第二章 極限

1、第一節(jié)數(shù)列的極限教學(xué)目的：理解數(shù)列極限的概念、計(jì)算，為研究微積分作好工具準(zhǔn)備教學(xué)重點(diǎn)：數(shù)列的極限定義與計(jì)算教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)列極限概念的理解教學(xué)內(nèi)容：1.數(shù)列的極限極限概念是由于求某些實(shí)際問(wèn)題的精確解答而產(chǎn)生的。例如，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽（公元3世紀(jì)）利用圓內(nèi)接正多邊形來(lái)推算圓面積的方法——割圓術(shù)，就是極限思想在幾何學(xué)上的應(yīng)用。設(shè)有一圓，首先作內(nèi)接正六邊形，把它的面積記為；再作內(nèi)接正十二邊形，其面積1A記為；再作內(nèi)接正二十四邊形，其面積記為；循

2、此下去，每次邊數(shù)加倍，一般地把2A3A內(nèi)接正邊形的面積記為。這樣，就得到一系列內(nèi)接正多邊形的面積：126??n??NnAn?，，，，，，??nAAAA321它們構(gòu)成一列有次序的數(shù)。當(dāng)越大，內(nèi)接正多邊形與圓的差別就越小，從而以作為圓nnA面積的近似值也越精確。但是無(wú)論取得如何大，只要取定了，終究只是多邊形的面nnnA積，而還不是圓的面積。因此，設(shè)想無(wú)限增大（記為，讀作趨于無(wú)窮大），即內(nèi)??nn接正多邊形的邊數(shù)無(wú)限增加，在這個(gè)過(guò)程中，內(nèi)接正

3、多邊形無(wú)限接近于圓，同時(shí)也無(wú)限nA接近于某一確定的數(shù)值，這個(gè)確定的數(shù)值就理解為圓的面積。這個(gè)確定的數(shù)值在數(shù)學(xué)上稱為上面這列有次序的數(shù)（所謂數(shù)列）當(dāng)時(shí)的極限。在圓面，，，，，，??nAAAA321??n積問(wèn)題中我們看到，正是這個(gè)數(shù)列的極限才精確地表達(dá)了圓的面積。在解決實(shí)際問(wèn)題中逐漸形成的這種極限方法，已成為高等數(shù)學(xué)中的一種基本方法，因此有必要作進(jìn)一步的闡明。先說(shuō)明數(shù)列的概念。如果按照某一法則，有第一個(gè)數(shù)，第二個(gè)數(shù)，…這樣依次序1x2x排列

4、著，使得對(duì)應(yīng)著任何一個(gè)正整數(shù)有一個(gè)確定的數(shù)，那么，這列有次序的數(shù)nnx??，，，，，nxxxx321就叫做數(shù)列。數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的項(xiàng)，第項(xiàng)叫做數(shù)列的一般項(xiàng)。例如：nnx性質(zhì)1（極限的唯一性）數(shù)列不能收斂于兩個(gè)不同的極限。??nx性質(zhì)2（收斂數(shù)列的有界性）如果數(shù)列收斂，那么數(shù)列一定有界。??nx??nx性質(zhì)3（收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系）如果數(shù)列收斂于，那么它的任一子??nxa數(shù)列也收斂，且極限也是。a小結(jié)：本節(jié)講述了函數(shù)在各種趨