第五章-剛體力學(xué)基礎(chǔ)習(xí)題課第三講13

1、1,,,,,,第五章 剛體力學(xué)基礎(chǔ)習(xí)題課（第三講）,大學(xué)物理（一）,主講：陳秀洪,一、小結(jié),二、 例題,2,1）每一質(zhì)點(diǎn)均作圓周運(yùn)動(dòng)，圓面為轉(zhuǎn)動(dòng)平面； 2）任一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng) 均相同，但 不同；3）運(yùn)動(dòng)描述僅需一個(gè)坐標(biāo) .,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn),,,1、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述,一、小結(jié),3,2、力矩,,,,,,,:力臂,剛體繞 O z 軸旋轉(zhuǎn) , 力 作用在剛體上點(diǎn) P , 且在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi), 為由點(diǎn)

2、O 到力的作用點(diǎn) P 的徑矢 .,對(duì)o點(diǎn) 的力矩,4,,,2）合力矩等于各分力矩的矢量和,其中 對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為零，故 對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩,對(duì)Z軸的力矩：,沿Z軸的分量,5,3、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,物理意義：轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度 .,質(zhì)量離散分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的計(jì)算方法,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的決定因素為：,轉(zhuǎn)軸的位置。,質(zhì)量分布；,總質(zhì)量；,6,4、轉(zhuǎn)動(dòng)定律,5、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能,M與β具有：同軸性、同時(shí)性、同方向性。,6、力矩的功,7、 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)

3、能定理,(1)質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量,質(zhì)點(diǎn)以角速度ω作半徑為r 的圓運(yùn)動(dòng)，相對(duì)圓心的角動(dòng)量大?。?大小,8、角動(dòng)量,7,（2）質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量：,（3）剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量：,質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)部所有質(zhì)點(diǎn)對(duì)某一定點(diǎn)的角動(dòng)量，即：,作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，其內(nèi)部所有質(zhì)點(diǎn)繞軸做半徑不等的圓周運(yùn)動(dòng)，具有相同的角速度：,矢量式：,8,10、角動(dòng)量守恒定律,9、角動(dòng)量定理：,（1）質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理,（2）剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角動(dòng)量定理,（1）質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量守恒定律,（2）剛體定軸轉(zhuǎn)

4、動(dòng)角動(dòng)量守恒定律,條件：,結(jié)論：,9,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角動(dòng)量守恒定律討論：,②多個(gè)剛體，角動(dòng)量守恒表達(dá)式為：,①單個(gè)剛體，角動(dòng)量守恒 即： ? =C 剛體作慣性轉(zhuǎn)動(dòng)。,條件：,結(jié)論：,10,③質(zhì)點(diǎn)和剛體，角動(dòng)量守恒表達(dá)式為：,注意： 是質(zhì)點(diǎn)速度在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的分量。,11,④對(duì)于非剛體，即轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變化。角動(dòng)量守 恒的表達(dá)式：,若動(dòng)作后角速度增加，則?與d ?同向，所以,12,剛體力學(xué)習(xí)題課（14） 1

5、.質(zhì)量為M的勻質(zhì)圓盤(pán)，可以繞通過(guò)盤(pán)中心垂直于盤(pán)的固定光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)，繞過(guò)盤(pán)的邊緣掛有質(zhì)量為m，長(zhǎng)為L(zhǎng)的勻質(zhì)柔軟繩索(如圖)，設(shè)繩與圓盤(pán)無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，試求當(dāng)圓盤(pán)兩側(cè)繩長(zhǎng)之差為S時(shí)，繩的加速度的大小。,,,,,0,,,,,,解:受力分析如圖:,,,,,,,,,,,,,,二、 例題,13,,,,,0,,,,,,,,,,,,,,,,,,(1);,(2),,(3);,(4),(5),(6),(7),解得:,,,,14,2.固定在一起的兩個(gè)同軸均勻圓柱體

