第一章 隨機(jī)試驗(yàn)與概率1.4

1、一、條件概率,二、乘法定理,三、全概率公式與貝葉斯公式,四、小結(jié),§1.4　條件概率,,,,,,將一枚硬幣拋擲兩次 ,觀察其出現(xiàn)正反兩面的情況,設(shè)事件 A為 “至少有一次為正面”,事件B為“兩次擲出同一面”. 現(xiàn)在來求已知事件A 已經(jīng)發(fā)生的條件下事件 B 發(fā)生的概率.,分析,事件A 已經(jīng)發(fā)生的條件下事件B 發(fā)生的概率,記為,1. 引例,一、條件概率,,,,同理可得,為事件 A 發(fā)生的條件下事件 B 發(fā)生的條件概率.,2. 定義

2、,,,,.,),(,),(,),(,,,0,),(,,,,,條件概率,發(fā)生的,發(fā)生的條件下事件,為在事件,稱,且,是兩個(gè)事件,設(shè),A,B,B,P,AB,P,B,A,P,B,P,B,A,=,>,計(jì)算條件概率有兩個(gè)基本的方法：,１、利用定義 來計(jì)算,２、在古典概型中利用古典概型的計(jì)算方法直接 計(jì)算,例1 在全部產(chǎn)品中有4%的廢品，有72%的一等品.先從中任取一件為合格品，求它是一等品

3、的概率.,解,設(shè)A表示“任取一件為合格品”， B表示“任取一件為一等品”，,P（A）=0.96，P（AB）=P（B）=0.72,設(shè)A表示“任取一件為合格品”， B表示“任取一件為一等品”，,例2 盒中有5個(gè)黑球3個(gè)白球，連續(xù)不放回的從中取兩次球，每次取一個(gè)，若已知第一次取出的是白球，求第二次取出的是黑球的概率.,解,A表示“第一次取到的是白球”，B表示“第二次取到的是黑球”， 所求的概率為P（B | A）,由于第

4、一次取到的是白球，所以第二次取球時(shí)，盒 中有5個(gè)黑球2個(gè)白球，由古典概型的概率計(jì)算方法知,,,二、 乘法定理,例3 在10個(gè)產(chǎn)品中，有2件次品，不放回地抽取2件產(chǎn)品，每次取一個(gè)，求取到的兩件產(chǎn)品都是次品的概率.,解,解,例5 盒中有5個(gè)白球2個(gè)黑球，連續(xù)不放回的從中取三次球，每次取一個(gè)，求第三次才取到黑球的概率.,解,由乘法公式知,練習(xí)1 某種動(dòng)物由出生算起活20歲以上的概率為0.8, 活到25歲以上的概率為0.4, 如

5、果現(xiàn)在有一個(gè)20歲的這種動(dòng)物, 問它能活到25歲以上的概率是多少?,練習(xí)2 設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡, 第一次落下時(shí)打破的概率為1/2,若第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率為7/10 , 若前兩次落下未打破, 第三次落下打破的概率為9/10.試求透鏡落下三次而未打破的概率.,課堂練習(xí),練習(xí)1 某種動(dòng)物由出生算起活20歲以上的概率為0.8, 活到25歲以上的概率為0.4, 如果現(xiàn)在有一個(gè)20歲的這種動(dòng)物, 問它能活到25歲以

6、上的概率是多少?,設(shè)事件A 表示“ 能活 20 歲以上 ” ， 事件B 表示 “ 能活 25 歲以上”,,則有,解,練習(xí)2 設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡, 第一次落下時(shí)打破的概率為1/2,若第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率為7/10 , 若前兩次落下未打破, 第三次落下打破的概率為9/10.試求透鏡落下三次而未打破的概率.,解,以B 表示事件“透鏡落下三次而未打破”.,1. 樣本空間的劃分,三、全概率公式

7、與貝葉斯公式,2. 全概率公式,全概率公式,證明,說明 全概率公式的主要用處在于它可以將一個(gè)復(fù)雜事件的概率計(jì)算問題,分解為若干個(gè)簡(jiǎn)單事件的概率計(jì)算問題,最后應(yīng)用概率的可加性求出最終結(jié)果.,全概率公式的最簡(jiǎn)單形式為,例８ 盒中有5個(gè)白球3個(gè)黑球，連續(xù)不放回地從中取兩次球，每次取一個(gè)，求第二次取到白球的概率.,解,則,由全概率公式知,例９ 有一批同一型號(hào)的產(chǎn)品，已知其中由一廠生產(chǎn)的占 30% ，二廠生產(chǎn)的占 35% ，三廠生產(chǎn)的占

8、35%，又知這三個(gè)廠的產(chǎn)品次品率分別為5% ，4%，3%，問從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是多少?,設(shè)事件 A 為“任取一件為次品”,,解,例１０ 設(shè)n（n≥2）張彩票中有1張獎(jiǎng)券，甲、乙兩人依次每人摸一張彩票，分別求甲、乙二人摸到獎(jiǎng)券的概率.,解,設(shè)A表示“甲摸到獎(jiǎng)券”，,B表示“乙摸到獎(jiǎng)券”，,顯然,而A發(fā)生與否直接影響B(tài)的發(fā)生的概率,而,由全概公式得：,（抽簽公平性）,稱此為貝葉斯公式.,,,3. 貝葉斯公式,證明,例1,,,

9、),1,(,.,,,05,.,0,80,.,0,15,.,0,03,.,0,01,.,0,02,.,0,3,2,1,:,.,概率;,求它是次品的,元件,在倉庫中隨機(jī)地取一只,無區(qū)別的標(biāo)志,且,倉庫中是均勻混合的,設(shè)這三家工廠的產(chǎn)品在,提供元件的份額,次品率,元件制造廠,的數(shù)據(jù),根據(jù)以往的記錄有以下,件制造廠提供的,的元件是由三家元,某電子設(shè)備制造廠所用,解,(1) 由全概率公式得,(2) 由貝葉斯公式得,例2 針對(duì)某種疾病進(jìn)行一種化驗(yàn),

10、患該病的人中有90%呈陽性反應(yīng),而未患該病的人中有5%呈陽性反應(yīng)。設(shè)人群中有1%的人患這種病。若某人做這種化驗(yàn)呈陽性反應(yīng)，則他患這種疾病的概率是多少？,解：設(shè)A表示“某人患這種病”，B表示“化驗(yàn)呈陽性反應(yīng)”,則,由全概率公式得,由貝葉斯公式得,練習(xí),(2),(1),解,練習(xí)1,由貝葉斯公式得所求概率為,即平均1000個(gè)具有陽性反應(yīng)的人中大約只有87人患有癌癥.,解,練習(xí)2,由貝葉斯公式得所求概率為,,1.條件概率,,全概率公式,,貝葉