孫應飛 隨機過程講義 第一章

1、菁英班_隨機過程講稿作者孫應飛第一章第一章隨機過程及其分類隨機過程及其分類在概率論中，我們研究了隨機變量，在概率論中，我們研究了隨機變量，維隨機向量。在極限定理中我們研維隨機向量。在極限定理中我們研n究了無窮多個隨機變量，但只局限在它們之間相互獨立的情形。將上述情形加究了無窮多個隨機變量，但只局限在它們之間相互獨立的情形。將上述情形加以推廣，即研究一族無窮多個、相互有關的隨機變量，這就是隨機過程。以推廣，即研究一族無窮多個、相互有關的隨

2、機變量，這就是隨機過程。1隨機過程的概念隨機過程的概念定義：設定義：設是一概率空間，對每一個參數(shù)是一概率空間，對每一個參數(shù)，是一定義是一定義)(P??Tt?)(?tX在概率空間在概率空間上的隨機變量，則稱隨機變量族上的隨機變量，則稱隨機變量族為)(P??)(TttXXT???該概率空間上的一隨機過程。其中該概率空間上的一隨機過程。其中是一實數(shù)集，稱為指標集或參數(shù)集。是一實數(shù)集，稱為指標集或參數(shù)集。RT?隨機過程的兩種描述方法：隨機過程的

3、兩種描述方法：用映射表示用映射表示，TXRTtX???:)(?即是一定義在是一定義在上的二元單值函數(shù)，固定上的二元單值函數(shù)，固定，是一定義在是一定義在)(??X??TTt?)(?tX樣本空間樣本空間上的函數(shù)，即為一隨機變量；對于固定的上的函數(shù)，即為一隨機變量；對于固定的，是一個是一個????)(??X關于參數(shù)關于參數(shù)的函數(shù)，通常稱為樣本函數(shù)，或稱隨機過程的一次實現(xiàn)，所有樣的函數(shù)，通常稱為樣本函數(shù)，或稱隨機過程的一次實現(xiàn)，所有樣Tt?本函

4、數(shù)的集合確定一隨機過程。記號本函數(shù)的集合確定一隨機過程。記號有時記為有時記為或簡記為或簡記為。)(?tX)(?tX)(tX參數(shù)參數(shù)一般表示時間或空間。常用的參數(shù)一般有：（一般表示時間或空間。常用的參數(shù)一般有：（1）T；（；（2）；（；（3），其中，其中可以可以2100???NT210????T][baT?a取或，可以取可以取。當參數(shù)取可列集時，一般稱隨機過程為隨機序列。。當參數(shù)取可列集時，一般稱隨機過程為隨機序列。0??b??隨機過程隨

5、機過程可能取值的全體所構成的集合稱為此隨機過程的狀可能取值的全體所構成的集合稱為此隨機過程的狀)(TttX?態(tài)空間，記作態(tài)空間，記作。中的元素稱為狀態(tài)。狀態(tài)空間可以由復數(shù)、實數(shù)或更一般中的元素稱為狀態(tài)。狀態(tài)空間可以由復數(shù)、實數(shù)或更一般SS的抽象空間構成。實際應用中，隨機過程的狀態(tài)一般都具有特定的物理意義。的抽象空間構成。實際應用中，隨機過程的狀態(tài)一般都具有特定的物理意義。例1：拋擲一枚硬幣，樣本空間為：拋擲一枚硬幣，樣本空間為，借此定義

6、：，借此定義：TH??菁英班_隨機過程講稿作者孫應飛（一）（一）以參數(shù)集和狀態(tài)空間的特性分類：以參數(shù)集和狀態(tài)空間的特性分類：以參數(shù)集以參數(shù)集的性質(zhì)，隨機過程可分為兩大類：（的性質(zhì)，隨機過程可分為兩大類：（1）可列；（可列；（2）不可列。不可列。TTT以狀態(tài)空間以狀態(tài)空間的性質(zhì)，即的性質(zhì)，即所取的值的特征，隨機過程也可以分為兩大所取的值的特征，隨機過程也可以分為兩大S)(tX類：（類：（1）離散狀態(tài)，即）離散狀態(tài)，即所取的值是離散的；（所

7、取的值是離散的；（2）連續(xù)狀態(tài)，即）連續(xù)狀態(tài)，即所)(tX)(tX取的值是連續(xù)的。取的值是連續(xù)的。由此可將隨機過程分為以下四類：由此可將隨機過程分為以下四類：（a）離散參數(shù)離散型隨機過程；離散參數(shù)離散型隨機過程；（b）連續(xù)參數(shù)離散型隨機過程；連續(xù)參數(shù)離散型隨機過程；（c）連續(xù)參數(shù)連續(xù)型隨機過程；連續(xù)參數(shù)連續(xù)型隨機過程；（d）離散參數(shù)連續(xù)型隨機過程。離散參數(shù)連續(xù)型隨機過程。（二）（二）以隨機過程的統(tǒng)計特征或概率特征分類：以隨機過程的統(tǒng)計特

8、征或概率特征分類：以隨機過程的統(tǒng)計特征或概率特征來進行分類，一般有以下一些：以隨機過程的統(tǒng)計特征或概率特征來進行分類，一般有以下一些：（a）獨立增量過程；獨立增量過程；（b）Markov過程；過程；（c）二階矩過程；二階矩過程；（d）平穩(wěn)過程；平穩(wěn)過程；（e）鞅；鞅；（f）更新過程；更新過程；（g）Poission過程；過程；（h）維納過程。維納過程。注意：以上兩種對隨機過程的分類方法并不是獨立的，比如，我們以后要討注意：以上兩種對隨機

9、過程的分類方法并不是獨立的，比如，我們以后要討論的論的Markov過程，就有參數(shù)離散狀態(tài)空間離散的過程，就有參數(shù)離散狀態(tài)空間離散的Markov過程，即過程，即Markov鏈，也要討論參數(shù)連續(xù)狀態(tài)離散的鏈，也要討論參數(shù)連續(xù)狀態(tài)離散的Markov過程，即純不連續(xù)過程，即純不連續(xù)Markov過程。過程。在下面幾章中，我們將研究幾種重要的、應用非常廣泛的隨機過程。在下面幾章中，我們將研究幾種重要的、應用非常廣泛的隨機過程。3隨機過程的數(shù)字特征隨