第4講--利用軸對稱破解最短路徑問題

1、第一章第一章平移、對稱與旋轉(zhuǎn)平移、對稱與旋轉(zhuǎn)第4講利用軸對稱破解最短路徑問題一、學(xué)習(xí)目標(biāo)一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解“直線上同一側(cè)兩點(diǎn)與此直線上一動點(diǎn)距離和最小”問題通過軸對稱的性質(zhì)與作圖轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問題求解。2.能將實(shí)際問題或幾何問題（對稱背景圖）中有關(guān)最短路徑（線段之差最大值）問題借助軸對稱轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間，線段最短問題分析與求解。二、基礎(chǔ)知識二、基礎(chǔ)知識輕松學(xué)輕松學(xué)與軸對稱有關(guān)的最短路徑問題與軸對稱有關(guān)的最短路徑問題關(guān)于最短

2、距離，我們有下面幾個相應(yīng)的結(jié)論：（1）在連接兩點(diǎn)的所有線中，線段最短（兩點(diǎn)之間，線段最短）；（2）三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；（3）在三角形中，大角對大邊，小角對小邊。（4）垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等；【精講精講】一般說來，線段和最短的問題，往往把幾條線段連接成一條線段，利用“兩點(diǎn)之間線段最短”或者“三角形兩邊之和大于第三邊”加以證明，關(guān)鍵是找相關(guān)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)實(shí)現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”。另外，在平移線段的時

3、候，一般要用到平行四邊形的判定和性質(zhì)。（判定：如果一個四邊形的一組對邊平行且相等，那么這個四邊形是平行四邊形；性質(zhì)：平行四邊形的對邊相等。）三、重難疑點(diǎn)三、重難疑點(diǎn)輕松破輕松破最短路徑問題最短路徑問題在平面圖形中要解決最短路徑問題，自然離不開構(gòu)建與轉(zhuǎn)化“兩點(diǎn)之間，線段最短”的數(shù)學(xué)公理，通常將涉及到的兩點(diǎn)中的任一點(diǎn)作出關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，從而運(yùn)用兩點(diǎn)之間，線段最短解決實(shí)際問題在日常生活、工作中，經(jīng)常會遇到有關(guān)行程路線的問題?！白疃搪窂絾栴}”

4、的原型來自于“飲馬問題”、“造橋選址問題”，出題通常以直線、角、等腰（邊）三角形、長方形、正方形、坐標(biāo)軸等對稱圖形為背景。（1）“一線同側(cè)兩點(diǎn)一線同側(cè)兩點(diǎn)”問題問題例1如圖，點(diǎn)A、B在直線m的同側(cè)，點(diǎn)B′是點(diǎn)B關(guān)于m的對稱點(diǎn)，AB′交m于點(diǎn)P（1）AB′與APPB相等嗎？為什么？轉(zhuǎn)化，即用與它相等的線段替代，從而轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)之間線段最短的問題此類題往往需要利用對稱性、平行四邊形的相關(guān)知識進(jìn)行轉(zhuǎn)化，以后還會學(xué)習(xí)一些線段轉(zhuǎn)化的方法變式2如圖，

5、兩個村莊A和B被一條河隔開，現(xiàn)要在河上架設(shè)一座橋CD請你為兩村設(shè)計橋址，使由A村到B村的距離最?。俣▋珊影秏、n是平行的，且橋要與河垂直）要求寫出作法，并說明理由（3）“一點(diǎn)兩線（相交）一點(diǎn)兩線（相交）”解決周長最短問題解決周長最短問題例3：如圖所示，∠ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，在BA、BC邊上各取一點(diǎn)P1、P2，使△PP1P2的周長最小解析：依據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可分別作點(diǎn)P關(guān)于AB，AC的對稱點(diǎn)，如圖，以BC為對稱軸作P的對稱點(diǎn)M，以BA

6、為對稱軸作出P的對稱點(diǎn)N，連MN交BA、BC于點(diǎn)P1、P2∴△PP1P2為所求作三角形點(diǎn)評：解題關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化“直線上同一側(cè)兩點(diǎn)與此直線上一動點(diǎn)距離和最小”問題（將軍飲馬問題），其核心是化折為直（兩點(diǎn)之間線段最短）的思想，轉(zhuǎn)化技巧是能夠運(yùn)用軸對稱性質(zhì)及作圖求解問題變式3城關(guān)中學(xué)八（2）班舉行文藝晚會，桌子擺成兩直條（如圖中的AO，BO），AO桌面上擺滿了桔子，OB桌面上擺滿了糖果，站在C處的學(xué)生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C處，請你在下圖