三角恒等變化金典例題

1、三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要求是:項(xiàng)數(shù)最少三角函數(shù)種類最少函數(shù)次數(shù)最低盡可能不帶根號(hào)能求值得要求出值.一:定義法例1.化簡(jiǎn)xxxxxxxxsintansintansintansintan?????二:弦切互化法例2.xxxxxxx2222tan1tan1)cos2tantan(sin2tan??????化簡(jiǎn)解:原式xxxxxxxxxxxxxxx2cos)cos2sin21(2cos2sincossin1cossin1)2cos2sincossin

2、1(2cos2sin22222???????????xxxxx2sin22coscos12cos2sin????三:變用公式例3.oooooo15tan50tan50tan25tan25tan15tan?????化簡(jiǎn)說(shuō)明:公式在解題中運(yùn)用非常靈活.常常變形為??????tantan1tantan)tan(????來(lái)使用.)tantan1)(tan(tantan??????????四:連鎖反應(yīng)法例5.oo78sin66sin42sin6s

3、in??化簡(jiǎn)說(shuō)明:此題分子分母同乘以從而連續(xù)逆用倍角公式達(dá)到多次化角的目地.?6cos五:升降次法例6.yxyxyx2cos2cos)(cos)(cos22?????化簡(jiǎn)例7.xx4cos812cos2183:??化簡(jiǎn)六:基本技巧例8(1)????2cos2sin12cos2sin1:????化簡(jiǎn)(2).2cos2sin2tan的值求已知xxx??角的變換角的變換，一般包括角的分解和角的組合，角的分解即把一個(gè)角分成幾個(gè)角的和或差，而角的

4、組合即把幾個(gè)角通過(guò)和或差組合成一個(gè)角。例2、已知，的值1sincos3????，0???（，）sincos???求例3、且是第二象限的角，求4sin()15tan??????，?tan?積化和差與和差化積1、積化和差公式：sinαsinβ=[cos(αβ)cos(αβ)cosαcosβ=[cos(αβ)cos(αβ)]sinαcosβ=[sin(αβ)sin(αβ)]cosαsinβ=[sin(αβ)sin(αβ)]積化和差公式是由正弦

5、或余弦的和角公式與差角公式通過(guò)加減運(yùn)算推導(dǎo)而得。其中后兩個(gè)公式可合并為一個(gè)：sinαcosβ=[sin(αβ)sin(αβ)]2、和差化積公式sinθsinφ=2sincossinθsinφ=2cossincosθcosφ=2coscoscosθcosφ=2sinsin和差化積公式是積化和差公式的逆用形式，要注意的是：①其中前兩個(gè)公式可合并為一個(gè)：sinθsinφ=2sincos②積化和差公式的推導(dǎo)用了“解方程組”的思想，和差化積公式的

6、推導(dǎo)用了“換元”思想。③只有系數(shù)絕對(duì)值相同的同名函數(shù)的和與差，才能直接運(yùn)用公式化成積的形式，如果一個(gè)正弦與一個(gè)余弦的和或差，則要先用誘導(dǎo)公式化成同名函數(shù)后再運(yùn)用公式化積。④合一變形也是一種和差化積。⑤三角函數(shù)的和差化積，可以理解為代數(shù)中的因式分解，因此，因式分解在代數(shù)中起什么作用，和差化積公式在三角中就起什么作用。3、積化和差與積差化積是一種孿生兄弟，不可分離，在解題過(guò)程中，要切實(shí)注意兩者的交替使用。如在一般情況下，遇有正、余弦函數(shù)的平

7、方，要先考慮降冪公式，然后應(yīng)用和差化積、積化和差公式交替使用進(jìn)行化簡(jiǎn)或計(jì)算。和積互化公式其基本功能在于：當(dāng)和、積互化時(shí)，角度要重新組合，因此有可能產(chǎn)生特殊角；結(jié)構(gòu)將變化，因此有可能產(chǎn)生互消項(xiàng)或互約因式，從而利于化簡(jiǎn)求值。正因?yàn)槿绱恕昂?、積互化”是三角恒等變形的一種基本手段。[例題選講]1、求下列各式的值①cos40cos60cos80cos160②cos23cos672sin4cos262、已知sinαsinβ=cosαcosβ=求tg