第六章 空間力系 重心

1、第六章 空間力系 重心,§6-1 工程中的空間力系問題,§6-2 力在空間坐標(biāo)軸上的投影,§6-4 空間力系的平衡方程,§6-5 重心的概念,§6-3 力對點之矩和力對軸之矩,§6-6 重心坐標(biāo)公式,§6-7 物體重心的求法,§6-1 工程中的空間力系問題,一、空間力系的概念,不能簡化到某個平面的力系。,二、空間力系分類,§6

2、-2 力在空間坐標(biāo)軸上的投影,一、直接投影法,設(shè)α、β、γ分別為力F與x軸、y軸、z軸正向夾角，則F在坐標(biāo)軸上的投影：,O,若已知力F的投影，則力F的大小和方向：,二、間接投影法,O,若已知力F的投影，則力F的大小和方向：,,§ 6-3　力對點之矩和力對軸之矩,一、力對點之矩,mO(F) = r×F,力矩是(定位于矩心的)定位矢量，其方向由右手螺旋定則確定。,設(shè)r=xi+yj+zk，F(xiàn)=Fxi+Fyj+Fzk，,則

3、,mO(F) 在坐標(biāo)軸上的投影為：,二、力對軸之矩,概念 力F對z軸之矩等于其在垂直于z軸的平面上的分力Fxy對z軸與此平面的交點O之矩。,Oxy平面中Fxy對點O之矩就是空間中Fxy對通過O點且與Oxy平面垂直的z軸之矩。,在空間坐標(biāo)系Oxyz中，設(shè)作用于點A(x,y,z)的力F在平行于z軸的方向和平面Oxy上的分力為Fz、Fxy，即：,,,因力對與其共面(平行、共線或相交)的軸之矩為零，故F對z軸之矩等于Fxy對z軸之矩，即：,將

4、Fxy分解，即：,由平面一般力系合力矩定理知：,故,,同理：,符號規(guī)定面對選定的坐標(biāo)軸正向，繞該軸逆時針轉(zhuǎn)的力矩為正值，順時針轉(zhuǎn)的力矩為負(fù)值。,+,-,+,-,+,-,視線,視線,視線,§6-4 空間力系平衡 方程,一、空間一般力系的簡化,利用力的平移原理，空間力系Fi向簡化中心O平移，得到一匯交于O點的空間匯交力系Fi‘和矩為mi的空間力偶系?？蓪i’合成為一個合力R‘ ，將力偶系合成為一對矩為MO的合力偶。,——原力

5、系Fi的主矢(矢量)，與簡化中心無關(guān)。,——原力系Fi對簡化中心O點的主矩(矢量)，一般與簡化中心位置有關(guān)。,結(jié)論：空間一般力系向任意一點O簡化，可得到一個力和一對力偶。該力為原力系的主矢，作用線通過簡化中心；該力偶的矩矢等于該力系對簡化中心的主矩。,在以簡化中心O為原點的空間直角坐標(biāo)系中，主矢和主矩的解析表達(dá)式(投影)為：,主矢：,——主矢在坐標(biāo)軸上的投影等于各分力對同一軸之投影的代數(shù)和。,主矩：,——主矩在坐標(biāo)軸上的投影等于各分力對

6、該軸之力偶矩的代數(shù)和。,二、合力矩定理,空間力系Fi的合力R對某一軸之矩等于力系中各分力Fi對同一軸之矩的代數(shù)和。即：,顯然，上式亦為空間力系的主矩在坐標(biāo)軸上的投影。,【例6-1】設(shè)空間力系Fi的作用點在各自箭頭的起點，分布在邊長為a的正方體上且邊長代表的力大小為Fa。,【解】1)求合力R在坐標(biāo)軸上的投影,,,O,,,,,,,,求：1）Fi的合力R在坐標(biāo)軸上的投影；,2）R的大小及方向；,3）R對各坐標(biāo)軸之矩；,,,,,,,,3）求R對

