利用傅里葉級數(shù)進(jìn)行數(shù)列求和的方法【畢業(yè)論文】

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　利用傅里葉級數(shù)進(jìn)行數(shù)列求和的方法</p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專業(yè)班級 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)

2、學(xué) </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號 </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘要：數(shù)列是數(shù)學(xué)中很重要的內(nèi)容，很多事物的一些關(guān)系可以運用

3、數(shù)列來表示，而數(shù)列求和是其很重要的內(nèi)容之一。數(shù)列求和的方法有很多：公式法、錯位相減法、倒序相加法、分組法、裂項法、數(shù)學(xué)歸納法、通項化歸、并項求和等等。但不是所有的數(shù)列都可以利用以上方法進(jìn)行求和，因此我們就需要去尋找新的方法。這時，我們可以引入傅里葉級數(shù)來對某些數(shù)列進(jìn)行求和。傅里葉級數(shù)是一種特殊的三角級數(shù)，是由法國數(shù)學(xué)家J.-B.-J.傅里葉在研究偏微分方程的邊值問題時提出的。有了傅里葉級數(shù)，就可以在這個方向上對一類數(shù)列求和進(jìn)行探討。本文

4、具體介紹了傅里葉級數(shù)的相關(guān)知識，用豐富的例子歸納總結(jié)了需要用傅里葉級數(shù)進(jìn)行求和的數(shù)列類型。</p><p>　　關(guān)鍵詞：傅里葉級數(shù)；數(shù)列；求和</p><p>　　The Method of Sequence Summation by Fourier Series</p><p>　　Abstract: Sequence is very important in m

5、athematics. There are many relations between objects expressed by sequences. Summation is one of the very important content. There exist many methods to get the summation of sequence. For example, formula method, disloca

6、tion phase subtraction, adding method in reverse chronological order, grouping law, crack study method, mathematical induction, general term turning, add item summation, etc. But we find that not all sequence summation s

7、olved by these meth</p><p>　　Key words: Fourier series; sequence; summation</p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　1 引言1</b></p><p>　　2 傅里葉級數(shù)的相關(guān)概念介

8、紹2</p><p>　　2.1 傅里葉級數(shù)2</p><p>　　2.1.1 以為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)2</p><p>　　2.1.2 以為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)4</p><p>　　2.2 偶函數(shù)與奇函數(shù)的傅里葉級數(shù)5</p><p>　　2.3 函數(shù)的傅里葉級數(shù)的展開式6</p&

9、gt;<p>　　3 傅里葉級數(shù)的收斂定理及其判別法9</p><p>　　3.1 函數(shù)項級數(shù)的收斂定理及其判別法9</p><p>　　3.2 傅里葉級數(shù)收斂定理10</p><p>　　3.3 傅里葉級數(shù)收斂性的判定定理11</p><p>　　3.3.1 Dini判別法11</p><

10、;p>　　3.3.2 Jordan判別法12</p><p>　　3.4 傅里葉級數(shù)的求和理論12</p><p>　　4 傅里葉級數(shù)在數(shù)列求和中的應(yīng)用14</p><p>　　4.1 利用傅里葉級數(shù)進(jìn)行數(shù)列求和14</p><p>　　4.2 應(yīng)用舉例15</p><p>　　4.2.1

11、類無窮級數(shù)和的傅里葉求法15</p><p>　　4.2.2 其他例子17</p><p><b>　　5 總結(jié)21</b></p><p>　　致謝錯誤!未定義書簽。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)22</b></p><p><b>　　1

12、 引言</b></p><p>　　數(shù)列是數(shù)學(xué)中很重要的內(nèi)容，很多事物的一些關(guān)系都可以運用數(shù)列來表示，而數(shù)列求和是其很重要的內(nèi)容之一。數(shù)列求和的方法有很多：公式法、錯位相減法、倒序相加法、分組法、裂項法、數(shù)學(xué)歸納法、通項化歸、并項求和等等。然而，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，人們對自然界的認(rèn)識逐步深化，可以發(fā)現(xiàn)許多數(shù)列運用一般的方法已經(jīng)滿足不了求和的需要，因此要求人們?nèi)?gòu)造和探究新的方法。這時，我們不妨可以引入

