協(xié)方差的概念及應用

1、兩個不同參數之間的方差就是協(xié)方差若兩個隨機變量X和Y相互獨立，則E[(XE(X))(YE(Y))]=0，因而若上述數學期望不為零，則X和Y必不是相互獨立的，亦即它們之間存在著一定的關系。定義E[(XE(X))(YE(Y))]稱為隨機變量X和Y的協(xié)方差，記作COV(X，Y)，即COV(X，Y)=E[(XE(X))(YE(Y))]。協(xié)方差與方差之間有如下關系：D(XY)=D(X)D(Y)2COV(X，Y)D(XY)=D(X)D(Y)2COV

2、(X，Y)因此，COV(X，Y)=E(XY)E(X)E(Y)。[編輯本段]協(xié)方差的性質（1）COV(X，Y)=COV(Y，X)；（2）COV(aX，bY)=abCOV(X，Y)，（a，b是常數）；（3）COV(X1X2，Y)=COV(X1，Y)COV(X2，Y)。由協(xié)方差定義，可以看出COV(X，X)=D(X)，COV(Y，Y)=D(Y)。協(xié)方差作為描述X和Y相關程度的量，在同一物理量綱之下有一定的作用，但同樣的兩個量采用不同的量綱使它

3、們的協(xié)方差在數值上表現(xiàn)出很大的差異。為此引入如下概念：定義ρXY=COV(X，Y)√D(X)√D(Y)，稱為隨機變量X和Y的相關系數。定義若ρXY=0，則稱X與Y不相關。即ρXY=0的充分必要條件是COV(X，Y)=0，亦即不相關和協(xié)方差為零是等價的。定理設ρXY是隨機變量X和Y的相關系數，則有（1）∣ρXY∣≤1；（2）∣ρXY∣=1充分必要條件為PY=aXb=1，（a，b為常數，a≠0）定義設X和Y是隨機變量，若E(X^k)，k=1

4、，2，...存在，則稱它為X的k階原點矩，簡稱k階矩。在協(xié)方差矩陣c中，每一個元素c(ij)為對第i列與第j列的協(xié)方差，例如c(12)=4.1667為第一列與第二列的協(xié)方差。拿c(12)的求解過程來說c(12)=sum((a(:1)mean(a(:1))).(a(:2)mean(a(:2))))(size(a1)1)1.a(:1)mean(a(:1))，第一列的元素減去該列的均值得到1.33332.33333.66672a(:2)mea

5、n(a(:2))，第二列的元素減去該列的均值得到0.33331.66671.33333再將第一步與第二部的結果相乘1.33330.33330.44442.3333.1.6667=3.88893.66671.33334.88894再將結果求和size(a1)1得4.1667該值即為c（12）的值。再細看一下是不是與協(xié)方差公式：Cov(XY)=E[(XE(X)][(YE(Y)]過程基本一致呢，只是在第4步的時候matlab做了稍微的調整，自

6、由度為n1，減少了一行的樣本值個數。已知協(xié)方差求其特征值：已知協(xié)方差求其特征值：先寫出協(xié)方差矩陣s再調用eig(s)這個庫函數，調用方法：[eved]=eig(s).ed為特征值矩陣，ev特征向量矩陣，排列順序：從低階到高階?！穝=[2291.333134019342523.3331245.3332482；1340956.666715961401.333883.33331480；193415964281.6671436.66716631