第五章-——第二次課自動(dòng)控制理論

1、5.1 頻率特性5.2 對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖5.3 極坐標(biāo)圖5.4 用頻率法辨識(shí)線(xiàn)性定常系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型5.5 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)5.6 相對(duì)穩(wěn)定性分析5.7 頻域性能指標(biāo)與時(shí)域性能指標(biāo)之間的關(guān)系,第五章 頻率響應(yīng)法,5.2 對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖,一、對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖及其特點(diǎn),1.博德圖（ Bode圖 ）的構(gòu)成,對(duì)數(shù)相頻特性圖 — j (w)， 單位是°,橫坐標(biāo)是對(duì) ? 取以10為底的對(duì)數(shù)（lg?）進(jìn)行分度的。,Bode圖由 2 幅圖構(gòu)成：

2、,,對(duì)數(shù)幅頻特性圖 — L(?)=20lg|G(j?)|， 單位是分貝，用 dB表示,縱坐標(biāo)都是按照線(xiàn)性進(jìn)行分度的。,橫坐標(biāo)是角頻率 。,標(biāo)注角頻率的真值，以方便讀數(shù)。?每變化十倍，橫坐標(biāo)1gw就增加一個(gè)單位長(zhǎng)度，記為decade或簡(jiǎn)寫(xiě)dec，稱(chēng)之為“十倍頻”或“十倍頻程”。,在繪制函數(shù)關(guān)系時(shí)，相當(dāng)于lgw為自變量。,若橫軸上有兩點(diǎn)w1與w2，則該兩點(diǎn)的距離不是w2 - w1，而是lgw2 - lgw1，如2與20、10與100之間的距

3、離均為一個(gè)單位長(zhǎng)度，即一個(gè)十倍頻程。,橫坐標(biāo)對(duì)于w是不均勻的，但對(duì)1gw卻是均勻的線(xiàn)性分度。由于0頻無(wú)法表示，橫坐標(biāo)的最低頻率是由所需的頻率范圍來(lái)確定的。,更詳細(xì)的刻度如下圖所示,,,,,0.1,1,10,100 ?/ (rad·s-1),,,2,3,,縱坐標(biāo)是對(duì)幅值分貝(dB)數(shù)進(jìn)行分度，用L(?) = 20lg M(?) 表示。 對(duì)數(shù)相頻特性圖的橫坐標(biāo)分度方法同對(duì)數(shù)幅頻特性，而縱坐標(biāo)則對(duì)相角進(jìn)行線(xiàn)性分度，單

4、位為度（o），仍用? (?)表示。,2.博德圖（ Bode圖 ）的優(yōu)點(diǎn),（2）幅頻特性取分貝數(shù)［20lg|G|］后，使各因子間的乘除運(yùn)算變?yōu)榧訙p運(yùn)算，在Bode圖上則變?yōu)楦饕蜃臃l特性曲線(xiàn)的疊加，大大簡(jiǎn)化了作圖過(guò)程，使系統(tǒng)設(shè)計(jì)和分析變得容易。,（1）橫坐標(biāo)按頻率取對(duì)數(shù)分度，低頻部分展寬，而高頻部分縮小。與對(duì)實(shí)際控制系統(tǒng)（一般為低頻系統(tǒng)）的頻率分辨要求吻合。,（3）可采用由直線(xiàn)段構(gòu)成的漸近特性（或稍加修正）代替精確Bode圖，使繪圖十分簡(jiǎn)

5、便。,（4）對(duì)實(shí)驗(yàn)所得的頻率特性用對(duì)數(shù)坐標(biāo)表示，并用分段直線(xiàn)近似的方法，可以很容易的寫(xiě)出它的頻率特性表達(dá)式。,二、典型因子的博德圖,為了便于對(duì)頻率特性作圖，開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)均以時(shí)間常數(shù)形式表示。,開(kāi)環(huán)頻率特性 G(jw)H(jw) 一般由下列5種典型因子組成。,1）比例因子 K,2）一階因子,4）二階因子,3）積分和微分因子,5）滯后因子,1. 比例因子K,比例環(huán)節(jié)： ；,幅頻特性：

