初一競賽講座13（角的認識）

1、初一數(shù)學(xué)競賽系列講座(13)角的認識一、一、知識要點具有公共端點的兩條射線所成的圖形稱為角。與角有關(guān)的基本概念有：周角，平角，直角，銳角，鈍角，對頂角等。二、二、例題精講例1例1如圖，已知O是直線AC上一點，OB是一條射線，OD平分?AOD，OE在?BOC內(nèi)，?BOE＝21?EOC，?DOE＝70，求?EOC的度數(shù)。分析：易得?EOC＝32?BOC，而?BOC?AOB＝180，結(jié)合OD平分?AOB，可作?BOC平分線，結(jié)合?DOE可求出

2、?BOC，從而求?EOC的度數(shù)解：作?BOC平分線OF，則?BOF＝?COF＝21?BOC∵OD平分?AOB∴?AOD＝?DOB＝21?AOB又∵?BOC?AOB＝180∴?DOB?BOF＝90即?DOF＝90∴?EOF＝?DOF?DOE＝20又∵?EOF＝?BOF?BOE而?BOF＝21?BOC，?BOE＝31?BOC∴?EOF＝21?BOC31?BOC＝61?BOC∴?BOC＝6?EOF＝120∴?EOC＝32?BOC＝32120＝

3、80即?EOC＝80例2例2一個銳角的余角的補角與這個銳角的差是（）A銳角B直角C鈍角D不能確定分析：設(shè)該銳角為?，它的余角（90?）的補角?應(yīng)為180（90?）＝90?，?與?的差（90?）?＝90故選BACOBDEFA1oA2A10于從十條射線OA1，OA2，…，OA10中選出兩條配成的對數(shù)。共有987654321＝45對，所以圖中以O(shè)為頂點以這些射線為邊、角度小于平角的角共有45個。評注：在數(shù)圖形的角的總數(shù)時，和數(shù)線段一樣，關(guān)鍵仍

4、是做到不重不漏，因此，必須按照一定的規(guī)律去數(shù)。解法二：也可化為數(shù)線段的問題。如圖作一直線，分別交OA1，OA2，…，OA10于A1，A2，…，A10，則每一個角對應(yīng)于A1A10上的某一條線段。反過來，A1A10上的每一條線段又對應(yīng)于某一個角，如∠A4OA6，它對應(yīng)線段A4A6，而線段A4A6恰好對應(yīng)線段于∠A4OA6，因此，要數(shù)圖中角的個數(shù)，只要數(shù)A1A10上的線段數(shù)即可，而A1A10上的線段數(shù)有987654321＝45條因此，圖中共有

5、45個角例7例7求證：成對頂角的兩個角的平分線，在一直線上。證明：如圖，AB、CD相交于O，則?AOC與?BOD成對頂角。設(shè)OE、OF分別為?AOC、?BOD的平分線，∵?AOE=21?AOC?BOF=21?BOD且?AOC=?BOD∴?AOE=?BOF又∵?BOF?FOD?DOA=180∴?AOE?FOD?DOA=180即?EOF=180∴OE、OF在同一直線上。評注：與對頂角有關(guān)的問題比較多，解這類題時，主要運用對頂角的定義來解題例

6、8例8已知：直角?AOB，以點O為端點在?AOB的內(nèi)部畫出1995條射線，以O(shè)A、OB及這些射線為邊的銳角的個數(shù)是多少？解：設(shè)以O(shè)為端點在?AOB的內(nèi)部畫出的1995條射線逆時針方向分別為射線OP1，OP2，OP3…，OP1995則以O(shè)A為始邊，逆時針方向旋轉(zhuǎn)，形成1995個銳角（終邊分別為射線OP1，OP2，OP3…，OP1995）以O(shè)P1為始邊，逆時針方向旋轉(zhuǎn)，形成1995個銳角（終邊分別為射線OP2，OP3，…，OP1995，OB