ? ? ? ? ? 引入輔助數(shù)列? ? n b (其中 n nn qa b ? )， 得： q b qp b n n11 ? ? ? 再待定系數(shù)法解決。 【例 4】已知數(shù)列? ? n a 中， 651 ? a , 11 ) 21 ( 31 ?? ? ? nn n a a ，求 n a 。 解：在 11 ) 21 ( 31 ?? ? ? nn n a a 兩邊乘以 1 2 ? n 得： 1 )

7、 2 ( 32 2 11 ? ? ? ? ??nnnn a a令 nnn a b ? ? 2 ，則 1 321 ? ? ? n n b b ,解之得： nn b ) 32 ( 2 3? ?所以 n nn nnb a ) 31 ( 2 ) 21 ( 3 2 ? ? ?[題型 5] 遞推公式為 n S 與 n a 的關(guān)系式。(或 ( ) n n S f a ? ) 解法：這種類型一般利用? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?

8、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ) 2 () 1 (11n S Sn S an nn 與 ) ( ) ( 1 1 ? ? ? ? ? ? n n n n n a f a f S S a 消去 n S ) 2 ( ? n或與 ) ( 1 ? ? ? n n n S S f S ) 2 ( ? n 消去 n a 進(jìn)行求解。 【例 5】已知數(shù)列? ? n a 前 n 項(xiàng)和 2 21 4 ? ? ? ? n

9、n n a S . (1)求 1 ? n a 與 n a 的關(guān)系； (2)求通項(xiàng)公式 n a . 解：(1)由 2 21 4 ? ? ? ? n n n a S 得： 1 1 1 21 4 ? ? ? ? ? ? n n n a S于是 ) 2121 ( ) ( 1 2 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? n n n n n n a a S S所以 1 1 1 21? ? ? ? ? ? n n n n a a a n n n

10、a a 21211 ? ? ? ? . (2)應(yīng)用題型 4( nn n q pa a ? ? ?1 ，其中 p，q 均為常數(shù)，且 0 ) 1 )( 1 ( ? ? ? q p pq )的方法，上式兩邊同乘以 1 2 ? n 得： 2 2 2 11 ? ? ??nnnn a a由 1 21 4 1 2 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? a a S a . 于 是 數(shù) 列 ? ? nn a 2 是 以 2 為 首 項(xiàng) ， 2 為

11、 公 差 的 等 差 數(shù) 列 ， 所 以n n ann 2 ) 1 ( 2 2 2 ? ? ? ? 1 2 ? ? ? n nn a[題型 6] r n n pa a ? ?1 ) 0 , 0 ( ? ? n a p解法：這種類型一般是等式兩邊取對(duì)數(shù)后轉(zhuǎn)化為 q pa a n n ? ? ?1 ，再利用待定系數(shù)法求解。 【例 6】已知數(shù)列 } { n a 中， 21 11 , 1 n n a a a a ? ? ? ? ) 0 ( ?