三角恒等變換專題復(fù)習學案

1、1三角恒等變換三角恒等變換【考情分析考情分析】三角函數(shù)是歷年高考重點考察內(nèi)容之一，三角恒等變換的考查，經(jīng)常以選擇與填空題的形式出現(xiàn)，還常在解答題中與其它知識結(jié)合起來考查，其中升冪公式、降冪公式、輔助角公式是考查的重點在考查三角知識的同時，又考查用函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想解決問題的能力?！局R梳理知識梳理】1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式sin(αβ)＝sin_αcos_βcos_αsin_β，cos(αβ)＝cos_αcos_β?sin

2、_αsin_β，tan(αβ)＝.tanαtanβ1?tanαtanβ2二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sin_αcos_α，cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，tan2α＝.2tanα1－tan2α3有關(guān)公式的逆用、變形(1)tanαtanβ＝tan(αβ)(1?tan_αtan_β)；(2)cos2α＝，sin2α＝；1＋cos2α21－cos2α2(3)1＋sin2α＝(sinα＋co

3、sα)21－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinαcosα＝sin.2(απ4)4輔助角公式asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中sinφ＝，cosφ＝.a2＋b2ba2＋b2aa2＋b25.ω＞0時周期周期bxAy???)sin(??bxAy???)cos(??周期)tan(xy??【考題體驗考題體驗】1(2013江西高考)若sin＝，則cosα＝()α233A－B－C.D.[來源:學.科.網(wǎng)Z.X.X.K]23131

4、323解析：選C因為sin＝，所以cosα＝1－2sin2＝1－22＝.[來源:學&科&網(wǎng)Z&X&X&K]α233α2(33)132（2014高考課標卷）已知，則（）2sin23??2cos()4????A.B.C.D.16131223解析：選A3已知tan＝，tan＝，則tan(α＋β)的值為()(α－π6)37(π6＋β)25A.B.C.D12941129141解析：選Dtan(α＋β)＝tan＝＝＝1.[(α－π6)＋(π6＋β)

5、]tan(α－π6)＋tan(π6＋β)1－tan(α－π6)tan(π6＋β)37＋251－37253＝＝＝.2?cos30cos20＋sin30sin20?－sin20sin703cos20cos203考點三：考點三：三角函數(shù)的條件求值[來源:Z&xx&][例3](1)(2013浙江高考)已知α∈R，sinα＋2cosα＝，則tan2α＝()102A.B.C－D－43343443(2)(2013廣東高考)已知函數(shù)f(x)＝cos，x

6、∈R.2(x－π12)①求f的值；②若cosθ＝，θ∈，求f.(－π6)35(3π2，2π)(2θ＋π3)[解](1)法一：(直接法)兩邊平方，再同時除以cos2α，得3tan2α－8tanα－3＝0，tanα＝3或tanα＝－，代入tan2α＝，得tan2α＝－.132tanα1－tan2α34法二：(猜想法)由給出的數(shù)據(jù)及選項的唯一性，記sinα＝，cosα＝，這時sinα＋2cosα＝符310110102合要求，此時tanα＝3，

7、代入二倍角公式得到答案C.(2)①f＝cos＝cos＝cos＝1.(－π6)2(－π6－π12)2(－π4)2π4②f＝cos＝cos＝cos2θ－sin2θ.(2θ＋π3)2(2θ＋π3－π12)2(2θ＋π4)因為cosθ＝，θ∈，所以sinθ＝－.35(3π2，2π)45所以sin2θ＝2sinθcosθ＝－，cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝－.2425725所以f＝cos2θ－sin2θ＝－－＝.(2θ＋π3)725(－24

8、25)1725【互動探究互動探究】保持本例(2)②條件不變，求f的值(θ－π6)解：因為θ∈，cosθ＝，所以sinθ＝－＝－＝－.(3π2，2π)351－cos2θ1－(35)245所以f＝cos＝cos＝(θ－π6)2(θ－π6－π12)2(θ－π4)2(22cosθ＋22sinθ)＝cosθ＋sinθ＝－＝－.354515【方法規(guī)律方法規(guī)律】三角函數(shù)求值的兩種類型(1)給角求值：關(guān)鍵是正確選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特

9、殊角的三角函數(shù)(2)給值求值：關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異①一般可以適當變換已知式，求得另外函數(shù)式的值，以備應(yīng)用；②變換待求式，便于將已知式求得的函數(shù)值代入，從而達到解題的目的變式變式3：1(2013新課標全國卷Ⅱ)設(shè)θ為第二象限角，若tan＝，則sinθ＋cosθ＝________.(θ＋π4)12解法一由θ在第二象限，且tan＝，故sin＝－，故sinθ＋cosθ＝sin＝－.(θ＋π4)12(θ＋π4)552(θ