13、傅里葉級數(shù)來對某些數(shù)列求和進(jìn)行探討。傅里葉級數(shù)是一種特殊的三角級數(shù)，是由法國數(shù)學(xué)家J.-B.-J.傅里葉在研究偏微分方程的邊值問題時提出的。在中國，程民德最早系統(tǒng)研究過多元三角函數(shù)級數(shù)與多元傅里葉級數(shù)，他首先證明多元三角級數(shù)球形和唯一性定理，并揭示了多元傅里葉級數(shù)的里斯-博赫納球形平均的許多特性。有了傅里葉級數(shù)，我們也就可以在這個方向上對一類數(shù)列求和進(jìn)行探討。本文介紹傅里葉級數(shù)的相關(guān)概念、傅里葉級數(shù)的收斂定理及其判別法、對數(shù)列求和方法進(jìn)

14、行梳理、歸納，并舉例說明，并且以一類最簡單的數(shù)列為例，對其在利用傅里葉級數(shù)求和的計算方面的應(yīng)用進(jìn)行舉例說明。</p><p>　　2 傅里葉級數(shù)的相關(guān)概念介紹 </p><p>　　2.1 傅里葉級數(shù)</p><p>　　傅里葉級數(shù)，即Fourier series，定義作：如果一個給定的非正弦周期函數(shù)滿足狄利克雷條件，它能展開為一個收斂的級數(shù)。</p>

15、;<p>　　2.1.1 以為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)</p><p>　　我們現(xiàn)從最簡單的周期運動開始討論，則可以用正弦函數(shù)</p><p><b>　　（1）</b></p><p>　　描述。由（1）所表達(dá)的周期運動也稱為簡諧振動，其中為振幅，為初相角，為角頻率，于是簡諧震動的周期是。較為復(fù)雜的周期運動，則常是幾個簡諧振動&

16、lt;/p><p><b>　　的疊加</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　由于簡諧振動的周期為，所以函數(shù)（2）的周期為。對無窮多個簡諧振動進(jìn)行疊加就得到函數(shù)項級數(shù)</p><p><b>　?。?）</b></p><p&g

17、t;　　若級數(shù)（3）收斂，則其所描述的是更為一般的周期運動現(xiàn)象。對于級數(shù)（3），我們只討論（如果，可用代換）的情形。由于</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　（3’）</b></p><p><b&

18、gt;　　記，，，，</b></p><p>　　則級數(shù)（3’）可寫成</p><p><b>　　（4）</b></p><p>　　它是由三角函數(shù)列（亦稱三角函數(shù)系）</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　所產(chǎn)生的一般形式的三角級數(shù)。

19、</p><p>　　我們易得，若三角級數(shù)（4）收斂，那么它的和一定是一個以為周期的函數(shù)。</p><p>　　定理1 若級數(shù)收斂，則級數(shù)（4）在整個數(shù)軸上絕對收斂且一致收斂。</p><p>　　而三角函數(shù)（5）中所有函數(shù)具有共同周期，且任何兩個不相同函數(shù)的乘積在上的積分都等于零，即</p><p><b>　?。?）</

20、b></p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　而（5）中任何一個函數(shù)的平方在上的積分都不等于零，即</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　我們通常把兩個函數(shù)和在上可積，且的函數(shù)和稱為在上是正交的。由此我們可以說三角函數(shù)系（5）在上是具有正交性的

21、，或者說（5）是正交函數(shù)系。</p><p>　　我們應(yīng)用三角函數(shù)系（5）的正交性，討論三角級數(shù)（4）的和函數(shù)與級數(shù)（4）的系數(shù)，，之間的關(guān)系。</p><p>　　定理2 若在整個數(shù)軸上</p><p><b>　　（9）</b></p><p>　　且等式右邊級數(shù)一致收斂，則有如下關(guān)系式：</p>&

22、lt;p><b>　?。?0a）</b></p><p><b>　　（10b）</b></p><p>　　一般來說，若是以為周期且在上可積的函數(shù)，則可按公式（10）計算出和，它們稱為函數(shù)（關(guān)于三角函數(shù)系）的傅里葉系數(shù)，以的傅里葉系數(shù)為系數(shù)的三角級數(shù)（9）成為（關(guān)于三角函數(shù)系）的傅里葉級數(shù)，記作</p><p>&

