王孝武主編《現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)》第3版第3章課件

1、第3章 控制系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性,在多變量控制系統(tǒng)中，能控性和能觀測(cè)性是兩個(gè)反映控制系統(tǒng)構(gòu)造的基本特性，是現(xiàn)代控制理論中最重要的基本概念。 本章的內(nèi)容為：,1. 引言——能控性、能觀測(cè)性的基本概念,2. 能控性及其判據(jù),3. 能觀測(cè)性及其判據(jù),4. 離散系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性,5. 對(duì)偶原理,6. 能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形,7. 能控性、能觀測(cè)性與傳遞函數(shù)的關(guān)系,8.

2、系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解,9. 實(shí)現(xiàn)問題,10. 使用MATLAB判斷系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性,3.1 引言,首先，通過例子介紹能控性、能觀測(cè)性的基本概念。,例3-1 電路如下圖所示。如果選取電容兩端的電壓 為狀態(tài)變量，即： 。 電橋平衡時(shí)，不論輸入電壓 如何改變， 不隨著 的變化而改變，或者說狀態(tài)變量不受 的控制。即：該電路的狀態(tài)是

3、不能控的。,顯然，當(dāng)電橋不平衡時(shí)，該電路的狀態(tài)是能控的。,例3-2 電路如下圖所示，如果選擇電容C1、 C2兩端的電壓為狀態(tài)變量，即： ， ，電路的輸出 為C2上的電壓，即 ，則電路的系統(tǒng)方程為,系統(tǒng)狀態(tài)方程的解為,可見，不論加入什么樣的輸入信號(hào)，總是有,一般情況下，系統(tǒng)方程可以表示為,（1）,狀態(tài)能控與否，不僅取決于B 陣（直接關(guān)系），還取決于A

4、陣（間接關(guān)系）。,系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為,系統(tǒng)能觀測(cè)問題是研究測(cè)量輸出變量 y 去確定狀態(tài)變量的問題。,例3-3 電路如下圖所示。選取 為輸入量， 為輸出量，兩個(gè)電感上的電流分別作為狀態(tài)變量，則系統(tǒng)方程為,系統(tǒng)狀態(tài)方程的解為,對(duì)于不能觀測(cè)的系統(tǒng)，其不能觀測(cè)的狀態(tài)分量與y 既無直接關(guān)系，又無間接關(guān)系。狀態(tài)是否能觀測(cè)不僅取決于C，還與A 有關(guān)。,一般情況下，系統(tǒng)方程如式（1）所示，狀態(tài)能觀測(cè)與否，不僅取決于C 陣（直接關(guān)系）

5、，還取決于A陣（間接關(guān)系）。,,從上式可知，不論初始狀態(tài)為什么數(shù)值，輸出 僅僅取決于其差值 。當(dāng) ，則輸出恒等于零。顯然，無法通過對(duì)輸出的觀測(cè)去確定初始狀態(tài)，稱這樣的系統(tǒng)是不能觀測(cè)的。,3.2 能控性及其判據(jù),3.2.1 線性定常系統(tǒng)的能控性及其判據(jù),1. 能控性定義,2）如果在有限時(shí)間區(qū)間 內(nèi)，存在容許控制 ，使系統(tǒng)從狀

6、態(tài)空間坐標(biāo)原點(diǎn)推向預(yù)先指定的狀態(tài) ，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)能達(dá)的；由于連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣是非奇異的，因此系統(tǒng)的能控性和能達(dá)性是等價(jià)的。,3）只有整個(gè)狀態(tài)空間中所有的有限點(diǎn)都是能控的，系統(tǒng)才是能控的。,2. 能控性判據(jù),定理3-1 （2）式的線性定常系統(tǒng)為狀態(tài)能控的充分必要條件是下面的n×n維格拉姆矩陣滿秩,（5）,（證明參見教材84頁）,（這個(gè)定理為能控性的一般判據(jù)。但是，由于要計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，比較繁瑣

7、。實(shí)際上，常用下面介紹的判據(jù)。）,定理3-2 （2）式的線性定常系統(tǒng)為狀態(tài)能控的充分必要條件是下面的n×nr 維能控性矩陣滿秩。,（6）,（7）,于是,（9）,如果系統(tǒng)能控，必能夠從（9）式中解得 ， ， … ， 。這樣就要求,（本判據(jù)本身很簡(jiǎn)單，因此是最為常用的方法。）,定理3-3 （PBH判別法） （2）式的線性定常系統(tǒng)為狀態(tài)能控的充分必要條件是，對(duì)A 的所有特征值 ，都有,（10）,

