第十二講 求圖形面積的幾種常用方法

1、第十二講求圖形面積的幾種常用方法60ab第十二講第十二講求圖形面積的幾種常用方法求圖形面積的幾種常用方法在組合圖形中，求陰影部分的面積的常用方法是：割補(bǔ)法、加減法、旋轉(zhuǎn)法、構(gòu)造法、等積的變換，抓不變量、等分、一半的應(yīng)用、代換、比例等。A、割補(bǔ)法：、割補(bǔ)法：對(duì)于一些求不在一起的幾塊陰影面積的和，往往需要把它們通過(guò)剪割、拼補(bǔ)在一起，才便于計(jì)算，在剪割、拼補(bǔ)過(guò)程中，一定要注意割下來(lái)的圖形和補(bǔ)上去的圖形的形狀、大小必須完全一樣。【例1】如圖，每

2、個(gè)小圓的半徑是2厘米，求陰影部分的面積是多少平方厘米？【分析與解】如圖，通過(guò)剪割、拼補(bǔ)，陰影部分的面積就變成了圓的面積減去正方形的面積，則陰影部分面積為：S陰影=S圓－S正方形=π42－4424=50.24－32=18.24(平方厘米)【例2】右圖中三個(gè)圓的半徑都是4厘米，三個(gè)圓兩兩交于圓心。求陰影部分的面積是多少平方厘米？【分析與解】如圖，三個(gè)陰影部分的面積都相等，只需要求出其中一個(gè)面積即可，但非常困難。這時(shí)我們可以考慮采用割補(bǔ)的方法

3、，同時(shí)利用對(duì)稱性，將其個(gè)半圓形，則陰影部分的面積=3。14442=25。12（平方厘米）B、加減法：、加減法：注意觀察，所求陰影部分的面積看是由哪幾個(gè)圖形相加，再減去哪個(gè)圖形變可以得到。我們把這種通過(guò)加、減就能求出它的面積的方法，我們的把它稱為“加減法”。【例3】如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4厘米，求陰影部分的面積是多少？【分析與解】如圖，顯然陰影部分的面積=扇形的面積－空白c的面積，而空白c的面積=正方形的面積－扇形的面積，即S陰影=S扇－（

4、S正－S扇）=S扇－S正＋S扇=S扇＋S扇－S正即S扇＋S扇比S正的面積多了b那部分的面積，即b=[(b＋c)＋(b＋a)]－(a＋b＋c)陰影部分的面積，S陰=π4242－44=25.12－16=9.12(平方厘米)?！纠?】如圖，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為12厘米，寬為8厘米，求陰影部分的面積是多少？【分析與解】如圖，S陰影=S大扇－Sa=S大扇－(S長(zhǎng)－S小扇)=S大扇＋S小扇－S長(zhǎng)=π1224＋π824－128=163.28－96=67.28

5、（平方厘米）C、旋轉(zhuǎn)法：、旋轉(zhuǎn)法：在求一些面積時(shí)，有時(shí)需要把某個(gè)圖形進(jìn)行一定方向的旋轉(zhuǎn)，使之拼在一起，變成另一個(gè)比較方便求的圖形?！纠?】如圖，梯形如圖，梯形ABCD的上底是的上底是3厘米，下底是厘米，下底是5厘米，高是厘米，高是4厘米，厘米，E是梯形的中點(diǎn)。求陰影部分的面積是梯形的中點(diǎn)。求陰影部分的面積是多少？是多少？【分析與解】【分析與解】如圖，由于，由于E是梯形的中點(diǎn)，若以是梯形的中點(diǎn)，若以E為圓心，將三角形心，將三角形BEC繞反