6、 ；相頻特性：,幅值上有放大或衰減作用；,比例環(huán)節(jié)可以完全、真實(shí)地復(fù)現(xiàn)任何頻率的輸入信號(hào),? (?) = 0º，表示輸出與輸入同相位，既不超前也不滯后。,1）當(dāng) w << w1時(shí)，則有,其中，w1 = 1/T。,這表示 L(w) 的低頻漸近線(xiàn)為0dB的一條水平線(xiàn)。,2. 一階因子,,2）當(dāng) w >> w1時(shí)，則有,因此對(duì)數(shù)頻率特性曲線(xiàn)是一條斜線(xiàn), 斜率為-20dB/dec, 稱(chēng)為高頻漸近線(xiàn)，與低

7、頻漸近線(xiàn)的交點(diǎn)為?1 = 1/T，?1 (也記為?T )稱(chēng)為轉(zhuǎn)折頻率（轉(zhuǎn)角頻率），是繪制慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性時(shí)的一個(gè)重要參數(shù)。,,,波德圖誤差分析（實(shí)際頻率特性和漸近線(xiàn)之間的誤差）：,當(dāng) 時(shí)，誤差為：,當(dāng) 時(shí)，誤差為：,最大誤差發(fā)生在 處，為,如需由漸近對(duì)數(shù)幅頻特性曲線(xiàn)獲取精確曲線(xiàn)，只須分別在低于或高于轉(zhuǎn)折頻率的一個(gè)十倍頻程范圍內(nèi)對(duì)幅頻特性曲線(xiàn)進(jìn)行修正就足夠了。,對(duì)

8、數(shù)幅頻和相頻曲線(xiàn)如下圖所示。,3. 積分、微分因子,積分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性是一條斜率為-20dB/dec的斜線(xiàn)。在 ? = 1這一點(diǎn)穿過(guò)0dB線(xiàn)。,（1）積分因子,對(duì)數(shù)幅頻特性是一條斜率+20dB/dec的斜線(xiàn)在 ? = 1 這一點(diǎn)穿過(guò)0dB線(xiàn)。,（2）微分因子,的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線(xiàn),（3）因子,4. 二階因子,對(duì)數(shù)幅頻特性,T? << 1(或? << 1/T )時(shí)，L(?) ? 20lg1 = 0dB，低頻漸

9、近線(xiàn)與0dB線(xiàn)重合。,（1）二階振蕩環(huán)節(jié),對(duì)數(shù)幅頻特性圖 -- 低頻段,T? >> 1(或 ? >> 1/T)時(shí)，并考慮到（0≤?≤1），有 L(?) ? -20lg(?T )2 = -40lg(?T )= -40lg? - 40lgT dB,?T = 1/T 為低頻漸近線(xiàn)與高頻漸近線(xiàn)交點(diǎn)處的橫坐標(biāo)，稱(chēng)為轉(zhuǎn)折頻率，也就是環(huán)節(jié)的無(wú)阻尼自然振蕩頻率?n。求? = 1/T 時(shí)的實(shí)

10、際值L(?)?,,,對(duì)數(shù)幅頻特性圖 -- 高頻段,說(shuō)明高頻段是一條斜率為-40dB/dec的斜線(xiàn)，稱(chēng)為高頻漸近線(xiàn)。,0.4 0.7，誤差很大，必須對(duì)漸近線(xiàn)進(jìn)行修正。,震蕩環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性的誤差曲線(xiàn),諧振峰值與諧振頻率,? ? 0.4時(shí)，漸近線(xiàn)需要加尖峰修正。隨? 的減小，諧振峰值Mr增大， 諧振頻率?r也越接近振蕩環(huán)節(jié) 的無(wú)阻尼自然振蕩頻率?n。諧振峰值Mr -- 阻尼比? --單位階 躍響應(yīng)的最大超調(diào)量--系統(tǒng)

11、的相對(duì)穩(wěn)定性就越差。 當(dāng)?=0時(shí)，?r ≈ ?n ， Mr ≈ ?， 振蕩環(huán)節(jié)處于等幅振蕩狀態(tài)。,當(dāng)? = 0時(shí)，?(?) = 0 °當(dāng)? = 1/T 時(shí)，?(?) = -90°當(dāng)? → ∞時(shí)，?(?) → -180°,振蕩環(huán)節(jié)具有相位滯后的作用，輸出滯后于輸入的范圍為0º→ -180º；阻尼比的取值對(duì)曲線(xiàn)形狀的影響較大。,對(duì)數(shù)相頻特性,對(duì)數(shù)相頻特性,對(duì)數(shù)幅頻特性,（2）二階

