相關(guān)系數(shù)矩陣的逆矩陣與行列式的內(nèi)涵分析20130205-王惠文

1、相關(guān)系數(shù)矩陣的逆矩陣與行列式的內(nèi)涵分析相關(guān)系數(shù)矩陣的逆矩陣與行列式的內(nèi)涵分析【摘要】相關(guān)系數(shù)矩陣是用于表現(xiàn)變量之間相關(guān)關(guān)系的統(tǒng)計(jì)分析工具。然而，多元變量之間的相關(guān)關(guān)系極易受各種復(fù)雜因素的影響，因此并不能僅僅依據(jù)該矩陣中的數(shù)值來解釋變量間的關(guān)系。而利用偏相關(guān)系數(shù)則可以進(jìn)一步地反映變量間的本質(zhì)聯(lián)系。本文系統(tǒng)研究了相關(guān)系數(shù)矩陣的逆矩陣與行列式中的深刻內(nèi)涵，一方面討論了相關(guān)系數(shù)矩陣的逆矩陣與偏相關(guān)系數(shù)之間的數(shù)量聯(lián)系；另一方面，從數(shù)學(xué)上證明了相關(guān)

2、系數(shù)矩陣的行列式與變量間各階次偏相關(guān)系數(shù)的等式關(guān)系。此外，論文還進(jìn)一步指出這些研究結(jié)論在多元線性回歸建模中的指導(dǎo)意義?！娟P(guān)鍵詞】相關(guān)系數(shù)矩陣偏相關(guān)系數(shù)多元線性回歸分析中圖分類號(hào)：O212.4文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A一、引言一、引言1877年，F(xiàn)rancisGalton在一次演講中用“復(fù)原”（reversion）一詞定義了甜豆苗母代與子代之間物理特性的關(guān)系[1]，這是歷史早期人們對相關(guān)性概念的理解。從那以后，許多科學(xué)家不斷嘗試，希望創(chuàng)造一種方法來測

3、量兩變量的相關(guān)性大小。KarlPearson在1895年提出了Pearson相關(guān)系數(shù)（PearsonProductMomentCrelationCoefficient），并給出了計(jì)算公式。在此之后，人們又創(chuàng)造性地提出了若干種等價(jià)的計(jì)算方式。最有代表性的是Rodgers和Nicewer（1988）[2]，他們在總結(jié)前人成果的基礎(chǔ)上，從13種不同的角度來解讀Pearson相關(guān)系數(shù)，為相關(guān)系數(shù)的廣泛應(yīng)用做出了重要貢獻(xiàn)。在Pearson相關(guān)系數(shù)

4、的基礎(chǔ)上，關(guān)于相關(guān)性問題的深入研究也在不斷繼續(xù)。如Fisher（1925）[3]詳細(xì)解釋了偏相關(guān)系數(shù)、序列相關(guān)等；Ld（1968）[4]說明了偏相關(guān)、復(fù)相關(guān)與多元線性回歸的關(guān)系；國內(nèi)的學(xué)者如馬江洪（1994）[5]在討論多元線性回歸分析中的復(fù)雜相關(guān)性問題時(shí)，推導(dǎo)了偏相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式；王海燕（2006）[6]等比較了偏相關(guān)系數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)，得到了二者的數(shù)量關(guān)系和統(tǒng)計(jì)意義。除此之外，偏相關(guān)系數(shù)、半偏相關(guān)系數(shù)的區(qū)別和應(yīng)用日益受到重視[78]

5、；相關(guān)分析、偏相關(guān)分析也逐步應(yīng)用于醫(yī)學(xué)、信號(hào)處理等領(lǐng)域[910]；尾部相關(guān)系數(shù)、多相關(guān)系數(shù)等延伸概念也被提出和解釋[1112]。時(shí)至今日，Pearson相關(guān)系數(shù)及與其有關(guān)的拓展應(yīng)用，已成為仍然是統(tǒng)計(jì)上的重要方法領(lǐng)域的熱點(diǎn)研究問題。（“應(yīng)用”不適合稱為“方法”）本文以Pearson相關(guān)系數(shù)矩陣（以下簡稱為相關(guān)系數(shù)矩陣）為出發(fā)點(diǎn)，對相關(guān)系數(shù)矩陣的兩種最基本的代數(shù)變換形式——逆矩陣、行列式中隱含的信息進(jìn)行研究。在文章的第二部分，通過一個(gè)實(shí)例說