6、時(shí)針時(shí)針?lè)较蚍胖?，使方向放置，使C點(diǎn)與點(diǎn)與D點(diǎn)重合，重合，顯然可得，陰影部分的面然可得，陰影部分的面積與三角形與三角形ABE的面的面積相等，所以陰影部分的面相等，所以陰影部分的面積=梯形面梯形面積的一半的一半=（3＋4）422=8（平方厘米）。（平方厘米）。ADEBCABCEBD第十二講求圖形面積的幾種常用方法62已知其中的三部分的面積分別是已知其中的三部分的面積分別是17、45、34平方厘米，則陰影部分的面積是多少平方厘平方厘米，則陰

7、影部分的面積是多少平方厘米？米？【分析與解】首先可得，兩個(gè)大三角形的面積都是長(zhǎng)方形面積的一半，所剩下的部分也是長(zhǎng)方形的一半，為了能比較清楚的表示它們之間的關(guān)系，不妨用字母a、b、c來(lái)表示其余部分的面積。顯然有a＋b＋c=a＋17＋45＋c＋34，所以陰影部分的面積b=17＋45＋34=96（平方厘米）【另解】也可根據(jù)覆蓋原理，當(dāng)覆蓋部分面積之和等于總面積時(shí)，必有重疊面積等于也可根據(jù)覆蓋原理，當(dāng)覆蓋部分面積之和等于總面積時(shí)，必有重疊面積等

8、于外露面積。外露面積。b是重疊面積，是重疊面積，1717、4545、3434都是外露面積，所以有都是外露面積，所以有b=17b=17＋4545＋34=9634=96（平方厘（平方厘米）米）G、等積變換：、等積變換：根據(jù)圖形的特點(diǎn)，由面積與面積之間的相等關(guān)系，進(jìn)行一些轉(zhuǎn)化，從而使問(wèn)題解決得到簡(jiǎn)便。【例11】如圖，由大、小兩個(gè)正方形組成的圖形中，小正方形的邊長(zhǎng)是6厘米，求圖中陰影部分的面積是多少平方厘米？【分析與解】根據(jù)已知條件，要求陰影部

9、分的面積是比較難的。但是，如果我們連接BD，再仔細(xì)觀察三角形ACD與三角形ABC，不難得出它們都是以小正方形的對(duì)角線AC為底，以梯形ABDC的高為高，所以三角形ACD的面積=三角形ABC的面積=小正方形面積的一半，所以陰影部分的面積=662=18（平方厘米）。【例12】三角形ABC的面積為60平方厘米，AE=ED，BD=BC，求陰影部分的面積23是多少平方厘米？【分析與解】BC看成3份，DC就是1份，由“AE=ED”可得三角形ABE的面

10、積=三角形BDE的面積。又以BD為底的三角形在圖上有三角形BDE和三角形BDF，所以需要連接的線有EC或DF，如果連接EC，則會(huì)發(fā)現(xiàn)三角形AEF與三角形BED的聯(lián)系不大；如果連接DF，則有三角形AEF與三角形EFD的面積相等，陰影部分的面積變變成為三角形BFD的面積。這時(shí)我們把三角形FDC的面積看作1份，三角形BDF的面積就是2份，三角形ABF的面積=三角形BDF的面積，所以三角形ABF的面積也為2份，三角形ABC的面積就被平分成了1＋

11、2＋2=5（份），陰影部分的面積為：6052=24（平方厘米）。H、構(gòu)造法：、構(gòu)造法：就是根據(jù)已知數(shù)據(jù)的特殊性，構(gòu)造出一個(gè)我們比較熟悉的圖形來(lái)進(jìn)行解答。這種方法在以后的學(xué)習(xí)中應(yīng)用得更加廣泛，在這里我們主要講如何將直角三角形構(gòu)造成正方形來(lái)計(jì)算的題型?！纠?3】一個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)6厘米，求它的面積？【分析與解】如果我們用四個(gè)同樣的等腰直角三角形就可以構(gòu)造成一個(gè)正方形，這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)就是這個(gè)三角形的斜邊長(zhǎng)度，面積是這個(gè)三角形的4倍。