23、lt;b>　　（11）</b></p><p>　　其中記號“”表示上式右邊是左邊函數(shù)的傅里葉級數(shù)。由定理2知道：若（9）式右邊的三角級數(shù)在整個數(shù)軸上一致收斂于其和函數(shù)，則此三角級數(shù)就是的傅里葉級數(shù)，即此時（11）式中的記號“”可換為等號。然而，若從以為周期且在上可積的函數(shù)出發(fā)，按公式（10）即可求出其傅里葉系數(shù)并得到傅里葉級數(shù)（11）。[1]</p><p>　　2.1

24、.2 以為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)</p><p>　　定義1 設(shè)是以為周期的函數(shù)，通過變量置換或可以把變換成以為周期的的函數(shù)。若在上可積，則在上也可積，這時函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式是：</p><p>　　， （12）</p><p><b>　　其中</b></p>&l

25、t;p><b>　　（13）</b></p><p>　　因為，所以。于是由（12）和（13）式分別得</p><p><b>　　（14）</b></p><p><b>　　與</b></p><p><b>　?。?5）</b></p&g

26、t;<p>　　這里（15）式是以為周期的函數(shù)的傅里葉系數(shù)，（14）式是的傅里葉級數(shù)。[1]</p><p>　　2.2 偶函數(shù)與奇函數(shù)的傅里葉級數(shù)</p><p>　　定義2 若是以為周期的偶函數(shù)，或是定義在上的偶函數(shù)，則在上，是偶函數(shù)，是奇函數(shù)。因此，的傅里葉系數(shù)（15）是</p><p><b>　?。?6）</b>&l

27、t;/p><p>　　于是的傅里葉級數(shù)只含有余弦函數(shù)的項，即</p><p>　　， （17）</p><p>　　其中如（16）式所示。（17）式右邊的級數(shù)稱為余弦級數(shù)。</p><p>　　同理，若是以為周期的奇函數(shù)，或是定義在上的奇函數(shù)，則可推得</p>&

28、lt;p><b>　?。?8）</b></p><p>　　所以當(dāng)為奇函數(shù)時，它的傅里葉級數(shù)只含有正弦函數(shù)的項，即</p><p>　　， （19）</p><p>　　其中如（18）式所示。（19）式右邊的級數(shù)稱為正弦級數(shù)。[1]</p>&l

29、t;p>　　2.3 函數(shù)的傅里葉級數(shù)的展開式</p><p>　　首先，我們給出一個引理：</p><p>　　引理 設(shè)函數(shù)以為周期，在上分段光滑，那么，也以為周期，且對任意實數(shù)有</p><p><b>　　.</b></p><p>　　我們設(shè)在相應(yīng)區(qū)間上滿足Dirichlet充分條件。</p>

30、<p>　　定理3 設(shè)函數(shù)在上滿足Dirichlet充分條件，且，則有</p><p><b>　　其中， </b></p><p><b>　　事實上，作 </b></p><p>　　使在上分段光滑，將在上的作以為周期的延拓,由引理和基本情形易得在上的傅里葉級數(shù)展開式為</p><p

31、><b>　　.</b></p><p><b>　　若取，則有</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　定理4 設(shè)函數(shù)在上滿足Dirichlet充分條件，且，則公式仍成立。</p><p>　　事實上，由，則將作以為周期的周期延拓得，在區(qū)間

32、上，除一端點外，，同定理3，有</p><p><b>　　由引理可得：</b></p><p>　　現(xiàn)在給出在任意區(qū)間上的傅里葉級數(shù)展開式的兩種求法：</p><p>　　方法一 取，不妨設(shè)，</p><p><b>　　由上述討論，有</b></p><p>　　定理5

33、 若在上滿足Dirichlet充分條件，不妨設(shè)，則</p><p><b>　　其中 </b></p><p>　　方法二 取，則，將作以為周期的周期延拓，得，則</p><p><b>　　其中 </b></p><p>　　但一般找出在上的表達(dá)式是不容易的，由引理可得</p>

