三角矩陣

1、三角矩陣三角矩陣在線性代數(shù)中，三角矩陣三角矩陣是方形矩陣的一種，因其非零系數(shù)的排列呈三角形狀而得名。三角矩陣分上三角矩陣上三角矩陣和下三角矩陣下三角矩陣兩種。上三角矩陣的對角線左下方的系數(shù)全部為零，下三角矩陣的對角線右上方的系數(shù)全部為零。三角矩陣可以看做是一般方陣的一種簡化情形。比如，由于帶三角矩陣的矩陣方程容易求解，在解多元線性方程組時，總是將其系數(shù)矩陣通過初等變換化為三角矩陣來求解；又如三角矩陣的行列式就是其對角線上元素的乘積，很容

2、易計算。有鑒于此，在數(shù)值分析等分支中三角矩陣十分重要。一個可逆矩陣A可以通過LU分解變成一個下三角矩陣L與一個上三角矩陣U的乘積。描述描述一個如下形狀的矩陣：被稱為下三角矩陣下三角矩陣；同樣的，一個如下形狀的矩陣：被稱為上三角矩陣上三角矩陣。上（下）三角矩陣乘以系數(shù)后也是上（下）三角矩陣；上（下）三角矩陣間的加減法和乘法運算的結(jié)果仍是上（下）三角矩陣；上（下）三角矩陣的逆也仍然是上（下）三角矩陣。這些事實說明：所有上（下）三角矩陣的集合

3、以及相應(yīng)的運算構(gòu)成一個方形矩陣集合的一個子代數(shù)。然而要注意的是上三角矩陣與下三角矩陣的乘積一般并不是三角矩陣。特殊的三角矩陣特殊的三角矩陣嚴(yán)格三角矩陣嚴(yán)格三角矩陣即是說一個高斯矩陣的逆是將其非對角線上元素加上負(fù)號后得到的矩陣。性質(zhì)性質(zhì)一個同時是上三角矩陣和下三角矩陣的矩陣必然是對角矩陣。單位矩陣是唯一同時為單位上三角矩陣和單位下三角矩陣的矩陣。分別計算乘積AA與AA的系數(shù)并進行比較后就可以發(fā)現(xiàn)：一個同時為三角矩陣和正規(guī)矩陣的矩陣也必然是

4、對角矩陣（因為正規(guī)矩陣滿足AA=AA）。上三角矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣是下三角矩陣，反之亦然。三角矩陣的行列式等于其對角線上所有元素之乘積。對于三角矩陣A，其特征多項式xI?A也是三角矩陣。三角矩陣的對角線元素的集合實際上是它的特征值的集合（其重數(shù)為在特征多項式中的重數(shù)）[1]。矩陣的三角化矩陣的三角化每個復(fù)系數(shù)矩陣都與一個三角矩陣相似[1]。實際上，如果矩陣A的特征值都包含于其系數(shù)域中（比如一個代數(shù)閉域），那么A相似于一個三角矩陣。這個性質(zhì)可以

5、用歸納法證明。一個更進一步的結(jié)論是由若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形定理得出，說明了A實際上相似于一個十分特別的上三角矩陣（若爾當(dāng)形）[1][2]。在復(fù)系數(shù)的情況下，每個方陣A都有一個舒爾分解，即A酉相似（即在酉矩陣的基變換下）于一個上三角矩陣。求三角矩陣的逆比求一般矩陣的逆要簡單很多，可以直接逐個元素算出，而不必用高斯消去法。一般用L來做下三角矩陣的記號，因為英文中的“下”為“Lower”，首字母為L。同樣的，上三角矩陣的記號通常是U。推廣推廣上三角矩陣