求曲線方程的常用方法

1、 求曲線方程的常用方法 曲線方程的求法是解析幾何的重要內(nèi)容和高考的常考點(diǎn)． 求曲線方程時(shí)， 應(yīng)根據(jù)曲線的不同背景，不同的結(jié)構(gòu)特征，選用不同的思路和方法，才能簡(jiǎn)捷明快地解決問(wèn)題．下面對(duì)其求法進(jìn)行探究． 1．定義法 求曲線方程時(shí)，如果動(dòng)點(diǎn)軌跡滿足已知曲線的定義，則可根據(jù)題設(shè)條件和圖形的特點(diǎn)，恰當(dāng)運(yùn)用平面幾何的知識(shí)去尋求其數(shù)量關(guān)系， 再由曲線定義直接寫(xiě)出方程， 這種方法叫做定義法．例 1 如圖，點(diǎn) A 為圓形紙片內(nèi)不同于圓心 C 的定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)

2、 M 在圓周上，將紙片折起，使點(diǎn) M 與點(diǎn) A 重合，設(shè)折痕 m 交線段 CM 于點(diǎn)N.現(xiàn)將圓形紙片放在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，設(shè)圓 C：(x＋1)2＋y2＝4a2 (a>1)，A(1,0)，記點(diǎn) N 的軌跡為曲線 E. (1)證明曲線 E 是橢圓，并寫(xiě)出當(dāng) a＝2 時(shí)該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)設(shè)直線 l 過(guò)點(diǎn) C 和橢圓 E 的上頂點(diǎn) B，點(diǎn) A 關(guān)于直線 l 的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn) Q，若橢圓 E 的離心率 e∈??? ? 1 2，

3、 32 ，求點(diǎn) Q 的縱坐標(biāo)的取值范圍． 解 (1)依題意，直線 m 為線段 AM 的垂直平分線， ∴|NA|＝|NM|. ∴|NC|＋|NA|＝|NC|＋|NM|＝|CM|＝2a>2， ∴N 的軌跡是以 C、A 為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 2a，焦距為 2 的橢圓． 當(dāng) a＝2 時(shí)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 2a＝4，焦距為 2c＝2， ∴b2＝a2－c2＝3. ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24＋y23＝1. (2)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2＋y2b2＝1 (a

4、>b>0)． 由(1)知：a2－b2＝1.又 C(－1,0)，B(0，b)， ∴直線 l 的方程為 x－1＋yb＝1，即 bx－y＋b＝0. 設(shè) Q(x，y)，∵點(diǎn) Q 與點(diǎn) A(1,0)關(guān)于直線 l 對(duì)稱， ∴? ? ?yx－1· b＝－1，b· x＋12 －y2＋b＝0，消去 x 得 y＝ 4bb2＋1. ∵離心率 e∈??? ? 1 2， 32 ，∴14≤e2≤34， 即14≤1a2≤34.∴43≤

5、a2≤4. 助于點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)軌跡便可得到點(diǎn) Q 的運(yùn)動(dòng)軌跡． 例 4 如圖所示， 從雙曲線 x2－y2＝1 上一點(diǎn) Q 引直線 l： x＋y＝2 的垂線，垂足為 N，求線段 QN 的中點(diǎn) P 的軌跡方程． 分析 設(shè) P(x，y)，因?yàn)?P 是 QN 的中點(diǎn)，為此需用 P 點(diǎn)的坐標(biāo)表示 Q 點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入雙曲線方程即可． 解 設(shè) P 點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，雙曲線上點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為(x0，y0)， ∵點(diǎn) P 是線段 QN 的中點(diǎn)， ∴N

6、 點(diǎn)的坐標(biāo)為(2x－x0,2y－y0)． 又點(diǎn) N 在直線 x＋y＝2 上，∴2x－x0＋2y－y0＝2， 即 x0＋y0＝2x＋2y－2.① 又 QN⊥l，∴kQN＝2y－2y02x－2x0＝1， 即 x0－y0＝x－y.② 由①②，得 x0＝12(3x＋y－2)，y0＝12(x＋3y－2)． 又∵點(diǎn) Q 在雙曲線上， ∴14(3x＋y－2)2－14(x＋3y－2)2＝1. 化簡(jiǎn)，得? ? ? ? x－122－? ? ? ? y－12

7、2＝12. ∴線段 QN 的中點(diǎn) P 的軌跡方程為 ? ? ? ? x－122－? ? ? ? y－122＝12. 點(diǎn)評(píng) 本題中動(dòng)點(diǎn) P 與點(diǎn) Q 相關(guān)， 而 Q 點(diǎn)的軌跡確定， 所以解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是找出 P、Q 兩點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系，用相關(guān)點(diǎn)法求解． 5．參數(shù)法 有時(shí)求動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件不易得出，也無(wú)明顯的相關(guān)點(diǎn)，但卻較易發(fā)現(xiàn)(或經(jīng)分析可發(fā)現(xiàn))這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)常常受到另一個(gè)變量(角度、斜率、比值、截距或時(shí)間等)的制約，即動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)(x，