電磁學(xué)與電動力學(xué)(下)

1、1第三章靜磁場3.13.1對均勻磁場構(gòu)建兩個滿足規(guī)范條件的矢勢并證明二者之差的旋度為零.0B0???AA【解】取直角坐標()不妨設(shè)則可構(gòu)建如下兩個矢勢:zyxzBeB00?xyyBxBeAeA0201???滿足題設(shè)條件.顯然二者之差的旋度為零:.0)()(021????????xyyxBeeAA3.23.2證明對任何局域電流分布所產(chǎn)生的磁場具有如下性質(zhì):當(dāng)全部電流位于某球體之內(nèi)則在該球體內(nèi)的體積分BB等于為局域電流分布的磁矩當(dāng)全部電流位

2、于球體之外則相應(yīng)磁場體積分等于球心磁場和球體體積320m?m的乘積.(參見2.3題的提示.)【證】不妨設(shè)球半徑為取球心為坐標原點則a.?????????????????arararddVdVσrArArB)()()(代入矢勢的表達式A????????Vd|rr|rjrA)(4)(0??得?????????????????arardVddV||)(40rrσrjB??.????????????????ardVVd30||)()(4rrrr

3、rj??利用提示的積分公式對全部電流位于球體之內(nèi)即的情況有ar??mrrjB32)(34400???????????????????VddVar對全部電流位于球體之外即的情況有ar??)0(34)(3443330BrrjEaVdradVar????????????????????證畢.3.33.3半徑為的圓柱殼的軸向面密度為(和為常數(shù))求柱內(nèi)外磁場分布.a)cos1(0????ii0i?【解】本題屬于圓柱坐標()下的二維二分量問題矢勢只

4、有分量且與無關(guān):z??zz.在圓柱內(nèi)外均滿足拉普拉斯方程可用分離變數(shù)法求解.考慮到圓柱表面電流的特殊分布zAeA)(???A形式嘗試將圓柱內(nèi)、外的解分別寫為3??????????3||)(rrσrrd為線圈相對考察點所張的立體角為以線圈為邊界的任意曲面.當(dāng)線圈法向背離考察點時上述立體角為正指向考察點時?上述立體角為負線圈法向與電流方向之間滿足右手定則.【證】由畢奧－沙伐爾定律得????????????????|rr|l|rr|rrlB1

5、4)(4030dIdI????????????????????????????|rr|σ|rr|l1)(41400dIdI.???????????????????????σ|rr||rr|σdIdI141)(4200上式右邊第二項的被積式等于其面積分消失第一項化為)(4rr?????????????????????????|rr|σ|rr|σB1)(41)(400dIdI????????????????????4)(4030IdI|rr

6、|σrr證畢.3.63.6設(shè)鐵磁體的磁化規(guī)律為式中和為常量.計算由該鐵磁體制成的半徑為00MHB?????0M的球內(nèi)外的磁感應(yīng)強度.a【解】用磁標勢方法求解.注意到鐵磁體的固有磁化強度均勻?qū)?yīng)的磁荷只分布于球表面.因此球內(nèi)外的磁標勢均滿足拉普拉斯方程.采用球坐標()極軸沿方向嘗試寫下球內(nèi)外的解如下:??r0M??cos101raam????cos21002rbrbam??????式中系數(shù)由球面上的邊值關(guān)系armarm???||21???