6、可繞其光滑的水平對(duì)稱(chēng)軸00′轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)大小圓柱的半徑分別為R和r，質(zhì)量分別為M和m，繞在兩柱體上的細(xì)繩分別與物體m1和物體m2相連，m1和m2則掛在圓柱體的兩側(cè)，如圖所示，設(shè)R =0.20m，r =0.10m，m=4kg，M=10kg，m1=m2=2kg，求柱體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角加速度及兩側(cè)繩中的張力。,解：受力分析如圖,,,,,15,,3.長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻細(xì)桿可繞過(guò)端點(diǎn)O的固定水平光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)。把桿抬平后無(wú)初速地釋放，桿擺至豎直位置時(shí)，剛好和光滑水平

7、桌面上的小球m相碰，如圖所示，球的質(zhì)量和桿相同，設(shè)碰撞是彈性的，求碰后小球獲得的速度.,,,,,,0,,,,解:機(jī)械能守恒:,碰撞:角動(dòng)量守恒,機(jī)械能守恒.,,解得:,(1),(2),(3),16,,,,,對(duì)于(2)式,也可從如下得到:,設(shè)碰撞時(shí)間為:,,,,對(duì)小球由質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理:,對(duì)棒由角動(dòng)量定理:,0.,17,4. 一半徑為R＝0.30 m，質(zhì)量為M＝15 kg，質(zhì)量均勻分布的圓柱體，可繞與其幾何軸重合的水平固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)?，F(xiàn)以一不能

8、伸長(zhǎng)的輕繩繞于柱面，而在繩的下端懸一質(zhì)量m＝8.0 kg的物體。不計(jì)圓柱體與軸之間的摩擦，求物體自靜止下落，5 s內(nèi)下降的距離。,解：受力分析如圖,解得：,,18,例1、 一長(zhǎng)為 l , 質(zhì)量為 的竿可繞支點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動(dòng) . 一質(zhì)量為 、速率為 的子彈射入竿內(nèi)距支點(diǎn)為 處，使竿的偏轉(zhuǎn)角為30º . 問(wèn)子彈的初速率為多少 ?,解 把子彈和竿看作一個(gè)系統(tǒng) .子彈射入竿的過(guò)程系統(tǒng)角動(dòng)量守恒

9、,,射入竿后，以子彈、細(xì)桿和地球?yàn)橄到y(tǒng) ，機(jī)械能守恒 .,19,例2：長(zhǎng)為L(zhǎng)的勻質(zhì)細(xì)棒，一端懸于O點(diǎn)，自由下垂，緊接O點(diǎn)懸一單擺，輕質(zhì)擺繩的長(zhǎng)為L(zhǎng)，擺球的質(zhì)量為m，單擺從水平位置由靜止開(kāi)始自由下擺，與細(xì)桿作完全彈性碰撞，碰后單擺停止。 求：(1) 細(xì)桿的質(zhì)量； (2) 細(xì)桿擺動(dòng)的最大角度θ,解:,球下擺機(jī)械能守恒,球與細(xì)桿作完全彈性碰撞,角動(dòng)量守恒：,機(jī)械能守恒：,桿擺動(dòng)機(jī)械能守恒：,解得:,,20,,例題3、一均勻圓盤(pán),質(zhì)量為M

10、,半徑為R,可繞鉛直軸自由轉(zhuǎn)動(dòng),開(kāi)始處于靜止?fàn)顟B(tài),一個(gè)質(zhì)量為m的人,在圓盤(pán)上從靜止開(kāi)始沿半徑為r的圓周走動(dòng),如圖所示.求當(dāng)人走完一周回到盤(pán)上原位置時(shí),圓盤(pán)相對(duì)于地面轉(zhuǎn)過(guò)的角度.,,,.,,,,,解:,,由人、圓盤(pán)組成的系統(tǒng)對(duì)鉛直軸角動(dòng)量守恒,21,,,,.,,,,,,式中:負(fù)號(hào)表示人走動(dòng)的方向與圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的方向相反.,22,例4：一根長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m的勻質(zhì)細(xì)桿，一端與光滑的水平軸相連，可在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端固定一質(zhì)量也是m的小球，且小