34、<p>　　定理6 若在任意有限區(qū)間上滿足Dirichlet充分條件，則有</p><p><b>　　其中 </b></p><p>　　以上我們給出的第二種方法是可以適用于任何類型區(qū)間的一般展開公式。[2]</p><p>　　3 傅里葉級數(shù)的收斂定理及其判別法</p><p>　　3.1 函數(shù)

35、項級數(shù)的收斂定理及其判別法</p><p>　　我們知道，傅里葉級數(shù)是函數(shù)項級數(shù)中的一類，所以在討論傅里葉級數(shù)的收斂定理及其判別法之前，我們先引入函數(shù)項級數(shù)的相關(guān)定理。</p><p>　　定理7 （一致收斂的柯西準(zhǔn)則）函數(shù)項級數(shù)在數(shù)集上一致收斂的充要條件為：對任給的正數(shù)，總存在某正整數(shù)，使得當(dāng)時，對一切和一切正整數(shù)，都有</p><p>　　或

36、 .</p><p>　　此定理中當(dāng)時，得到函數(shù)項級數(shù)一致收斂的必要條件。</p><p>　　推論 函數(shù)項級數(shù)在數(shù)集上一致收斂的必要條件為：函數(shù)列在上一致收斂于零。</p><p>　　設(shè)函數(shù)項級數(shù)在上的和函數(shù)為，稱為函數(shù)項級數(shù)的余項。</p><p>　　定理8 函數(shù)項級數(shù)在數(shù)集上一致收斂于的充要條件是：</p>

37、;<p><b>　　.</b></p><p>　　下面我們引入函數(shù)項級數(shù)的相關(guān)判別法。</p><p>　　定理9 (魏爾斯特拉斯判別法)設(shè)函數(shù)項級數(shù)定義在數(shù)集上，為收斂的正項級數(shù)，若對一切，有</p><p><b>　　，，</b></p><p>　　則函數(shù)項級數(shù)在上一致收

38、斂。</p><p>　　定理10 （阿貝爾判別法）設(shè)</p><p>　　（?。┰趨^(qū)間上一致收斂；</p><p>　?。áⅲτ诿恳粋€,是單調(diào)的；</p><p>　?。á＃┰谏弦恢掠薪纾磳σ磺泻驼麛?shù),存在正數(shù)，使得 .</p><p>　　則形如的級數(shù)在上一致收斂。</p>

39、<p>　　定理11 （狄利克雷判別法）設(shè)</p><p>　?。á。┑牟糠趾秃瘮?shù)列，在上一致有界；</p><p>　?。áⅲτ诿恳粋€，是單調(diào)的；</p><p><b>　?。á＃┰谏希?lt;/b></p><p>　　則形如的級數(shù)在上一致收斂。[1]</p><p>　　3.2

40、 傅里葉級數(shù)收斂定理</p><p>　　現(xiàn)在，我們給出傅里葉級數(shù)的收斂定理。</p><p>　　定理12 若以為周期的函數(shù)在上按段光滑，則在每一點，的傅里葉級數(shù)收斂于在點的左、右極限的算數(shù)平均值，即，其中，為的傅里葉系數(shù)。</p><p>　　同理，若在上按段光滑，則同樣可由以上收斂定理得</p><p>　　. （

41、20）</p><p>　　這里我們對以上定理中的某些概念作以下解釋：</p><p>　?、偃舻膶?dǎo)函數(shù)在上連續(xù)，則稱在上光滑；</p><p>　?、谌舳x在上除了至多有有限個第一類間斷點的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在上除了至多有限個點外都存在且連續(xù)，在這有限個點上導(dǎo)函數(shù)的左、右極限存在，則稱在上按段光滑。</p><p>　　由上述定義，若函數(shù)在上按段

42、光滑，則有如下性質(zhì)：</p><p><b>　?、僭谏峡煞e；</b></p><p>　　②在上每一點都存在，且有：</p><p>　?、墼谘a充定義在上那些至多有限個不存在點上的值后（仍記為），在上可積。</p><p>　　推論 若是以為周期的連續(xù)函數(shù)，且在上按段光滑，則的傅里葉級數(shù)在上收斂于。[1]</p

43、><p>　　3.3 傅里葉級數(shù)收斂性的判定定理</p><p>　　下面，我們再來看傅里葉級數(shù)收斂性的判定定理，重點介紹兩個判別法，即Dini判別法和Jordan判別法。</p><p>　　首先我們記的傅里葉級數(shù)的前項部分和為</p><p><b>　　。</b></p><p>　　3.3.

