傅里葉級(jí)數(shù)的推導(dǎo)

1、傅里葉級(jí)數(shù)的推導(dǎo)傅里葉級(jí)數(shù)的推導(dǎo)2016年12月14日09:27:47傅里葉級(jí)數(shù)的數(shù)學(xué)推導(dǎo)傅里葉級(jí)數(shù)的數(shù)學(xué)推導(dǎo)首先，隆重推出傅里葉級(jí)數(shù)的公式，不過(guò)這個(gè)東西屬于“文物”級(jí)別的，誕生于19世紀(jì)初，因?yàn)楦道锶~他老人家生于1768年，死于1830年。但傅里葉級(jí)數(shù)在數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號(hào)處理、概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，這不由得讓人肅然起敬。一打開(kāi)《信號(hào)與系統(tǒng)》、《鎖相環(huán)原理》等書(shū)籍，動(dòng)不動(dòng)就跳出一個(gè)“傅里葉級(jí)數(shù)”或“

2、傅里葉變換”，弄一長(zhǎng)串公式，讓人云山霧罩。如下就是傅里葉級(jí)數(shù)的公式：不客氣地說(shuō)，這個(gè)公式可以說(shuō)是像“臭婆娘的裹腳布——又臭又長(zhǎng)”，而且來(lái)歷相當(dāng)蹊蹺，不知那個(gè)傅里葉什么時(shí)候靈光乍現(xiàn)，把一個(gè)周期函數(shù)f(t)硬生生地寫(xiě)成這么一大堆東西。單看那個(gè)①式，就是把周期函數(shù)f(t)描述成一個(gè)常數(shù)系數(shù)a0、及1倍ω的sin和cos函數(shù)、2倍ω的sin和cos函數(shù)等、到n倍ω的sin和cos函數(shù)等一系列式子的和，且每項(xiàng)都有不同的系數(shù)，即An和Bn，至于這些

3、系數(shù)，需要用積分來(lái)解得，即②③④式，不過(guò)為了積分方便，積分區(qū)間一般設(shè)為[π[ππ]π]，也相當(dāng)一個(gè)周期T的寬度。能否從數(shù)學(xué)的角度推導(dǎo)出此公式，以使傅里葉級(jí)數(shù)來(lái)得明白些，讓我等能了解它的前世今生呢？下面來(lái)詳細(xì)解釋一下此公式的得出過(guò)程：１、把一個(gè)周期函數(shù)表示成三角級(jí)數(shù)：１、把一個(gè)周期函數(shù)表示成三角級(jí)數(shù)：這是為下一步傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)時(shí)所用積分的準(zhǔn)備知識(shí)。一個(gè)三角函數(shù)系：一個(gè)三角函數(shù)系：1，cosxcosxsinxsinxcos2xcos2xsi

4、n2xsin2x…cosnxcosnxsinnxsinnx…如果這一堆函如果這一堆函數(shù)（包括常數(shù)數(shù)（包括常數(shù)1）中任何兩個(gè)不同函數(shù)的乘積在區(qū)間）中任何兩個(gè)不同函數(shù)的乘積在區(qū)間[π[ππ]π]上的積分等于零，上的積分等于零，就說(shuō)三角函數(shù)系在區(qū)間就說(shuō)三角函數(shù)系在區(qū)間[π[ππ]π]上正交上正交即有如下式子：以上各式在區(qū)間[π[ππ]π]的定積分均為0，第１第２式可視為三角函數(shù)cos和sin與１相乘的積分；第35式則為sin和cos的不同組合

5、相乘的積分式。除了這5個(gè)式子外，不可能再有其他的組合了。注意，第4第5兩個(gè)式中，k不能等于n，否則就不屬于“三角函數(shù)系中任意兩個(gè)不同函數(shù)”的定義了，變成同一函數(shù)的平方了。但第3式中，k與n可以相等，相等時(shí)也是二個(gè)不同函數(shù)。下面通過(guò)計(jì)算第4式的定積分來(lái)驗(yàn)證其正確性，第4式中二函數(shù)相乘可以寫(xiě)成：可見(jiàn)在指定[π[ππ]π]的區(qū)間里，該式的定積分為0。其他式也可逐一驗(yàn)證。３、函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)：３、函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)：先把傅里葉級(jí)數(shù)表示為下