11、球半徑R<<l。設(shè)桿由水平位置自由釋放。求：桿下擺至任意角度時(shí)的角速度和角 加速度,23,解：細(xì)桿在下擺過(guò)程中，重力矩作用桿的質(zhì)心處，,即：,小球的重力矩：,由轉(zhuǎn)動(dòng)定律：,所以有：,即：,24,解得：,利用機(jī)械能守恒定律求解：,25,例題5、如圖,一矩形勻質(zhì)薄板ABCD,長(zhǎng)為l、寬為d、質(zhì)量為m。板繞豎直軸AB以初角速度 轉(zhuǎn)動(dòng)，阻力與薄板表面垂直并與面積及速度的平方成正比，比例系數(shù)為k。問(wèn)經(jīng)過(guò)多少時(shí)間后，薄板的角速

12、度減為初角速度的一半？,解：這是定軸轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題，利用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律求解。,如圖：取面元,受阻力：,對(duì)軸的阻力矩：,所有對(duì)軸的阻力矩：,26,面密度：,，板對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：,由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律：,即：,解得：,27,例題6.裝置如圖所示,繩的上端繞在圓柱上,下端系一重物,質(zhì)量為m.重物自然下垂,由靜止開(kāi)始下落,并帶動(dòng)圓柱自由轉(zhuǎn)動(dòng).求重物降落高度為h時(shí)的速率v.已知圓柱的質(zhì)量為M,半徑為R.(繩子的質(zhì)量不計(jì)且不可伸長(zhǎng).),解:,（1）,（2）,法二

13、:,,28,例題7.如圖所示,兩個(gè)均勻圓柱各自繞自身的軸轉(zhuǎn)動(dòng),兩軸互相平行.圓柱半徑分別為 質(zhì)量分別為 .開(kāi)始時(shí)兩柱分別以角速度 同向旋轉(zhuǎn).然后緩緩移動(dòng)它們,使之相互接觸.求兩柱的最終角速度,(2),（3）,（4）,（5）,29,例題8. 如圖，已知：木板寬L=0.60m、質(zhì)量M =1kg，木板繞水平固定光滑OO’軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J=ML2/3。質(zhì)量為m=10×10-3kg的子彈以v0 =500m

14、/s速率，距OO’軸為l = 0.36m處垂直射穿木板，子彈穿出木板后速率為v=200m/s。求:（1）子彈給木板的沖量； （2）木板獲得的角速度。,30,解（1）由動(dòng)量定理，得,（2）由角動(dòng)量守恒，得,其中：,解得：,木板給子彈的沖量,子彈給木板的沖量,31,例題9. 已知：棒長(zhǎng)2L，質(zhì)量m，以v0平動(dòng)時(shí)，與支點(diǎn)O發(fā)生完全非彈性碰撞。碰撞點(diǎn)為L(zhǎng)/2處，如圖所示。求棒在碰撞后的瞬時(shí)繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω。,解:碰前棒對(duì)O點(diǎn)的角

15、動(dòng)量,,如圖：取,角動(dòng)量：,,,碰后棒對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量,角動(dòng)量守恒：,,32,例題10. 質(zhì)量很小長(zhǎng)度為l 的均勻細(xì)桿,可繞過(guò)其中心 O并與紙面垂直的軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng).當(dāng)細(xì)桿靜止于水平位置時(shí), 有一只小蟲(chóng)以速率 垂直落在距點(diǎn)O為 l/4 處, 并背離點(diǎn)O 向細(xì)桿的端點(diǎn)A 爬行.設(shè)小蟲(chóng)與細(xì)桿的質(zhì)量均為m.問(wèn):欲使細(xì)桿以恒定的角速度轉(zhuǎn)動(dòng), 小蟲(chóng)應(yīng)以多大速率向細(xì)桿端點(diǎn)爬行?,解 小蟲(chóng)與細(xì)桿的碰撞視為完全非彈性碰撞，碰撞前后系統(tǒng)角