12、微分因子,5. 滯后因子e-tjw,滯后因子的幅頻和相頻表達(dá)式為,?(?)是呈指數(shù)規(guī)律下降的曲線(xiàn)，隨?增加而滯后無(wú)限增加。,三、開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的博德圖,設(shè)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù),則其對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)幅頻和相頻特性分別為,畫(huà)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的博德圖的方法（1）間接法：做出G(jw)所含各因子的對(duì)數(shù)幅頻和相頻特性曲線(xiàn)，然后對(duì)它們分別進(jìn)行代數(shù)相加即可。（2）順序斜率疊加法：用工程上的方法，直接畫(huà)出開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的博德圖。,將系統(tǒng)傳遞函數(shù)分解為典型環(huán)節(jié)乘積的形式,順序斜率疊加

13、法,不必將各個(gè)典型環(huán)節(jié)的L(w) 繪出，而使用從低頻到高頻逐次變換斜率的方法繪出L(w)曲線(xiàn), j(w)曲線(xiàn)描點(diǎn)或疊加求取。,由除延遲環(huán)節(jié)之外的典型環(huán)節(jié)組成,（1）L(?)的漸近線(xiàn)必為由不同斜率的線(xiàn)段組成的折線(xiàn)。 系統(tǒng)開(kāi)環(huán)幅頻特性的漸近線(xiàn)是由各典型環(huán)節(jié)的對(duì) 數(shù)幅頻特性疊加而成，而直線(xiàn)疊加就是斜率相加。,1: 基本規(guī)律,（2）低頻漸近線(xiàn)（及其延長(zhǎng)線(xiàn)）的確定 。,,G(jω)的低頻段表達(dá)式為,?(

14、?) = -v 90°,低頻漸近線(xiàn)表達(dá)式為,低頻段的對(duì)數(shù)幅頻特性與相頻特性與積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)v及開(kāi)環(huán)傳遞系數(shù)K有關(guān)。,低頻段為一條斜率為-20vdB/dec的斜線(xiàn)。低頻漸近線(xiàn)（及其延長(zhǎng)線(xiàn)）上在?=1時(shí)，有 L(1)=20lgK。,,（3）轉(zhuǎn)折頻率及轉(zhuǎn)折后斜率變化量的確定。,在慣性環(huán)節(jié),斜率－20dB/dec；,在一階微分環(huán)節(jié) G(s)=(1+?s) 的轉(zhuǎn)折頻率 1/? 處，

15、 斜率＋20dB/dec；,在振蕩環(huán)節(jié),斜率－ 40dB/dec。,其他典型環(huán)節(jié)的影響是在各自的轉(zhuǎn)折頻率處使L(?)的斜率發(fā)生相應(yīng)的變化。,的轉(zhuǎn)折頻率 1/T 處，,的轉(zhuǎn)折頻率 1/T 處，,（4）最終斜率與最終相位滯后與n-m的關(guān)系。,當(dāng)?→ ?時(shí)，由于 n＞m，高頻段的近似表達(dá)式為,高頻段為一條斜率為 -20(n-m)

16、 dB/dec 的斜線(xiàn)。高頻段的對(duì)數(shù)幅頻特性與相頻特性均與 (n-m) 有關(guān)。,?(?)= -(n-m) · 90°,1. 分析系統(tǒng)由哪些典型環(huán)節(jié)串聯(lián)組成，將開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) 寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)的時(shí)間常數(shù)表達(dá)式，寫(xiě)出開(kāi)環(huán)頻率特性的表達(dá) 式，確定各典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率。,,2: 繪制步驟,3. 確定低頻漸近線(xiàn)(由積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)v與K決定)，找到橫坐 標(biāo)為 w = 1、縱坐標(biāo)為20lgK 的