44、1 Dini判別法</p><p>　　若以為周期，在絕對可積，且存在，使得</p><p>　　存在，則的傅里葉級數(shù)在收斂到，即。</p><p>　　Dini判別法的一個推論是Lipschitz判別，即：若以為周期，在絕對可積，且在滿足階的Lipschitz條件，即存在與常數(shù)，使得</p><p>　　成立，則的傅里葉級數(shù)在收斂到。&l

45、t;/p><p>　　推論1 若以為周期，在絕對可積，且在有有限導(dǎo)數(shù)，則的傅里葉級數(shù)在收斂到。</p><p>　　推論2 若以為周期，在絕對可積，且在上處處可微，則的傅里葉級數(shù)收斂到。</p><p>　　3.3.2 Jordan判別法</p><p>　　設(shè)以為周期，在絕對可積，且為上的有界變差函數(shù)，則其傅里葉級數(shù)在內(nèi)每一點處都收斂到

46、。[3]</p><p>　　3.4 傅里葉級數(shù)的求和理論</p><p>　　在傅里葉級數(shù)的求和理論中，有一種是在其線性求和中通過構(gòu)造求和因子，使得帶有該求和因子的積分算子在全軸上一致收斂到每個以為周期的連續(xù)函數(shù)，并對函數(shù)類的逼近均達(dá)到最佳收斂階，其中參數(shù)為任意給定的奇自然數(shù)。</p><p>　　我們記為賦范的以為周期的連續(xù)函數(shù)空間，設(shè)，它的傅里葉級數(shù)在區(qū)間上

47、，利用三角恒等式可以得到其前項部分和為</p><p><b>　　.</b></p><p>　　這個積分就是著名的Dirichlet奇異積分算子，而就是階Dirichlet核函數(shù)。要改進(jìn)其收斂性，一種方法是從Dirichlet核函數(shù)出發(fā)，構(gòu)造出新的核函數(shù)，使得帶有新核的積分算子能在全軸上一致地收斂到，通過Dirichlet積分算子構(gòu)造出一類組合型的積分算子，該積分

48、算子也在全軸上一致地收斂到每個連續(xù)函數(shù)，且具有最佳收斂階。而另一種方法是求和因子法，給出求和因子陣：，則有求和問題：</p><p>　　，若求和因子要滿足下：</p><p><b>　?、賹γ總€，</b></p><p><b>　?、冢?lt;/b></p><p>　　其中為常數(shù), 則在全軸上一致

49、地收斂到每個連續(xù)的。構(gòu)造求和因子：設(shè)為任意給定的奇自然數(shù)，取</p><p><b>　　，</b></p><p>　　其中，且滿足下面方程：。于是我們可以得到一個新的奇異積分算子：</p><p>　　。以此進(jìn)行計算下去。[4]</p><p>　　4 傅里葉級數(shù)在數(shù)列求和中的應(yīng)用</p><p

50、>　　傅里葉級數(shù)在數(shù)學(xué)與工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，特別是物理學(xué)和電子學(xué)，它用來表示周期函數(shù)，比如由通信信號波組成的函數(shù)。此外，在熱傳導(dǎo)、彈力學(xué)等方面也都需要用到傅里葉級數(shù)。而很多工程中的問題最終都可以歸納為一個線性系統(tǒng)對一個正弦函數(shù)的輸入反映，余弦函數(shù)，與正弦函數(shù)相差一個相位，因此余弦函數(shù)的輸入也可以歸結(jié)為正弦函數(shù)的問題。在這種情形中所有的參數(shù)都是實數(shù)，利用實變量的分析技術(shù)也能解決模型的分析問題，然而，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，運用復(fù)變量能極

