反函數(shù)·例題解析

1、24反函數(shù)反函數(shù)例題解析例題解析【例1】求下列函數(shù)的反函數(shù)：(1)y(x)(2)yx2x3x(0]2＝≠－＝－＋，∈－∞，352112xx??(3)y(x0)(4)yx1(1x0)(0x1)＝≤＝－≤≤－＜≤112xx??????解(1)y(x)yy(2y3)xy5xy(x)∵＝≠－，∴≠，由＝得－＝－－，∴＝所求反函數(shù)為＝≠35211232352153253232xxxxyyyy????????解(2)∵y＝(x－1)2＋2，x∈(－

2、∞，0]其值域為y∈[2，＋∞)，由＝－＋≤，得－＝－，即＝－∴反函數(shù)為＝－，≥y(x1)2(x0)x1x1f(x)1(x2)21yyx????222解(3)y(x0)0y1yxf(x)(0x1)1∵＝≤，它的值域為＜≤，由＝得＝－，∴反函數(shù)為＝－＜≤11111122xxyyxx?????解(4)y(1x0)0y1f(x)x1(0x1)y(0x1)12由＝－≤≤，得值域≤≤，反函數(shù)＝－≤≤由＝－＜≤，xx??1得值域－≤＜，反函數(shù)＝－≤

3、＜，故所求反函數(shù)為＝－≤≤－≤＜1y0f(x)(1x0)yx1(0x1)x(1x0)1222??????x或解或解由f(x)＝f1(x)，那么函數(shù)f(x)與f1(x)的定義域和值域相同，定義域是x|x≠a，x∈R，值域y∈y|y≠3，y∈R，∴－a＝3即a＝－3【例4】已知函數(shù)＝＝中，、、、均不為零，yf(x)abcdaxbcxd??試求a、b、c、d滿足什么條件時，它的反函數(shù)仍是自身解f(x)bcad0f(x)x1＝＋，∵常數(shù)函數(shù)沒有

4、反函數(shù)，∴－≠又＝，要使＝，對定義域內(nèi)一切值恒成立，acbcadccxddxbcxadxbcxaaxbcxd???????????()令x＝0，得－a＝d，即a＋d＝0事實上，當(dāng)a＋d＝0時，必有f1(x)＝f(x)，因此所求的條件是bc－ad≠0，且a＋d＝0【例5】設(shè)點M(1，2)既在函數(shù)f(x)＝ax2＋b(x≥0)的圖像上，又在它的反函數(shù)圖像上，(1)求f1(x)，(2)證明f1(x)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)解證(1)2ab14ab

5、abf(x)x(x0)(2)yx(x0)f(x)(x)221由＝＋＝＋得＝－＝，∴＝－＋≥由＝－＋≥得反函數(shù)＝≤????????????1373137313737373x設(shè)＜≤，∴－＞－≥，∴＞，即＞，故在－∞，上是減函數(shù)xx73x73x0f(x)f(x)f(x)(]121211121737337312?????xxx【例6】解法一若函數(shù)＝，求的值先求函數(shù)＝的反函數(shù)＝，于是＝＝－－f(x)f(2)()f(x)f(x)f(2)532xxx