6、明了相關(guān)系數(shù)矩陣在解釋多元相關(guān)關(guān)系時(shí)的缺陷；第三部分則系統(tǒng)討論了相關(guān)系數(shù)矩陣的逆矩陣與偏相關(guān)系數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系；第四部分重點(diǎn)研究了相關(guān)系數(shù)矩陣行列式所包含的內(nèi)涵信息，從數(shù)學(xué)上證明了相關(guān)系數(shù)矩陣行列式與變量間各階次偏相關(guān)系數(shù)的等式關(guān)系；此外，還進(jìn)一步討論了這些研究結(jié)論對多元線性回歸建模的指導(dǎo)意義。二、相關(guān)系數(shù)矩陣及其局限性二、相關(guān)系數(shù)矩陣及其局限性為了充分認(rèn)識(shí)研究相關(guān)系數(shù)矩陣與偏相關(guān)系數(shù)之間聯(lián)系的重要性，本節(jié)將通過一個(gè)實(shí)例來說明相關(guān)系數(shù)矩

7、陣的局限性。1.相關(guān)系數(shù)矩陣相關(guān)系數(shù)矩陣首先給出一些必要的數(shù)學(xué)符號(hào)。由于數(shù)據(jù)的中心化不會(huì)改變變量間的相關(guān)性，所以為大腿圍長2x0.923810.0847中臂圍長3x0.45780.08471從表1看到的情形是，三頭肌皮褶厚度和大腿圍長之間的相關(guān)程度非常高；中臂1x2x圍長與其他2個(gè)變量的相關(guān)程度都比較低，尤其是中臂圍長和大腿圍長，二者相3x3x2x關(guān)系數(shù)僅為0.085。然而，這并不能推斷中臂圍長與其他兩個(gè)變量之間不存在多重共線性。事實(shí)上

8、，如果以為因變量，以為自變量，建立回歸模型，則會(huì)得到一個(gè)測定系數(shù)3x12xx的回歸方程：20.9904R?（4）31262.33081.88091.6085???xxx從這個(gè)例子可以看出，在多元分析時(shí)，簡單相關(guān)系數(shù)常常無法反映變量之間的本質(zhì)聯(lián)系。因此，僅依據(jù)簡單相關(guān)系數(shù)矩陣來解釋變量之間的相關(guān)性是不可靠的。R三、三、與偏相關(guān)系數(shù)之間的聯(lián)系與偏相關(guān)系數(shù)之間的聯(lián)系1?R為了更加準(zhǔn)確地描述變量之間的相關(guān)關(guān)系，人們常利用偏相關(guān)系數(shù)來測量變量集合

9、中復(fù)雜的相關(guān)關(guān)系。在本節(jié)中，將討論偏相關(guān)系數(shù)與相關(guān)系數(shù)矩陣逆矩陣之間的聯(lián)系。1?R首先，簡述偏相關(guān)系數(shù)的定義。對于p個(gè)變量的集合，??12ijpX???=xxxxx為了得到變量與的偏相關(guān)系數(shù)，首先用對除外的所有變量做回歸，得到此回歸ixjxixjx方程的殘差；接著，用對除外的所有變量做回歸，得到此回歸方程的殘差。記iejxixje為變量集合中除和外的其他所有變量的集合。將與的簡單相關(guān)系??ijXxxXixjxieje數(shù)記為，則稱為與關(guān)于

10、的偏相關(guān)系數(shù)。??ijijrXxx??ijijrXxxixjx??ijXxx從上述定義可見，偏相關(guān)系數(shù)是在控制某兩個(gè)變量以外的其他變量對它們的影響之后計(jì)算這兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系。顯然，它更加深刻地反映了變量之間的本質(zhì)聯(lián)系。馬江洪（1994）推導(dǎo)了由的伴隨矩陣內(nèi)的元素計(jì)算偏相關(guān)系數(shù)的公式。由此可知，R偏相關(guān)系數(shù)可以由中的元素計(jì)算求得。其具體計(jì)算方法是：當(dāng)矩陣可逆，則有偏相1?RR關(guān)系數(shù)（5）??ijijijiijjprpp??Xxx公式