利用軸對(duì)稱求最短距離問題

1、利用軸對(duì)稱求最短距離問題利用軸對(duì)稱求最短距離問題基本題引入基本題引入:如圖（1），要在公路道a上修建一個(gè)加油站，有Ａ，Ｂ兩人要去加油站加油。加油站修在公路道的什么地方，可使兩人到加油站的總路程最短？你可以在a上找?guī)讉€(gè)點(diǎn)試一試能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律aAB圖1ABaA′M圖2ABaA′MN圖3思路分析：思路分析：如圖2，我們可以把公路a近似看成一條直線，問題就是要在a上找一點(diǎn)M，使AM與BM的和最小。設(shè)A′是A的對(duì)稱點(diǎn)，本問題也就是要使A′M與BM

2、的和最小。在連接A′B的線中，線段A′B最短。因此，線段A′B與直線a的交點(diǎn)C的位置即為所求。如圖3，為了證明點(diǎn)C的位置即為所求，我們不妨在直線a上另外任取一點(diǎn)N，連接AN、BN、A′N。因?yàn)橹本€a是A，A′的對(duì)稱軸，點(diǎn)MN在a上，所以AM=A′MAN=A′N?！郃MBM=A′MBM=A′B在△A′BN中，∵A′B＜A′NBN∴AMBM＜ANBN即AMBM最小。點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：經(jīng)過復(fù)習(xí)學(xué)生恍然大悟、面露微笑，不一會(huì)不少學(xué)生就利用軸對(duì)稱知識(shí)將

3、上一道中考題解決了。思路如下：②∵BC＝9（定值），∴△PBC的周長(zhǎng)最小，就是PB＋PC最小.由題意可知，點(diǎn)C關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)A，顯然當(dāng)P、A、B三點(diǎn)共線時(shí)PB＋PA最小.此時(shí)DP＝DE，PB＋PA＝AB.由∠ADF＝∠FAE，∠DFA＝∠ACB＝90，得△DAF∽△ABC.EF∥BC，得AE＝BE＝AB＝，EF＝.∴AF∶BC＝AD∶AB，即6∶9＝AD∶15.∴AD＝10.1215292Rt△ADF中，AD＝10，AF＝6，

4、∴DF＝8.∴DE＝DF＋FE＝8＋＝.∴當(dāng)x＝時(shí)，△92252252PBC的周長(zhǎng)最小，y值略。hAB第5題圖1四、圓中的對(duì)稱四、圓中的對(duì)稱題目題目4已知：如圖，已知點(diǎn)已知：如圖，已知點(diǎn)A是⊙O⊙O上的一個(gè)六等分點(diǎn)，點(diǎn)上的一個(gè)六等分點(diǎn)，點(diǎn)B是弧是弧ANAN的中點(diǎn)，點(diǎn)的中點(diǎn)，點(diǎn)P是半徑半徑ONON上的動(dòng)點(diǎn)，若上的動(dòng)點(diǎn)，若⊙O⊙O的半徑長(zhǎng)為的半徑長(zhǎng)為1，求，求APBPAPBP的最小值。的最小值。點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：這道題也運(yùn)用了圓的對(duì)稱性這一特殊性

5、質(zhì)。點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)B′在圓上，AB′交ON于點(diǎn)p′由∠AON﹦60∠B′ON﹦30，∠AOB′﹦90，半徑長(zhǎng)為1可得AB′﹦。當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)p′時(shí)，此時(shí)APBP有最小值為22五、立體圖形中的對(duì)稱五、立體圖形中的對(duì)稱題目題目5如圖如圖1是一個(gè)沒有上蓋的圓柱形食品盒，一只螞蟻在盒外表面的是一個(gè)沒有上蓋的圓柱形食品盒，一只螞蟻在盒外表面的A處，它想吃處，它想吃到盒內(nèi)表面對(duì)側(cè)中點(diǎn)到盒內(nèi)表面對(duì)側(cè)中點(diǎn)B處的食物，已知盒高處的食物，已知盒高h(yuǎn)＝10cm

6、10cm，底面圓的周長(zhǎng)為，底面圓的周長(zhǎng)為32cm32cm，A距離下底距離下底面3cm3cm請(qǐng)你幫小螞蟻算一算，為了吃到食物，它爬行的最短路程為請(qǐng)你幫小螞蟻算一算，為了吃到食物，它爬行的最短路程為cmcm點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：如圖2，此題是一道立體圖形問題需要轉(zhuǎn)化成平面問題來解決，將圓柱的側(cè)面展開得矩形EFGH作出點(diǎn)B關(guān)于EH的對(duì)稱點(diǎn)B′作AC⊥GH于點(diǎn)C連接AB′。在Rt△AB′C中，AC﹦16B′C﹦12求得AB′﹦20，則螞蟻爬行的最短路程為