高階彈性常數(shù)

1、高階彈性常數(shù)高階彈性常數(shù)??導(dǎo)論(Introduction)??1廣義Hooker定理以及晶體的Neumann原理??2應(yīng)變自由能與彈性常數(shù)的關(guān)系??3高階彈性常數(shù)的獲得與計(jì)算??4參考文獻(xiàn)[顯示部分]導(dǎo)論(Introduction)眾所周知的是二階彈性常數(shù)是一個(gè)二階四秩張量（Cijkl），三階彈性常數(shù)是三階六秩張量（Cijklmn）；更高階的彈性常數(shù)還包括四階彈性常數(shù)（Cijklmnpq），五階彈性常數(shù)（Cijklmnpqrs）和六階

2、彈性常數(shù)（Cijklmnpqrsuv），分別是八秩，十秩和12秩張量。目前研究報(bào)道的最高彈性常數(shù)為6階彈性常數(shù)。二階彈性常數(shù)的計(jì)算由于張量分量較少，同時(shí)在計(jì)算過(guò)程中主要是采用了線性Hooker定理，所施加的應(yīng)變量很小，因此在材料力學(xué)性能表征中得到了廣泛的應(yīng)用，三階彈性常數(shù)描述了非線性Hooker定理或者非線性力作用下的材料的力學(xué)響應(yīng)問(wèn)題。三階彈性常數(shù)矩陣形式十分復(fù)雜，即使對(duì)于立方晶體結(jié)構(gòu)也有6個(gè)獨(dú)立分量，對(duì)于對(duì)稱性更低的晶體結(jié)構(gòu)則分量更

3、多，如果采用能量－應(yīng)變的方法來(lái)計(jì)算各個(gè)獨(dú)立分量，則計(jì)算量相當(dāng)可觀。如立方晶體（點(diǎn)群Oh，O，Td）有六個(gè)獨(dú)立分量，則需要六個(gè)不同的應(yīng)變模式，得到六個(gè)多元一次方程組，聯(lián)立求解得到各個(gè)分量數(shù)值。若采用應(yīng)力－應(yīng)變（Strain－Stressrelations）則可以明顯減少應(yīng)變模式的數(shù)量，但主要問(wèn)題在于這要求第一原理計(jì)算軟件具有計(jì)算晶體Cauchy應(yīng)力張量的能力，然而，目前廣泛采用的DFT計(jì)算軟件，如VASP，Wine2K等等是不能直接得到C

4、auchy應(yīng)力張量的，只能計(jì)算特定應(yīng)變下的應(yīng)變能數(shù)值。MaterialsStudio軟件中的CASTEP模塊是目前為數(shù)不多的具有直接計(jì)算應(yīng)變結(jié)構(gòu)Cauchy應(yīng)力張量的軟件，因此CASTEP模塊在計(jì)算材料的二階彈性常數(shù)方面十分的方便。此外，對(duì)于三階彈性常數(shù)，目前沒有軟件可以直接計(jì)算，需要研究者自行設(shè)計(jì)方法進(jìn)行計(jì)算。三階彈性常數(shù)可以描述材料在高壓下的力學(xué)響應(yīng)情況，鑒于目前高壓物理學(xué)，行星結(jié)構(gòu)科學(xué)等相關(guān)領(lǐng)域的飛速發(fā)展，對(duì)于超硬材料的非線性力學(xué)

5、常數(shù)受到了越來(lái)越多的關(guān)注。采用超聲腔共振法可以方便的測(cè)量材料的二階彈性常數(shù)，但對(duì)于非線性彈性常數(shù)，試驗(yàn)方面進(jìn)展十分的緩慢，時(shí)至今日，大部分超硬材料的高階彈性常數(shù)仍然是未知的。1廣義Hooker定理以及晶體的Neumann原理(ThegeneralizedHookersLawNeumannPrinciple)1.1廣義廣義Hooker定理定理(TheGeneralizedHookersLaw)與傳統(tǒng)線彈性力學(xué)中廣泛采用的Hooker定理相

6、比，廣義Hooker定理可以認(rèn)為是包含了高階非線性應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系項(xiàng)的Hooker定理的Tayl級(jí)數(shù)展開形式，因此從數(shù)學(xué)意義上來(lái)講這種應(yīng)力對(duì)應(yīng)變的階數(shù)可以無(wú)限制的進(jìn)行，正如前文所說(shuō)，目前廣泛采用的彈性常數(shù)為應(yīng)力對(duì)應(yīng)變展開的線性項(xiàng)，展開系數(shù)即為Cijkl，Cijkl就是彈性常數(shù)，由于根據(jù)張量運(yùn)算法則可知Cijkl是一個(gè)四秩張量，描述兩個(gè)二秩張量應(yīng)力（stress）和應(yīng)變（Strain）之間的關(guān)系。Cijkl矩陣元素有3^4個(gè)，考慮到Lagr

7、ange應(yīng)變?yōu)閷?duì)稱矩陣，同時(shí)應(yīng)變自由能與應(yīng)變路徑無(wú)關(guān)，可以用一個(gè)66的矩陣來(lái)描述，有36個(gè)矩陣元素。進(jìn)一步的矩陣元素化簡(jiǎn)來(lái)自于晶體結(jié)構(gòu)點(diǎn)群對(duì)稱性對(duì)物理學(xué)性質(zhì)的限制，即Neumann原理。例如對(duì)于三斜晶體（TriclinicCrystalThirdder6thranktens(Cijklmn)Cijklmnpq:Fourthder8thranktens566matrixwith336elementsfcubiccrystalclassth

8、eindependentnuberis11研修班北京大學(xué)研修班清華總載班Fourthder8thranktens(Cijklmnpq)研修班北京大學(xué)研修班清華總載班UsingVoigtnotationswehaveCijkl－Cij，Cijklmn－CijkCijklmnpq－CijklVoigtNotations:examples:C1111－C11，C111111－C111C11111111－C1111；C1122－C12；C112

9、233－C123；C11112233－C1123；C2332＝C2323＝C44etc.etc.11223323(32)13（31）12(21)1234561.2Neumann原理原理（NeumannPrinciple）Neumann原理指出，任何晶體結(jié)構(gòu)的物理性質(zhì)所具有的對(duì)稱性不低于晶體點(diǎn)群的對(duì)稱性，這表明張量分身最少具有晶體點(diǎn)群對(duì)稱性，將晶體點(diǎn)群對(duì)稱操作作用到各個(gè)張量分量Cijkl上，得到新的張量Cmnpq，則Cijkl＝Cmnpq