17、點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)作斜率為 -20v dB/dec 的斜線(xiàn)。,2. 選定Bode圖坐標(biāo)系所需頻率范圍，一般最低頻率為系統(tǒng) 最低轉(zhuǎn)折頻率的1/10左右，而最高頻率為最高轉(zhuǎn)折頻率的 10倍左右。確定坐標(biāo)比例尺，由小到大標(biāo)注各轉(zhuǎn)折頻率。,4. 由低頻向高頻延伸，每到一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率，斜率根據(jù)具體環(huán)節(jié)作相應(yīng)的改變：,,5. 如有必要，對(duì)漸近線(xiàn)進(jìn)行修正，以得到精確的對(duì)數(shù)幅頻特性。其方法與典型環(huán)節(jié)的修正方法相同。通常只需修正各轉(zhuǎn)折

18、頻率處以及轉(zhuǎn)折頻率的二倍頻和 1/2倍頻處的幅值就可以了。,過(guò)慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率處斜率 -20 dB/dec；在比例微分環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率處斜率 +20 dB/dec；振蕩環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)折頻率處斜率 -40 dB/dec；最終斜率為 -20(n-m) dB/dec。,6．對(duì)數(shù)相頻特性圖：,7. 若系統(tǒng)串聯(lián)有滯后環(huán)節(jié)，不影響系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特 性，只影響系統(tǒng)的對(duì)數(shù)相頻特性，則可以求出相頻特性的表達(dá)式，直接描點(diǎn)繪制對(duì)數(shù)相頻特性曲線(xiàn)

19、。,可求出?(?)的表達(dá)式，在低頻、中頻、高頻分別取點(diǎn)計(jì)算，逐點(diǎn)描繪。,低頻時(shí)有 ?(?) = -v 90?， 最終相位為 ?(?) = -(n-m)90?。,分別畫(huà)出各典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線(xiàn)，將各典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線(xiàn)沿縱軸方向迭加，便可得到系統(tǒng) 的對(duì)數(shù)相頻特性曲線(xiàn)。,例：已知一反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為,試?yán)L制開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的博德圖。,解：系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性為,它的對(duì)數(shù)幅頻特性為,轉(zhuǎn)折頻率： 2 10,（2）相

20、頻特性,,,[-20],,[-40],,,,,,,,,,[-20],,[-40],0.5,例 ：,30,轉(zhuǎn)折頻率：0.5 2 30,四、最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng),根據(jù)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的位置，一般分為以下兩種系統(tǒng)：,（1）如果系統(tǒng)傳遞函數(shù)在右半 s 平面上沒(méi)有極點(diǎn)和零點(diǎn)，則稱(chēng)該系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)（由除延遲環(huán)節(jié)之外的典型環(huán)節(jié)組成）。,（2）系統(tǒng)傳遞函數(shù)在右半 s 平面上有一個(gè)(或多個(gè))零點(diǎn)或極點(diǎn)，稱(chēng)為非最小相位

21、系統(tǒng)。,顯然 G1(s) 屬于最小相位系統(tǒng)。,用一個(gè)簡(jiǎn)單例子來(lái)說(shuō)明最小相位系統(tǒng)的慨念。,?2(?)= - arctan?? - arctanT? (0°，-180°),對(duì)數(shù)幅頻特性相同,相頻特性,?1(?)= arctan?? - arctanT? (0°，0°), - 90°(n-m),(1) 具有相同幅頻特性的一些系統(tǒng)，其中最小相位系統(tǒng)的相位角變化是最小的 。,(2)

22、 最小相位系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性存在唯一的對(duì)應(yīng)關(guān)系。,對(duì)于最小相位系統(tǒng)可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)的方法測(cè)量并繪制出開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線(xiàn)L(?)，就可以唯一確定此系統(tǒng)，推出相應(yīng)的?(?)，寫(xiě)出其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。而對(duì)于非最小相位系統(tǒng)，只有同時(shí)知道了幅頻特性和相頻特性才能寫(xiě)出它的傳遞函數(shù)。,特 點(diǎn),“最小相位”這一概念來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)理論。,它是指具有相同幅頻特性的一些環(huán)節(jié)，其中相角位移有最小可能值的，稱(chēng)為最小相位環(huán)節(jié)； 反之，其中相角位移大于最小可