7、各坐標(biāo)軸之矩,由合力矩定理知：,2）求R的大小及方向,設(shè)R與x軸正向、 y軸正向、 z軸正向的夾角分別為α、β、γ。則：,三、空間力系平衡的充要條件,力系中諸力在坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和為零，對各軸之矩代數(shù)和為零。,四、空間一般力系的平衡方程,——力平衡,——力矩平衡,五、注意事項,空間一般力系平衡方程數(shù)為6個，只能運用該方程求解6個未知量，若未知量超過6個，則為超靜定問題。,平面一般力系是空間一般力系的特例。即：,其平衡方程為：,——僅

8、可能求3個未知數(shù),空間平行力系是空間一般力系的特例。即：,平衡方程為：,——僅可能求3個未知數(shù),空間匯交（共點）力系只能列出三個力投影方程，只能求解三個未知數(shù)。,2.注意事項,三個投影軸可以不相互垂直，但三軸不能共面，任意二軸不能平行；,三個力矩軸可不相交，可不互相垂直。若用力矩方程也能保證合力為零，則可用力矩方程代替力投影方程。,若所選的力矩軸與未知力平行或通過幾個未知力(或力的作用線)交點，則可使平衡方程中的未知數(shù)的數(shù)量減少。,六、

9、空間一般力系平衡方程的應(yīng)用,1.解題步驟,選既含已知又含未知力的研究對象作受力分析；,根據(jù)力系特征，列相應(yīng)的平衡方程；,3)求解。,【解】1)對整體作受力分析。,2)列平衡方程：,3)求解：,3.例題,【例6-2】圖示結(jié)構(gòu)中A、B、C、D均為球鉸鏈連接，W=10kN。不計桿自重，求A、B、C處約束反力。,,,,,,,,,,,,x,y,z,A,B,C,D,O,15º,30º,45º,45º,,【例6

10、-3】勻質(zhì)等厚度圓盤重為W，在其周邊3點用鉛垂細(xì)線懸掛在水平位置，已知φ1=90º，φ2=150º。求3根線的拉力。,,W,,,,,,,,,x,y,z,φ1,φ2,O,【解】1)設(shè)3根繩子的拉力分別為FA、FB、FC，對圓盤作受力分析。,2)列平衡方程：,3)求解：,,,,,【例6-4】不計桿件和圓盤自重，求圖示結(jié)構(gòu)中夾緊端A處的約束反力。,y,l,,l,l,P,z,x,,,,,,,,,,,,,,D,,【解】1)對結(jié)

11、構(gòu)作受力分析。,2)列平衡方程：,3)求解：,FA=P，mAx=-Pl，mAy=P(l-D/2),A,【例6-5】 轉(zhuǎn)軸輪上皮帶拉力T2=2T1，P=2kN，轉(zhuǎn)輪直徑D=40cm，l=20cm，R=30cm，α=30°。求皮帶拉力和軸承A、B的約束反力。,【解】1)對轉(zhuǎn)軸作受力分析,2)轉(zhuǎn)軸上所有力的投影和對各軸之矩列表,0,0,2FBzl,FBz,0,-2FBxl,0,0,0,FBx,0,0,0,FAz,0,0,0,0,0,

12、FAx,-3T2lsinα,-T2D/2,-3T2lcosα,-T2cosα,T2sinα,-3T1lsinα,T1D/2,-3T1lcosα,-T1cosα,T1sinα,0,PR,-Pl,-P,0,3)列平衡方程,4)求解,【例6-6】齒輪傳動軸大、小齒輪節(jié)圓直徑滿足D=2d，兩齒輪都是直齒，壓力角α＝20º。大齒輪上的主動力R1＝2000N，求該傳動軸勻速轉(zhuǎn)動時小齒輪上的約束反力R2及A、B軸承的約束反力。,【解】1)對

13、傳動軸作受力分析。,2)列平衡方程：,3)求解：,【例6-7】圖示結(jié)構(gòu)中，均質(zhì)桿AB、BC重分別為W1、W2，在B點用球鉸連接并靠在光滑鉛垂墻面，A、C點用球鉸與水平面連接，墻面與AC平行。求A、B、C處約束反力。,【解】1)對結(jié)構(gòu)作受力分析。,2)選整體為研究對象，其平衡方程為：,3)選AB桿為研究對象，其平衡方程為：,4)求解得：,,§6-5 重心的概念,重心可看成是平行力系中心的一個特例，是平行力系合力的作用點。,重心