8、（證明略）,例3-6 有如下兩個(gè)線性定常系統(tǒng)，判斷其能控性。,（1）,（2）,解,根據(jù)定理3-4， 系統(tǒng)（1）不能控 ； 系統(tǒng)（2）能控。,則系統(tǒng)能控的充分必要條件是矩陣 中與每一個(gè)約當(dāng)子塊最下面一行對(duì)應(yīng)行的元素不全為零。,（12）,例3-7 有如下兩個(gè)線性定常系統(tǒng)，判斷其能控性。,（1）,（2）,（定理（3-4）、定理（3-5）不僅可以判斷系統(tǒng)能控性，而且對(duì)于不能控的系統(tǒng)，可以知道哪個(gè)狀態(tài)分量不能控。）說明：1.上面通

9、過幾個(gè)定理給出判斷系統(tǒng)能控性的判據(jù)。雖然它們的表達(dá)形式、方法不同，但是，在判斷線性定常系統(tǒng)能控性時(shí)是等價(jià)的。 2.在線性連續(xù)定常系統(tǒng)中，由于能達(dá)性和能控性是等價(jià)的，因此，能控性判據(jù)同樣可以判斷能達(dá)性。,3.2.2 線性時(shí)變系統(tǒng)的能控性判據(jù),（13）,線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程為,定理3-7 狀態(tài)在時(shí)刻 能控的充分必要條件是存在一個(gè)有限時(shí)間 ，使得以下格拉姆矩陣非奇異。,（14）,（16）,當(dāng),…,定理3-8

10、 如果線性時(shí)變系統(tǒng)的 和 的元是(n－1)階連續(xù)可微的。如果存在一個(gè)有限的 ，使得,（17）,則系統(tǒng)在 是能控的。,解,3.3 能觀測(cè)性判據(jù),3.3.1 線性定常系統(tǒng)能觀測(cè)性及其判據(jù),1. 能觀測(cè)性定義,（18）,線性定常系統(tǒng)方程為,如果在有限時(shí)間區(qū)間 （ ）內(nèi)，通過觀測(cè) ，能夠惟一地確定系統(tǒng)的初始狀態(tài) ，稱系統(tǒng)狀態(tài)在

11、 是能觀測(cè)的。如果對(duì)任意的初始狀態(tài)都能觀測(cè)，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測(cè)的。,2）如果根據(jù) 內(nèi)的輸出 能夠惟一地確定任意指定狀態(tài) ，則稱系統(tǒng)是可檢測(cè)的。連續(xù)系統(tǒng)的能觀測(cè)性和能檢測(cè)性等價(jià)。,3）狀態(tài)空間中所有有限點(diǎn)都是能觀測(cè)的，則系統(tǒng)才是能觀測(cè)的。,4）系統(tǒng)的輸入 以及確定性的干擾信號(hào) 均不改變系統(tǒng)的能觀測(cè)性。,（這個(gè)定理為能觀測(cè)性的一般判

12、據(jù)。但是，由于要計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，比較繁瑣。實(shí)際上，常用下面介紹的判據(jù)。）,定理3-10 （18）式所描述的系統(tǒng)為能觀測(cè)的充分必要條件是以下能觀性矩陣滿秩，即,（21）,（22）,證明 設(shè) ， 系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程的解為,（23）,應(yīng)用凱-哈定理，有,則,或者寫成,由于 是已知函數(shù)，因此，根據(jù)有限時(shí)間 內(nèi)的 能夠唯一地確定初始狀態(tài) 的充分必要條件為

13、 滿秩。,例3-9 系統(tǒng)方程如下，試判斷系統(tǒng)的能觀性,（由于以上判據(jù)很簡(jiǎn)單，因此最為常用）,定理3-12 如果（18）式描述的系統(tǒng)的A 陣特征值 互異，經(jīng)過非奇異線性變換成為對(duì)角陣，則系統(tǒng)為能觀測(cè)的充分必要條件是 矩陣中不包含元素全為零的列。,例3-10 有如下兩個(gè)線性定常系統(tǒng)，判斷它們的能觀測(cè)性。,（1）,（2）,解 根據(jù)定理3-12可以判斷，系統(tǒng)（1）是不能觀測(cè)的。系統(tǒng)（2）是能觀測(cè)的。,則

14、系統(tǒng)能觀測(cè)的充分必要條件是矩陣 中與每一個(gè)約當(dāng)子塊第一列對(duì)應(yīng)的列，其元素不全為零。,例3-11 如下線性定常系統(tǒng),試判別系統(tǒng)的能觀測(cè)性。,解 應(yīng)用定理3-13可知，系統(tǒng)能觀測(cè)。,（定理（3-12）、定理（3-13）不僅可以判斷系統(tǒng)能觀測(cè)性，而且對(duì)于不能觀測(cè)的系統(tǒng)，可以知道哪個(gè)狀態(tài)分量不能觀測(cè)。）說明：1.上面通過幾個(gè)定理給出判斷系統(tǒng)能觀測(cè)性的判據(jù)。雖然它們的表達(dá)形式、方法不同，但是，在判斷線性定常系統(tǒng)能觀測(cè)性時(shí)是等價(jià)

