第三章-矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形與若干分解形式-1

1、第三章第三章矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形與若干分解形式矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形與若干分解形式1矩陣的相似對(duì)角形矩陣的相似對(duì)角形一、知識(shí)回顧1線(xiàn)性變換在兩組基下的矩陣相似，相似變換矩陣是兩組基下的過(guò)渡矩陣。2特征值與特征向量，特征子空間及其維數(shù)，特征值的代數(shù)重?cái)?shù)與幾何重?cái)?shù)。?V3矩陣與對(duì)角形相似的充要條件：有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量。4矩陣與對(duì)角形相似的充分條件：有n個(gè)不同的特征值。若為階矩陣，矩陣An???????????????????????nnnnnnaaaa

2、aaaaaAE??????????212222111211稱(chēng)為的特征矩陣。又多項(xiàng)式AnininnaaaAEf?????????????????11||)(稱(chēng)為的特征多項(xiàng)式，這里，，是的所有階主AAaaniii??????11tr||)1(Aann??iaAi子式的和與的乘積。叫的跡。i)1(?AtrA屬于矩陣的同一個(gè)特征值的所有特征向量連同零向量一起，構(gòu)成一個(gè)線(xiàn)性空間A0?，稱(chēng)為的特征子空間。特征子空間的維數(shù)不超過(guò)特征根的重?cái)?shù)。0?VA

3、0?V0?二、尋找矩陣的相似對(duì)角形的方法例31研究下列矩陣是否能與對(duì)角形相似(1)，(2)，(3)。??????????????121101365A???????????122212221A???????????????284014013A提示：(1)；31312321????????；??????????????????????????????????????32133213011321xxx式。三個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式可定義為)()(

4、)(???hgf))()()((???hgf))())()(((???hgf1行列式因子設(shè)，是的特征矩陣，記為。nnijCaA???)(AE??A)(?A定義定義3－2中所有非零的階子式的首項(xiàng)（最高次項(xiàng)）系數(shù)為1的最大公因式)(?Ak稱(chēng)為的一個(gè)階行列式因子（）。)(?kD)(?Aknk21??，并且（）。||)(AEDn????)(|)(1??kkDD?nk32??例3－3求下列矩陣的特征矩陣的行列式因子：（1）；（2）????????

5、????211A?????????????aaA11???2不變因子，初等因子定義定義3－3下列個(gè)多項(xiàng)式n，，，…，)()(11??Dd?)()()(122???DDd?)()()(233???DDd?)()()(1?????nnnDDd稱(chēng)為的不變因子。把每個(gè)次數(shù)大于零的不變因子分解為互不相同的一次因式的方冪的)(?A乘積，所有這些一次因式的方冪（相同的必須按出現(xiàn)次數(shù)計(jì)算），稱(chēng)為的初等因子。)(?A由于這里的完全由決定，所以這里的不變因