51、大地簡化計算，并且能深入理解參數(shù)的本質(zhì)。所以也有觀點認(rèn)為傅里葉級數(shù)以及傅里葉變換與復(fù)變函數(shù)是緊密聯(lián)系的。所以我們需要將一個函數(shù)表示為正弦函數(shù)類的方法的同時，需要一個連接實變量和復(fù)變量的方法。而要把復(fù)雜的運算轉(zhuǎn)化為較為簡單的運算，常采用一種變換技巧。例如取對數(shù)能將數(shù)量的乘法和除法運算變成對數(shù)的和與差的運算，對運算的結(jié)果取反對數(shù)，就得到原來數(shù)量的乘積或商。把乘法和除法的運算變成加法和減法的運算，就是將復(fù)雜的運算變成簡單運算的一個典型例子。而

52、傅立葉變換就是一種常見的積分變換，其建立了將一個函數(shù)表示為正弦函數(shù)和的公式，實現(xiàn)了實變量和復(fù)變量之間的連接，同時還能將對函數(shù)的微分運</p><p>　　4.1 利用傅里葉級數(shù)進(jìn)行數(shù)列求和</p><p>　　我們在引言部分提及過，關(guān)于數(shù)列求和的方法有很多種，比如公式法、錯位相減法、倒序相加法、分組法、裂項法、數(shù)學(xué)歸納法、通項化歸、并項求和等等。但是對于某些數(shù)列，我們上面羅列的方法已經(jīng)不

53、足以進(jìn)行求和，比如我們接下來介紹的例子就是用函數(shù)項級數(shù)進(jìn)行求和的。當(dāng)數(shù)列本身就是某個級數(shù)的部分和數(shù)列時，就可以構(gòu)造一個函數(shù)項級數(shù)，通常為冪級數(shù)，有時也為傅里葉級數(shù)，并由此求解。那么就來討論一下如何利用函數(shù)項級數(shù)，特別是傅里葉級數(shù)進(jìn)行數(shù)列求和。這里我們重點研究一下傅里葉級數(shù)對類無窮級數(shù)和的求法。</p><p>　　函數(shù)的傅里葉展開理論為我們提供了一個周期函數(shù)的級數(shù)表達(dá)式。通過選擇適當(dāng)?shù)氖諗坑騼?nèi)的點，我們便可以得到

54、一些特殊數(shù)列的和，也就是到達(dá)了一類特殊數(shù)列求和的目的。</p><p>　　下面我們就以例子具體說明。</p><p><b>　　4.2 應(yīng)用舉例</b></p><p>　　4.2.1 類無窮級數(shù)和的傅里葉求法</p><p>　　(符號說明：下面提到的中的是第個求和)</p><p>&

55、lt;b>　　例1. 證明等式。</b></p><p>　　證明：取，在上展開成傅里葉級數(shù)，計算傅里葉系數(shù)得</p><p>　　由傅里葉級數(shù)的收斂定理，于是有：</p><p><b>　　令，得</b></p><p><b>　　例2．證明等式。</b></p>

56、<p>　　證明：取，在上展開成傅里葉級數(shù)，計算傅里葉系數(shù)得</p><p>　　由傅里葉級數(shù)的收斂定理，于是有</p><p><b>　　令，得</b></p><p>　　同理，取，在上展開成傅里葉級數(shù)，計算傅里葉系數(shù)，，</p><p><b>　　可證得</b></p&

57、gt;<p><b>　　.</b></p><p>　　依次類推，取，在上展開傅里葉級數(shù)，計算傅里葉系數(shù)，，可求得無窮級數(shù)的下面，我們求無窮級數(shù)的和。</p><p>　　例3. 求無窮級數(shù)的和。</p><p>　　解：取，在上展開成傅里葉級數(shù)，計算傅里葉系數(shù)得</p><p><b>　　，

58、</b></p><p>　　其中， ，</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　…，</b></p><p>　　由傅里葉級數(shù)的收斂定理，于是有</p><p><b>　　，</b></p&g

59、t;<p><b>　　，</b></p><p><b>　　令，得</b></p><p><b>　　從而有</b></p><p><b>　　。[6]</b></p><p>　　4.2.2 其他例子</p><