23、能值的環(huán)節(jié)稱(chēng)為非最小相位環(huán)節(jié)。,五、系統(tǒng)的類(lèi)型與對(duì)數(shù)幅頻特性曲線(xiàn) 低頻漸近線(xiàn)斜率的對(duì)應(yīng)關(guān)系,對(duì)數(shù)幅頻聽(tīng)的低頻段由因式,按照v的數(shù)值將實(shí)際控制系統(tǒng)分為三種類(lèi)型。,來(lái)表征。,1：0 型系統(tǒng),0型系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻特性低頻漸近線(xiàn)為一條20lgK dB的水平線(xiàn)。,低頻漸近線(xiàn)斜率為-20 dB/dec。,開(kāi)環(huán)增益 K 在數(shù)值上等于低頻漸近線(xiàn)（或延長(zhǎng)線(xiàn)）與0dB線(xiàn)相交點(diǎn)的頻率值。,低頻漸近線(xiàn)（或延長(zhǎng)線(xiàn)）在 w = 1處的相交坐標(biāo)

24、值為20lgK。,2：I 型系統(tǒng),低頻漸近線(xiàn)斜率為-40dB/dec。,開(kāi)環(huán)增益K在數(shù)值上等于低頻漸近線(xiàn)（或延長(zhǎng)線(xiàn)）與0dB線(xiàn)相交點(diǎn)的頻率值的二次方。,低頻漸近線(xiàn)（或延長(zhǎng)線(xiàn)）在w = 1處的相交坐標(biāo)值為20lgK。,3：II 型系統(tǒng),5.1 頻率特性5.2 對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖5.3 極坐標(biāo)圖5.4 用頻率法辨識(shí)線(xiàn)性定常系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型5.5 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)5.6 相對(duì)穩(wěn)定性分析5.7 頻域性能指標(biāo)與時(shí)域性能指標(biāo)之間的關(guān)系,第五章

25、 頻率響應(yīng)法,5.4 用頻率法辨識(shí)線(xiàn)性定常系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,一、由實(shí)驗(yàn)作出被測(cè)系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線(xiàn)的漸近線(xiàn),給被測(cè)系統(tǒng)輸入不同頻率的正弦信號(hào)。 對(duì)于大時(shí)間常數(shù)的系統(tǒng)，頻率范圍為0.01～10Hz； 對(duì)于小時(shí)間常數(shù)的系統(tǒng)，應(yīng)選擇頻率較高的正弦信號(hào)。 在足夠多的頻率點(diǎn)上，測(cè)得被測(cè)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出信號(hào)與輸 入信號(hào)的幅值比和相位差。 據(jù)此作出該系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性曲線(xiàn)。,用斜率為0dB/dec、

26、7;20dB/dec、 ±40dB/dec等直線(xiàn)段 對(duì)所測(cè)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線(xiàn)作近似處理，求出漸近線(xiàn)。,注意: 由于測(cè)量的是被測(cè)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出的幅值與相位，因 而該系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的。,,,,,●,,●,二、由Bode圖求取傳遞函數(shù)的一般規(guī)則,(1) 由低頻段的斜率-20v dB/dec 可推知含積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)為 v。,(2) 由 w ＝ 1處低頻段的高度 L (w)| w =1

27、 = 20lg K； 或低頻段（或其延長(zhǎng)線(xiàn)）與0dB線(xiàn)交點(diǎn)處的w 值， 確定系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益值。,,(3) 漸近線(xiàn)上每一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)為相應(yīng)典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率， 根據(jù)每個(gè)直線(xiàn)段斜率的變化量，確定相應(yīng)串聯(lián)的具體 典型環(huán)節(jié)。,由低頻到高頻： 每增加一個(gè) 20 dB/dec, 即含有一個(gè)比例微分環(huán)節(jié)； 每降低一個(gè) 20 dB/dec，即含有一個(gè)慣性環(huán)節(jié)；

28、 若降低一個(gè) 40 dB/dec，即含有一個(gè)二階振蕩環(huán)節(jié)； 再由峰值偏離漸近線(xiàn)的偏差求阻尼比。,,例3：某最小相位系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)如圖 所示，求此系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。,,,,,,低頻漸近線(xiàn)的表達(dá)式,L(?)=20lgK-20lg?，,可以求出K=30。,例4 : 由實(shí)驗(yàn)求得被測(cè)系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線(xiàn)如下圖中的 實(shí)線(xiàn)所示，試估計(jì)該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。,,,,,●,,誤差