14、：作用于物體上各質(zhì)點的重力可近似地看成是一個平行力系，此平行力系的中心即為重心。,§6-6 重心坐標(biāo)公式,一、重心坐標(biāo)一般公式,將物體分成n個微單元體，設(shè)各微單元體重為ΔWi，其重心坐標(biāo)為(xiC，yiC，ziC)，物體總重為W，重心坐標(biāo)為(xC，yC，zC)。,,,ΔWi(xiC,yiC,ziC),,W (xC,yC,zC),,,,,,,,xC,yC,yiC,ziC,zC,,xiC,O,由于重心位置不隨各力繞其各自作用點轉(zhuǎn)

15、動相同角度而改變，可將物體和坐標(biāo)系繞x軸逆時針轉(zhuǎn)90º。,,,,,由合力矩定理得：,若物體處于均勻重力場中，,即,則得物體的質(zhì)心坐標(biāo)：,二、重心坐標(biāo)精確公式,當(dāng)n→∞即無限細(xì)分時，則每塊的重力大小ΔWi →0 ，得重心坐標(biāo)的精確公式：,,若物體處于均勻重力場中，質(zhì)心坐標(biāo)的精確公式：,三、均質(zhì)物體的重心,均勻重力場中均勻物體重度γ為常數(shù)，即 ，則重心就是物體的形心。,1.體積形心,一般公式

16、,精確公式,2.薄殼的形心,對于均質(zhì)薄板，其厚度h為常數(shù)， ， 則形心坐標(biāo)：,一般公式,精確公式,對均質(zhì)平板， 。得：,一般公式,精確公式,3.等截面細(xì)長桿的形心,對于等截面細(xì)長桿， ，則形心坐標(biāo)：,一般公式,精確公式,§6-7 重心的求法,一、對稱法,若形體具有對稱中心，對稱中心即為形心；,若形體具有對稱軸線，形心必在該軸上；,

17、若形體具有對稱面，形心必在對稱面上；,若形體具有兩根對稱軸，形心必在兩軸交點上；,若形體具有兩個對稱面，形心在兩對稱面的交線上。,二、積分法,當(dāng)物體被分割的微小體積(或面積，或弧長)與坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系易寫出時，可用該法求解。,【例6-8】 求圖示三角形形心。,【解】由相似三角形知：,矩形微單元面積,同理，將AB邊作為底邊可得xC的位置。,【例6-9】 求圓弧的形心。,【解】,,當(dāng) 時，半圓弧形心： 。,

18、,【例6-10】 求扇形的形心。,,,,【解】,陰影三角形形心的在 處，故可視扇形形心集中在半徑為 、頂角為 的圓弧上。,根據(jù)圓弧形心公式，得形心：,當(dāng) 時，得半圓形心公式：,,,三、組合法,若復(fù)合形體能分解成幾個簡單形體，而簡單形體的形心又已知，則可由簡單形體的形心組合得到復(fù)合形體的形心。,【例6-11】求由半圓環(huán)和正三角形組成圖形的形心坐標(biāo)。,,,r,【解】圖形由大半圓和

19、正三角形組合后再挖去小半圓組成。,,R,四、實驗法(對均質(zhì)和非均質(zhì)物體均適合),懸掛法,運用二力平衡原理，即懸掛點的約束反力與重力(通過重心)必須沿同一直線。過A的一條鉛垂線與過B的一條鉛垂線的交點G即為重心。,稱重法,對形狀復(fù)雜非勻質(zhì)的大型物體用該方法確定重心位置。,【例6-12】汽車重為W，前后輪距為L，輪半徑為r，求汽車重心位置。,,,A,C,,B,D,G,【解】1)求重心前后位置,,設(shè)前輪壓在稱重系統(tǒng)上測量的力值為N1。,W,L