07--第七講--矩陣的三角分解

1、第七講第七講矩陣的三角分解矩陣的三角分解一、一、GaussGauss消元法的矩陣形式消元法的矩陣形式n元線(xiàn)性方程組元線(xiàn)性方程組???????????1111221nn12112222nn2n11n22nnnnaξaξaξ=baξaξaξ=baξaξaξ=b?Ax=b????????????ijT12nT12nA=(a)x=[ξξξ]b=[bbb]設(shè)設(shè)A的k階順序主子式為階順序主子式為，若，若，可，可??0ijnnA=A=akΔ(0)11

2、1Δ=a≠0以令以令(0)i1i1(0)11ac=a并構(gòu)造并構(gòu)造FrobeniusFrobenius矩陣矩陣??????????????211n1nn10c1L=c01???????????????2111n110c1L=c01計(jì)算可得計(jì)算可得??????????????????(0)(0)(0)11121n(1)(1)(1)1(0)222n1(1)(1)n2nnaaaaaA=LA=0aa?(0)(1)1A=LA該初等變換不改變行列式，

3、故該初等變換不改變行列式，故，若，若，則，則，(0)(1)21122Δ=aa2Δ≠0(1)22a≠0又可定義又可定義，并構(gòu)造，并構(gòu)造FrobeniusFrobenius矩陣矩陣?(1)i2i2(1)22ac=(i=34n)a???????????????????????????????(0)(0)(0)(0)111r1r11n(r1)(r1)(r1)(r)1r1rrrr1rnr(r)(r)r1r1r1n(r)(r)nr1nnaaaaaa

4、aA=LA=aaaa?(r1)(r)rA=LA（r＝2323n1n1）?直到第（直到第（n－1）步，得到）步，得到則完成了消元的過(guò)程則完成了消元的過(guò)程????????????????(0)(0)(0)11121n(1)(1)(n1)222nn1nnaaaaaA=a而消元法能進(jìn)行下去的條件是而消元法能進(jìn)行下去的條件是（r＝1212n1n1）rΔ≠0?二、二、LULU分解與分解與LDULDU分解分解?(0)(1)(2)(n1)112123n

5、1A=A=LA=LLA=L=LLLLA容易求出容易求出為下三角矩陣為下三角矩陣??????????????????2112n1n11n12n1n2nn11c1L=LLLL=cc1ccc1令為上三角矩陣，則為上三角矩陣，則(n1)U=A（L:L:lowerlowerU:U:upperupperL:L:leftleftR:R:rightright）A=LU以上將以上將A分解成一個(gè)單位下三角矩陣與上三角矩陣的乘積，就分解成一個(gè)單位下三角矩陣與