60、;p>　　例4. 把函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)，并由它推出</p><p><b>　　（1）；</b></p><p><b>　　（2）；</b></p><p><b>　?。?）.</b></p><p>　　解：函數(shù)是按段光滑的，故它可以展開成傅里葉級數(shù)。</p

61、><p><b>　　由于 </b></p><p><b>　　所以，當(dāng)時</b></p><p>　　當(dāng)時，上式右端收斂于0；當(dāng)時，由于，所以</p><p><b>　　證得（1）式。</b></p><p><b>　　又 ，所以<

62、;/b></p><p><b>　　即 </b></p><p><b>　　證得（2）式。</b></p><p><b>　　當(dāng)時，由于，所以</b></p><p><b>　　故有 </b></p><p>　　

63、證得（3）式。 </p><p>　　例5. 設(shè)為上可積函數(shù)，若的傅里葉級數(shù)在上一致收斂于，則成立帕塞瓦爾（Parseral）等式：</p><p>　　這里，為的傅里葉系數(shù)。</p><p>　　由于帕塞瓦爾等式對于在上滿足收斂定理條件的函數(shù)也成立。則請應(yīng)用這個結(jié)果證明等式： （提示：應(yīng)用例4的展開式導(dǎo)出）</p><p>　　證明

64、：由例4的結(jié)論知</p><p><b>　　由帕塞瓦爾等式有</b></p><p><b>　　故 .</b></p><p>　　例6. 求函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式，并應(yīng)用它推出.</p><p><b>　　證明：在區(qū)間上</b></p><

65、;p><b>　　由</b></p><p><b>　　有</b></p><p><b>　　將，，代入，得</b></p><p>　　當(dāng)時，上式右端收斂于</p><p><b>　　所以.[1]</b></p><p&g

66、t;<b>　　5 總結(jié)</b></p><p>　　數(shù)學(xué)作為一種創(chuàng)造性活動，不僅擁有真理，而且擁有至高無上的美。18世紀(jì)是分析的時代，數(shù)學(xué)進(jìn)入到更高層次的研究，傅里葉級數(shù)和數(shù)列求和均是數(shù)學(xué)分析中的重要組成部分，因此研究傅里葉級數(shù)在數(shù)列求和中的應(yīng)用具有重大的意義。就傅里葉級數(shù)而言，已經(jīng)有了豐富的研究成果。如今，隨著計算機計算能力的不斷提高，傅里葉級數(shù)理論在工程計算和理論研究方面發(fā)揮著更重要

67、的作用。比如，數(shù)學(xué)、物理和力學(xué)領(lǐng)域的許多問題都可以歸結(jié)為偏微分方程的邊值問題，分離變量法是解決這個問題的重要方法。而分離變量法的實質(zhì)是把待求函數(shù)分離變量后代入相應(yīng)的偏微分方程，通常得到包含待定常數(shù)的級數(shù)解答，再令待求函數(shù)滿足相應(yīng)的邊界條件，以建立一組“平衡”方程組。但是這個方程組的計算過程通常比較復(fù)雜，不能直接求解，只能借助比較系數(shù)法。而其常用的方法就是把方程中的每一項在合適的區(qū)間內(nèi)展開成傅里葉級數(shù)，通過比較三角函數(shù)變量前的系數(shù)，建立一

68、組線性代數(shù)方程，求解即得。而在此求解過程中，如何有效地把方程中每一項展成傅里葉級數(shù)就是能否順利求解的關(guān)鍵。[7]由此我們可以更深刻地體會到傅里葉級數(shù)的重要性。</p><p>　　目前，對于傅里葉級數(shù)的研究已經(jīng)有了非常豐富的研究資料，并且在上述提及過的數(shù)學(xué)本身、自然現(xiàn)象、工程技術(shù)以及物理研究等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用。在論文準(zhǔn)備期，我也閱讀了很多資料，并從中有所領(lǐng)悟，對本次論文有很大幫助。比如，函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式的計算過

