數(shù)列求和的十二種方法及遞推數(shù)列求通項

1、1十二類遞推數(shù)列求通項公式對于遞推公式確定的數(shù)列的求解，通?？梢酝ㄟ^遞推公式的變換，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題，有時也用到一些特殊的轉(zhuǎn)化方法與特殊數(shù)列。類型 類型 1 遞推公式為 遞推公式為a a f n n n ? ? ? 1 ( )解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為 ，利用 a a f n n n ? ? ? 1 ( )累加法求解。例 1．已知數(shù)列 滿足 ? ? an，求 。a a a n nn n 1 1 2121 ? ? ? ?? ，

2、an類型 類型 2 遞推公式為 遞推公式為a f n a n n ? ? 1 ( )解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為 ，利用累乘aa f n nn? ? 1 ( )法求解。例 2．已知數(shù)列 滿足 ，求 ? ? an a a nn a n n 1 123 1 ? ? ?? ， an類型 類型 3 遞推公式為 遞推公式為 （其中 （其中 p，q 均為常 均為常 a pa q n n ? ? ? 1數(shù)， 數(shù)， ） 。 ? ? pq p ? ? 1 0

3、解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為： ? ? a t p a t n n ? ? ? ? 1其中 ，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。t qp ? ? 1例 3．已知數(shù)列 中， ? ? an a a a n n 1 1 1 2 3 ? ? ? ? ，，求 。 an類型 類型 4 遞推公式為 遞推公式為 （其中 （其中 p，q 均為 均為 a pa q n nn? ? ? 1常數(shù)， 常數(shù)， ） 。 ? ?? ? pq p q ? ? ? 1 1 0解

4、法：該類型較類型 3 要復(fù)雜一些。一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以 ，得： q n?1引入輔助數(shù)列 （其中aqpqaq qn nn n? ? ? ? 1 11 · ? ? bn） ，得：b aqnn n ? b pq b qn n ? ? ? 11再應(yīng)用類型 3 的方法解決。例 4．已知數(shù)列 中， ? ? an，求 。a a a n nn1 11 561312 ? ? ? ?? ? ?? ? ??， an類型 類型 5 遞推

5、公式為 遞推公式為 （其中 （其中 p，q a pa qa n n n ? ? ? ? 2 1均為常數(shù)） 均為常數(shù)） ，即二階遞推數(shù)列。 ，即二階遞推數(shù)列。解法：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為? ? a sa t a sa n n n n ? ? ? ? ? ? 2 1 1其中 s，t 滿足 ，再應(yīng)用前面類型的方法求解。s t pst q? ?? ?? ? ?例 5．已知數(shù)列 中， ? ? an，求 。a a a a a n n n 1 2 2

6、1 1 2 2313 ? ? ? ? ? ? ， ， an類型 類型 6：遞推公式為 ：遞推公式為 與 的關(guān)系式。 的關(guān)系式。 Sn an解法：利用 進(jìn)行求解。a S nS S nnn n? ?? ?? ? ? ?1112，，( )( )例 6．已知數(shù)列 前 n 項和 。 ? ? an S a n n n ? ? ? ? 4 12 2（1）求 與 的關(guān)系； （2）求通項公式 。 an?1 an an3例 14．已知數(shù)列 中， ；數(shù)列 中

7、， ? ? an a1 1 ? ? ? bn。當(dāng) 時， ， b1 0 ? n ? 2 ? ? n n 1 n 11 a 2a b 3? ? ? ? 偶求 。 ? ? n n 1 n 11 b a 2b 3? ? ? ? a b n n ，類型 類型 12 12： 的數(shù)列 的數(shù)列2nnnAa B a Ca D?? ? ?對于數(shù)列 ，2nnnAa B a Ca D?? ? ?*1 , ( , , , a m n N A B C D ? ?是

8、常數(shù)且 ） 0, 0 C AD BC ? ? ?其特征方程為 ，變形為Ax B x Cx D? ? ?…②2 ( ) 0 Cx D A x B ? ? ? ?若②有二異根 ，則可令 , ? ?11n nn na a c a a? ?? ???? ? ? ? ? ?（其中 是待定常數(shù)） ，代入 的值可求得 值。 c 1 2 , a a c這樣數(shù)列 是首項為 ，公比為 的等nnaa??? ? ?? ? ? ? ?11aa???? c比數(shù)列，

9、于是這樣可求得 n a若②有二重根 ，則可令 ? ? ?（其中 是待定常數(shù)） ，代入 的 11 1n nc a a ? ? ?? ? ? ? c 1 2 , a a值可求得 值。 c這樣數(shù)列 是首項為 ，公差為 的等1n a ?? ?? ? ? ? ?1n a ? ? c差數(shù)列，于是這樣可求得 n a例 15．已知數(shù)列 滿足 { } n a1112 2, ( 2) 2 1nnna a a n a??? ? ? ? ?，求數(shù)列 的通項 {

10、 } n a n a例 16．已知數(shù)列 滿足 { } n a*1 12 1 2, ( ) 4 6nnna a a n N a?? ? ? ? ?，求數(shù)列 的通項 { } n a n a數(shù)列求和的八種方法數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容。在高考和各種數(shù)學(xué)競賽中都占有重要地位。數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，除了等差數(shù)和等比數(shù)列有求和公式外，大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要一定的技巧。在數(shù)列求和過程中，根據(jù)數(shù)列的特點，采用適當(dāng)?shù)姆椒?，定能較快、準(zhǔn)確的求解類型

11、類型 1：利用常用求和公式求和 ：利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法。等差數(shù)列求和公式：11( ) ( 1)2 2nnn a a n n S na d ? ? ? ? ?等比數(shù)列求和公式：當(dāng) q≠1 時，S =1 1(1 )1 1n a a q a qq q? ? ? ? ?當(dāng) q=1 時，S = na常用求和公式：S = 1 + 2 +…+ n = ，( 1)2n n ?2 2 2