08群論的起源與發(fā)展

1、群論的起源與發(fā)展（杰出的數學天才群論的起源與發(fā)展（杰出的數學天才——伽羅華）伽羅華）群論起源于對代數方程的研究，它是人們對代數方程求解問題邏輯考察的結果。群理論被公認為十九世紀最杰出的數學成就之一。最重要的是，群論開辟了全新的研究領域，同時這種理論對于物理學、化學的發(fā)展，甚至對于二十世紀結構主義哲學的產生和發(fā)展都發(fā)生了巨大的影響。我們今天就主要了解它的發(fā)展里程，成長歷史。群論產論產生的生的歷史背景史背景從方程的根式解法發(fā)展過程來看，早在

2、古巴比倫數學和印度數學的記載中，他們就能夠用根式求解一元二次方程ax2bxc=0，接著古希臘人和古東方人又解決了某些特殊的三次數字方程，但沒有得到三次方程的一般解法。這個問題直到文藝復興的極盛期（即16世紀初）才由意大利人解決。同一時期，意大利人費爾拉里又求解出一般四次方程x4ax3bx2cxd=0的根是由系數的函數開四次方所得。但是在以后的幾個世紀里，探尋五次和五次以上方程的一般公式解法卻一直沒有得到結果。1770年前后，法國數學家拉

3、格朗日轉變代數的思維方法，提出方程根的排列與置換理論是解代數方程的關鍵所在，他的工作有力地促進了代數方程論的進步。但是他的這種方法卻不能對一般五次方程作根式解，于是他懷疑五次方程無根式解。并且他在尋求一般n次方程的代數解法時也遭失敗，從而認識到一般的四次以上代數方程不可能有根式解。他的這種思維方法和研究根的置換方法給后人以啟示。相繼魯菲尼和高斯都在這方面進行了研究。隨后，挪威數學家阿貝爾開始解決這個問題。1824年到1826年，阿貝爾著

4、手考察可用根式求解的方程的根具有什么性質，于是他修正了魯菲尼證明中的缺陷，嚴格證明：如果一個方程可以根式求解，則出現在根的表達式中的每個根式都可表示成方程的根和某些單位根的有理數。并且利用這個定理又證明出了阿貝爾定理：一般高于四次的方程不可能代數地求解。接著他進一步思考哪些特殊的高次方程才可用根式解的問題。在高斯分圓方程可解性理論的基礎上，他解決了任意次的一類特殊方程的可解性問題，發(fā)現這類特殊方程的特點是一個方程的全部根都是其中一個根（

5、假設為x）的有理函數，并且任意兩個根q1(x)與q2(x)滿足q1q2(x)=q2q1(x)，q1，q2為有理函數。現在稱這種方程為阿貝爾方程。其實在對阿貝爾方程的研究中已經涉及到了群的一些思想和特殊結果，只是阿貝爾沒能意識到，也沒有明確地構造方程根的置換集合，而僅僅考慮可交換性q1q2(x)=q2q1(x)來證明方程只要滿足這種性質，便可簡化為低次的輔助方程，輔助方程可依次用根式求解。了，以參加科學院的數學大獎評選，希望能夠獲獎。論文

6、寄給當時科學院終身秘書傅立葉，但傅立葉在當年5月去世了，在他的遺物中未能發(fā)現伽羅華的手稿。就這樣，伽羅華遞交的兩次數學論文都被遺失了。1831年1月，伽羅華在尋求確定方程的可解性這個問題上，又得到一個結論，他寫成論文提交給法國科學院。這篇論文是伽羅華關于群論的重要著作，當時負責審查的數學家泊阿松為理解這篇論文絞盡腦汁。傳說泊阿松將這篇論文看了四個月，最后結論居然是“完全不能理解”。盡管借助于拉格朗日已證明的一個結果可以表明伽羅華所要證明

7、的論斷是正確的，但最后他還是建議科學院否定它。伽羅華誕生在拿破侖帝國時代，經歷了波旁王朝的復辟時期，又趕上路易腓力浦朝代初期，年輕熱情的伽羅華對師范大學教育組織極為不滿。由于他揭發(fā)了校長吉尼奧對法國七月革命政變的兩面派行為，被吉尼奧的忠實朋友，皇家國民教育委員會顧問庫申起草報告，皇家國民教育委員會1831年1月8日批準立即將伽羅瓦開除出師范大學。之后，他進一步積極參加政治活動。1831年5月l0日，伽羅華以“企圖暗殺國王”的罪名被捕。在

8、監(jiān)獄中伽羅華一方面與官方進行不妥協的斗爭，另一面他還抓緊時間刻苦鉆研數學。盡管牢房里條件很差，生活艱苦，他仍能靜下心來在數學王國里思考。l832年3月16日伽羅華獲釋后不久，年輕氣盛的伽羅華為了一個舞女，卷入了一場他所謂的“愛情與榮譽”的決斗。伽羅華非常清楚對手的槍法很好，自己難以擺脫死亡的命運，所以連夜給朋友寫信，倉促地把自己生平的數學研究心得扼要寫出，并附以論文手稿。他不時的中斷，在紙邊空白處寫上“我沒有時間，我沒有時間”，然后又接

9、著寫下一個極其潦草的大綱。他在天亮之前那最后幾個小時寫出的東西，為一個折磨了數學家們幾個世紀的問題找到了真正的答案，并且開創(chuàng)了數學的一片新的天地。第二天上午，在決斗場上，伽羅華被打穿了腸子。歷史學家們曾爭論過這場決斗是一個悲慘遭的愛情事件的結局，還是出于政治動機造成的，但無論是哪一種，一位世界上最杰出的數學家在他20歲時被殺死了，他研究數學才只有五年。伽羅華最主要的成就是提出了群的概念，并用群論徹底解決了根式求解代數方程的問題，而且由此