69、程中，可以按正弦、余弦組合后依次相加 [8]，可以利用分布積分公式 [9]，也可以利用函數(shù)的對稱中心 [10] 計算得到，但這些方法都是據(jù)具體函數(shù)而言的；在傅里葉系數(shù)的計算方面，在現(xiàn)行教材所提到的三種推導(dǎo)方法的基礎(chǔ)上，從逼近的角度出發(fā)，應(yīng)用多元函數(shù)極值的相關(guān)知識，可以得到一種新的推導(dǎo)方法以克服前面三種方法出現(xiàn)的不足和缺陷[11]；在傅里葉級數(shù)的收斂性方面，對Dini定理和Jordan定理有更詳細(xì)和深入的介紹[12]；此外，還有三角函數(shù)部

70、分和在不同度量下的收斂速度 [13]，同一函數(shù)可以展成多種不同形式的傅里葉級數(shù)[14]，傅里葉級數(shù)部分和對凸函數(shù)的逼近[15]，及其在控制定理中的應(yīng)用[16]，等等。本論文則重點介紹了研究傅里葉級數(shù)的歷史背景、現(xiàn)狀，歸納梳理了傅里葉級數(shù)的相關(guān)概念、收斂定理、判別法及其求和理論，并結(jié)合例子說明傅里葉級數(shù)在數(shù)列求和中的應(yīng)用。隨</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p>

71、<p>　　[1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析（下冊）[M]. 北京: 高等教育出版社, 2001.</p><p>　　[2] 魏全順. 關(guān)于函數(shù)的Fourier級數(shù)系統(tǒng)展開方法[J]. 湖南第一師范學(xué)報，2007，7(1):158-160.</p><p>　　[3] 高義，高建國. 關(guān)于Fourier級數(shù)收斂性的判定定理[J]. 高等數(shù)學(xué)研究，2010，13(3):26

72、-27.</p><p>　　[4] 何甲興，王淑云，楊明. Fourier級數(shù)的求和理論與方法——求和因子法求和[J]. 數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識,2003，33(12):112-118.</p><p>　　[5] 馬柏林，李丹衡，曼華輝. 復(fù)變函數(shù)與積分變換[M]. 上海: 復(fù)旦大學(xué)出版社, 2009.</p><p>　　[6] 任孚鮫. 關(guān)于類無窮級數(shù)和的傅里葉求

73、法[J]. 雁北師范學(xué)院學(xué)報, 2004,20(2):48-49.</p><p>　　[7] 劉杰民，劉金堂. 函數(shù)的Fourier級數(shù)展開[J]. 沈陽航空工業(yè)學(xué)院學(xué)報，2004，21(5):87-89.</p><p>　　[8] 何國柱. 關(guān)于傅里葉級數(shù)展開式的一種寫法的討論[J]. 樂山師范學(xué)院學(xué)報，2008，23(12):27-28.</p><p>　

74、　[9] 譚宏武，李莉. 傅里葉級數(shù)展開的一個簡便算法[J]. 高等數(shù)學(xué)研究，2004，7(3):35-36.</p><p>　　[10] 成青松. 一類函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式的簡便計算——也談對稱性的使用意識[J]. 高等數(shù)學(xué)研究，2006，9(3):28-29,64.</p><p>　　[11] 章聯(lián)生. 傅里葉系數(shù)公式推導(dǎo)的一個注記[J]. 綿陽師范學(xué)院學(xué)報，2005，24(5)

75、:10-12.</p><p>　　[12] 孟凡友. 關(guān)于Fourier級數(shù)收斂定理的研究[J]. 牡丹江師范學(xué)院報，2000，1(2):25-26.</p><p>　　[13] 何倩，項雪艷. 關(guān)于一個典型函數(shù)Fourier級數(shù)部分和的收斂性[J]. 寶雞文理學(xué)院學(xué)報，2007，27(1):20-21,92.</p><p>　　[14] 田長安，王永忠. 函

76、數(shù)的兩種傅里葉級數(shù)展式及同一性證明[J]. 新鄉(xiāng)師范高等專科學(xué)校學(xué)報，2004，18(5):5.</p><p>　　[15] Yu Guohua. Approximationn of Convex Type Function by Partial Sums of Fourier Series[J]. Appl.Math.J.Chinese Univ.Ser.B, 2004,19(1):67-76.</p&