初中數(shù)學(xué)《最短路徑問(wèn)題》典型題型復(fù)習(xí)

1、1初中數(shù)學(xué)初中數(shù)學(xué)《最短路徑問(wèn)題最短路徑問(wèn)題》典型題型典型題型知識(shí)點(diǎn)：“兩點(diǎn)之間線段最短”，“垂線段最短”，“點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱(chēng)”，“線段的平移”?！帮嬹R問(wèn)題”，“造橋選址問(wèn)題”?？嫉妮^多的還是“飲馬問(wèn)題”，出題背景變式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圓、坐標(biāo)軸、拋物線等。解題總思路：找點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)實(shí)現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”，近兩年出現(xiàn)“三折線”轉(zhuǎn)“直”等變式問(wèn)題考查。一、兩點(diǎn)在一條直線異側(cè)一、兩點(diǎn)在一條直線異側(cè)例：已知：如圖，A，B在直

2、線L的兩側(cè)，在L上求一點(diǎn)P，使得PAPB最小。解：連接AB線段AB與直線L的交點(diǎn)P，就是所求。（根據(jù)：兩點(diǎn)之間線段最短.）二、二、兩點(diǎn)在一條直線同側(cè)兩點(diǎn)在一條直線同側(cè)例：圖所示，要在街道旁修建一個(gè)奶站，向居民區(qū)A、B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使從A、B到它的距離之和最短解：只有A、C、B在一直線上時(shí)，才能使ACACBCBC最小作點(diǎn)A關(guān)于直線“街道”的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，然后連接A′B，交“街道”于點(diǎn)C，則點(diǎn)C就是所求的點(diǎn)三、一點(diǎn)在兩相交

3、直線內(nèi)部三、一點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部例：已知：如圖A是銳角∠MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，使三角形周長(zhǎng)最小.解：分別作點(diǎn)A關(guān)于OM，ON的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，A″；連接A′，A″，分別交OM，ON于點(diǎn)B、點(diǎn)C，則點(diǎn)B、點(diǎn)C即為所求分析：當(dāng)AB、BC和AC三條邊的長(zhǎng)度恰好能夠體現(xiàn)在一條直線上時(shí)，三角形的周長(zhǎng)最小例：如圖，A.B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上建一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMN

4、B最短？（假設(shè)河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）解：1.將點(diǎn)B沿垂直與河岸的方向平移一個(gè)河寬到E，2.連接AE交河對(duì)岸與點(diǎn)MABMNE3四、點(diǎn)四、點(diǎn)在圓柱中可將其側(cè)面展開(kāi)求出最短路程在圓柱中可將其側(cè)面展開(kāi)求出最短路程將圓柱側(cè)面展成長(zhǎng)方形，圓柱體展開(kāi)的底面周長(zhǎng)是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，圓柱的高是長(zhǎng)方形的寬可求出最短路程例：如圖所示，是一個(gè)圓柱體，ABCD是它的一個(gè)橫截面，AB=，BC=3，一只螞蟻，要從A點(diǎn)爬行到C點(diǎn)，那么，最近的路程長(zhǎng)為（）A7B

5、CD5分析：要求螞蟻爬行的最短距離，需將圓柱的側(cè)面展開(kāi)，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果解：將圓柱體展開(kāi)，連接A、C，∵==?π?=4，BC=3，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，AC==5故選D五、在長(zhǎng)方體（正方體）中，求最短路程五、在長(zhǎng)方體（正方體）中，求最短路程1）將右側(cè)面展開(kāi)與下底面在同一平面內(nèi)，求得其路程2）將前表面展開(kāi)與上表面在同一平面內(nèi)，求得其路程3）將上表面展開(kāi)與左側(cè)面在同一平面內(nèi)，求得其路程了然后進(jìn)行比較大小，即可得到最短路程

6、.例：有一長(zhǎng)、寬、高分別是5cm，4cm，3cm的長(zhǎng)方體木塊，一只螞蟻要從長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)A處沿長(zhǎng)方體的表面爬到長(zhǎng)方體上和A相對(duì)的頂點(diǎn)B處，則需要爬行的最短路徑長(zhǎng)為（）A5cmBcmC4cmD3cm分析：把此長(zhǎng)方體的一面展開(kāi)，在平面內(nèi)，兩點(diǎn)之間線段最短利用勾股定理求點(diǎn)A和B點(diǎn)間的線段長(zhǎng)，即可得到螞蟻爬行的最短距離在直角三角形中，一條直角邊長(zhǎng)等于長(zhǎng)方體的高，另一條直角邊長(zhǎng)等于長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬之和，利用勾股定理可求得解：因?yàn)槠矫嬲归_(kāi)圖不唯一，故

7、分情況分別計(jì)算，進(jìn)行大、小比較，再?gòu)母鱾€(gè)路線中確定最短的路線（1）展開(kāi)前面、右面，由勾股定理得AB2=（54）232=90；（2）展開(kāi)前面、上面，由勾股定理得AB2=（34）252=74；（3）展開(kāi)左面、上面，由勾股定理得AB2=（35）242=80；所以最短路徑長(zhǎng)為cm例：如圖是一個(gè)長(zhǎng)4m，寬3m，高2m的有蓋倉(cāng)庫(kù)，在其內(nèi)壁的A處（長(zhǎng)的四等分）有一只壁虎，B處（寬的三等分）有一只蚊子，則壁虎爬到蚊子處最短距離為（）A4.8BC5D分析