北郵數(shù)理方程課件 第三章 分離變量法

1、第三章分離變量法3。2基礎(chǔ)訓(xùn)練3.2.1例題分析例題分析例1解下列定解問題：（1）??????????????????????????????020000020022222ttlxxtulxxuxuutlxxuatu解：解：分離變量，即令（2）()()()uxtXxTt?代入方程（（1）中第一式），得（3）0)()(2????tTatT?（4）0)()(????xXxX?其中為分離常數(shù)。（2）式代入邊界條件（（1）中第二式），得?（5）

2、0)()0(???lXX相應(yīng)的本證值問題為求（6）??????????0)()0(0)()(lXXxXxX?的非零解下面針對的取值情況進行討論：?（1）當(dāng)時，（6）式中方程的通解是0??（7）()xxXxAeBe???????其中A，B為積分常數(shù)，（7）代入（6）中邊界條件，得（8）00llABAeBe???????????????由（8）得A=B=0，得X（x）=0，為平凡解，故不可能有。0??(2)當(dāng)時，（6）式中方程的通解是0??

3、()XxAxB??由邊界條件得A=B=0，得X（x）=0，為平凡解，故也不可能有。0??（3）當(dāng)時，上述固有值問題有非零解此時式（6）的通解為02?????????????????????????????????????????0|)1()()10(|0||)0(000000002tttlxxxxttulnnllxlhnxlhxnuuulxuau解：解：將代入原方程及邊界條件得)()()(tTxXtxu?20TaT???（1）0(0)(

4、)0XXXXl????????（2）解(2)第一式可得xDxCxX??sincos)(??由（2）的第二式得，222lnn????321sin)(??nlxnDxXnn?將代入（1）并解得?latnBlatnAtTnnn??sincos)(??1()(cossin)sinnnnnatnatnxuxtABlll????????由初始條件得????????????????)1()()10(cos00001lnnllxlhnxlhxnlatn