奧數(shù)遞推方法含答案

1、第十四講第十四講遞推方法遞推方法遞推方法是人們從開始認(rèn)識數(shù)量關(guān)系時就很自然地產(chǎn)生的一種推理思想.例如自然數(shù)中最小的數(shù)是1，比1大1的數(shù)是2，接下來比2大1的數(shù)是3，…由此得到了自然數(shù)數(shù)列：1，2，3，4，5，….在這里實(shí)際上就有了一個遞推公式，假設(shè)第n個數(shù)為an，則an1=an1即由自然數(shù)中第n個數(shù)加上1，就是第n1個數(shù)。由此可得an＋2=an＋1＋1，這樣就可以得到自然數(shù)數(shù)列中任何一個數(shù)再看一個例子：例1平面上5條直線最多能把圓的內(nèi)部

2、分成幾部分？平面上100條直線最多能把圓的內(nèi)部分成幾部分？假設(shè)用ak表示k條直線最多能把圓的內(nèi)部分成的部分?jǐn)?shù).這里k＝0，1，2，….如圖可見。a0＝1a1=a01＝2a2=a1＋2=4a3=a2＋3=7a4=a34＝11撥開問題的一些表面現(xiàn)象由簡到繁地歸納出問題的遞推公式就行了，不要求嚴(yán)格證明.當(dāng)然能證明更好.所謂證明，就是要嚴(yán)格推出你建立的關(guān)系式適合所有的n，有時，僅僅在前面幾項(xiàng)成立的關(guān)系式，不一定當(dāng)n較大時也成立。例2平面上10個

3、兩兩相交的圓最多能將平面分割成多少個區(qū)域？平面上1993個圓最多能將平面分割成多少個區(qū)域？解：設(shè)平面上k個圓最多能將平面分割成ak部分.我們先“退”到最簡單的情形.如圖可見a1=2，a2=4＝2＋21，a3＝8=4＋22，a4=14=823，…an=an12（n1）.（3）（3）是這個問題的遞推公式.再把它變形為當(dāng)n較大時也能方便求出結(jié)果的公式：an＝an12（n1）＝an22[（n2）（n1）]＝an3＋2[（n3）（n2）（n1）]