華中科技大學(xué)-流體力學(xué)第七章-4

1、6．速度勢函數(shù)和流函數(shù)的主要性質(zhì),(1) 速度勢函數(shù)的等值線與流線正交， 流函數(shù)的等值線與流線重合。,由數(shù)學(xué)知,又,流線與 v = ?? 相切,以上性質(zhì)不僅對于平面流動(dòng)成立，對于軸對稱和三元流動(dòng)也同樣成立。在三元流動(dòng)中，? = C 稱為等速度勢面(等勢面)。,? (x, y, t) = C -- 等速度勢線(等勢線),二元流線微分方程,可見，? (x, y, t) = C 與流線重合。,,,,在應(yīng)用中把流函數(shù)

2、等值線(? = C)稱為流線。實(shí)際? = C 并不等同于流線，流函數(shù)是由不可壓縮二維流動(dòng) 的連續(xù)性方程引入和定義的，只是對于特定的流動(dòng)才 能引入流函數(shù) ? ，而流線則是對所有速度不全為零 的流場，由速度矢量的方向定義的。,在物面邊界上流函數(shù)的值是個(gè)常數(shù)，所以物面邊界 也可以被當(dāng)作是流場中的一條流線。反過來說，流 場中任意一條流線也可以被看作是物面邊界。,? = C 與流線正交， ? =

3、 C 與流線重合， 所以曲線 ? = C 與曲線 ? = C 正交。,兩族曲線正交。由速度勢函數(shù)和流函數(shù)的性質(zhì)不難判斷，部分曲線與圓正交的那一族是等速度勢線，而其中一條與物面相重合的那一族是流線。,在單連通區(qū)域中，沿任意曲線的切向速度積分等于 曲線兩端點(diǎn)上速度勢值之差，而且積分值與路徑無 關(guān)。通過連接兩條流線的任意曲線的體積流量等于 這兩條流線上流函數(shù)值

4、之差。,對于無旋流動(dòng)存在速度勢函數(shù)，此時(shí)在單連通區(qū)域上,沿兩端點(diǎn)分別為 A 和 B 的任意曲線的切向速度積分為,積分與路徑無關(guān)，它等于積分路徑兩端點(diǎn)上的速度勢值之差。,在微元 ds 上,,因?yàn)橛懻摰氖瞧矫鎲栴}，所謂通過某曲線的流量應(yīng)該被理解為通過垂直方向?yàn)閱挝缓竦那娴牧髁俊?流動(dòng)無旋，所以存在相應(yīng)的速度勢函數(shù)。,例 已知平面不可壓縮流動(dòng)的流函數(shù) ? = ax2 -ay2 ； 證明流動(dòng)無旋，并求出相應(yīng)的速度勢函數(shù)。,

5、解,對 y 取偏導(dǎo)數(shù)，得,可見， C' (y) = 0，即 C(y) = C (常數(shù)),可以在速度勢函數(shù)上加或減任意常數(shù)，所以,解（1）對于流動(dòng) (a) 有,顯然滿足不可壓縮流體流動(dòng)的連續(xù)性方程,存在對應(yīng)的流函數(shù)。,積分后得到：? = y -2x (略去了積分常數(shù)) 。,例 設(shè)平面流動(dòng) (a) u = 1, v = 2； 流動(dòng) (b) u = 4x, v =-4y。 （1）對于 (a) 是否存在

6、流函數(shù)? ？若存在，求 ? 。 （2）對于 (b) 是否存在速度勢函數(shù)? ？若存在，求 ? 。,（2）對于流動(dòng) (b) 有,積分后得到： ? = 2x2 -2y2 (已略去積分常數(shù)),滿足無旋條件,存在相對應(yīng)的速度勢函數(shù)。,7.5 基本的平面有勢流動(dòng),1．均勻直線流,滿足,不可壓縮流體的平面勢流,速度,等勢線,流線,對于? = 0，,2．平面點(diǎn)源/點(diǎn)匯,滿足,Q -- 點(diǎn)源(匯)強(qiáng)度,流線: ? = C1 ,,等勢線

7、: r = C2 。,點(diǎn)源(匯)在 (x0, y0)點(diǎn),3．點(diǎn)渦,滿足,? -- 點(diǎn)渦強(qiáng)度,流線: r = C1 ,,等勢線: ? = C2 。,點(diǎn)渦在 (x0, y0)點(diǎn),z = 0 點(diǎn): 點(diǎn)匯 -Q,點(diǎn)： 點(diǎn)源 +Q,疊加后得到,令 ?r ? 0，Q ? ?，? 不變，并且,? -- 偶極子的方向角(由點(diǎn)匯指向點(diǎn)源的矢量的方向角),4．偶極子,? =? (點(diǎn)源沿 x 軸的正方向由左

8、至右向點(diǎn)匯趨近) 。,令,等速度勢線：,流線：,偶極子在 z0 點(diǎn),點(diǎn)源(點(diǎn)匯)流、點(diǎn)渦流和偶極子流在無窮遠(yuǎn)處的 速度都趨于零，因此將這些基本解與其它解疊加 時(shí)，只需要考慮疊加后的物面邊界條件，而不必 擔(dān)心疊加這些基本解會(huì)改變原來無窮遠(yuǎn)處的速度 邊界條件。,三個(gè)基本解都具有奇異性，通常也通統(tǒng)稱為奇點(diǎn)。 由于真實(shí)流場中不應(yīng)該有無窮大的速度，所以一 般要把它們布置在流場之外(物體

9、區(qū)域內(nèi)) 。,點(diǎn)源：,點(diǎn)渦：,例 理想不可壓縮流體作平面無旋流動(dòng)。假設(shè)流場的復(fù)勢是 W = az2 ( a > 0 )，并且在坐標(biāo)原點(diǎn)處壓強(qiáng)為 p0，試求 (1) 上半平面的流動(dòng)圖案； (2) 沿 y = 0 的速度與壓強(qiáng)。,解 令 z = rei?，于是,所以,令 ? = 0，得到零流線,及,它們是自原點(diǎn)出發(fā)的射線，把上半平面分成兩個(gè)夾角為的直角區(qū)域。,對坐標(biāo)原點(diǎn)和 y = 0 上的