函數(shù)的單調(diào)性·典型例題精析

1、1231函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性例題解析例題解析【例1】求下列函數(shù)的增區(qū)間與減區(qū)間(1)y＝|x2＋2x－3|(2)y(3)y＝＝xxxxx2221123??????||解(1)令f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4先作出f(x)的圖像，保留其在x軸及x軸上方部分，把它在x軸下方的圖像翻到x軸就得到y(tǒng)＝|x2＋2x－3|的圖像，如圖23－1所示由圖像易得：遞增區(qū)間是[－3，－1]，[1，＋∞)遞減區(qū)間是(－∞，－3]，[－1，1]

2、(2)分析：先去掉絕對(duì)值號(hào)，把函數(shù)式化簡(jiǎn)后再考慮求單調(diào)區(qū)間解當(dāng)x－1≥0且x－1≠1時(shí)，得x≥1且x≠2，則函數(shù)y＝－x當(dāng)x－1＜0且x－1≠－1時(shí)，得x＜1且x≠0時(shí)，則函數(shù)y＝x－2∴增區(qū)間是(－∞，0)和(0，1)減區(qū)間是[1，2)和(2，＋∞)(3)解：由－x2－2x＋3≥0，得－3≤x≤1令u＝＝g(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4在x∈[－3，－1]上是在x∈[－1，1]上是而＝在≥上是增函數(shù)yu0u∴函數(shù)y的增區(qū)

3、間是[－3，－1]，減區(qū)間是[－1，1]【例2】函數(shù)f(x)＝ax2－(3a－1)x＋a2在[－1，＋∞]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝x在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)3證法二()xxxx(xx)xxxx0xx0x0x0xxxxxx012122212222122122112121222∵＋＋＝＋＋，這里＋與不會(huì)同時(shí)為，否則若＋＝且＝，則＝這與＜矛盾，∴＋＋＞12341212得f(x)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)證法三

4、()txxxxx4x3x00x0x0tx03x0t0xxxx0f(x)f(x)f(x)(22121212121212221222121221令＝＋＋，其判別式Δ＝－＝－≤，若Δ＝時(shí)，則＝，那么≠，∴＝＞，若Δ＝－＜，則＞，即＋＋＞，從而＜，∴在－∞，＋∞上是減函數(shù))【例6】討論函數(shù)＝＋的單調(diào)性，并畫出它的大致圖像f(x)x1x解定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，任取定義域內(nèi)兩個(gè)值x1、x2，且x1＜x2∵－＝－，又－＜，f(x)f(x

5、)(xx)xxxx012121112xx221?∴當(dāng)0＜x1＜x2≤1或－1≤x1＜x2＜0時(shí)，有x1x2－1＜0，x1x2＞0，f(x1)＞f(x2)∴f(x)在(0，1]，[－1，0)上為減函數(shù)當(dāng)1≤x1＜x2或x1＜x2≤－1時(shí)，有x1x2－1＞0，x1x2＞0，f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在(－∞，－1]，[1，＋∞)上為增函數(shù)根據(jù)上面討論的單調(diào)區(qū)間的結(jié)果，又x＞0時(shí)，f(x)min＝f(1)＝2，當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)ma