15、的。 2.在線性連續(xù)定常系統(tǒng)中，由于能檢測(cè)性和能觀測(cè)性是等價(jià)的，因此，能觀測(cè)性判據(jù)同樣可以判斷能檢測(cè)性。,3.3.2 線性時(shí)變系統(tǒng)的能觀測(cè)性判據(jù),線性時(shí)變系統(tǒng)方程為,（25）,定理3-14 狀態(tài)在時(shí)刻 能觀測(cè)的充分必要條件是存在一個(gè)有限時(shí)刻 ，使得函數(shù)矩陣 的n個(gè)列在 上線性無關(guān)。,定理3-15 狀態(tài)在時(shí)刻 能觀測(cè)的充分必要條件是存在一個(gè)有

16、限時(shí)間 ，使得以下能觀性格拉姆矩陣非奇異。,定義,（26）,（27）,3.4 離散系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性,線性定常離散系統(tǒng)方程為,（29）,3.4.2 能控性判據(jù),（證明見教材96頁）,（30）,定理3-17 系統(tǒng)（29）能控的充分必要條件是能控性矩陣 的秩為n，即,3.4.3 能觀測(cè)性定義,對(duì)于（29）式所描述的系統(tǒng)，根據(jù)有限個(gè)采樣周期的 ，可以惟一地確定系統(tǒng)的任一初始狀態(tài)

17、 ，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測(cè)的。,例3-13 線性定常離散系統(tǒng)方程為,試判斷系統(tǒng)的能觀測(cè)性。,3.4.5 連續(xù)系統(tǒng)離散化后的能控性與能觀測(cè)性,線性定常系統(tǒng)方程為,（31）,定理3-19 如果線性定常系統(tǒng)（31）不能控（不能觀測(cè)），則離散化后的系統(tǒng)（32）必是不能控（不能觀測(cè)）。其逆定理一般不成立。,定理3-20 如果線性離散化后系統(tǒng)（32）能控（能觀測(cè)），則離散化前的連續(xù)系統(tǒng)（31）必是能控（能觀測(cè)）。其逆定理一般不成立。,定

18、理3-21 如果連續(xù)系統(tǒng)（31）能控（能觀測(cè)），A 的全部特征值互異， ，并且對(duì) 的特征值，如果與采樣周期的關(guān)系滿足條件,（33）,則離散化后的系統(tǒng)仍是能控（能觀測(cè)）的。,3.5 對(duì)偶原理,線性定常系統(tǒng)方程為,（34）,構(gòu)造一個(gè)系統(tǒng),（35）,系統(tǒng)（34）和（35）互為對(duì)偶系統(tǒng)。,（上面介紹了系統(tǒng)能控性和能觀測(cè)性。從概念上和形式上都很相似。它給人們一個(gè)啟示，即能控性和能觀測(cè)

19、性之間存在某種內(nèi)在的聯(lián)系。這個(gè)聯(lián)系就是系統(tǒng)的對(duì)偶原理）,（式（35）的系數(shù)矩陣為 ，輸入矩陣為 ，輸出矩陣為 ）,對(duì)偶系統(tǒng)具有兩個(gè)基本特征,1. 對(duì)偶的兩個(gè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣互為轉(zhuǎn)置,2. 對(duì)偶的兩個(gè)系統(tǒng)特征值相同,對(duì)偶原理： 系統(tǒng)（34）的能控性等價(jià)于系統(tǒng)（35）的能觀測(cè)性；系統(tǒng)（34）的能觀測(cè)性等價(jià)于系統(tǒng)（35）的能控性。,例3-15 線性定常系統(tǒng)如下，判斷其能觀測(cè)性。,該對(duì)偶系統(tǒng)的能控

20、性矩陣,對(duì)偶系統(tǒng)能控，根據(jù)對(duì)偶原理，原系統(tǒng)能觀測(cè)。,有了對(duì)偶原理，一個(gè)系統(tǒng)的能控性問題可以通過它的對(duì)偶系統(tǒng)的能觀測(cè)性問題的解決而解決；而系統(tǒng)的能觀測(cè)性問題可以通過它的對(duì)偶系統(tǒng)的能控性問題的解決而解決。這在控制理論的研究上有重要意義。,3.6 能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形,（36）,3.6.1 能控標(biāo)準(zhǔn)形,線性定常系統(tǒng),設(shè)A的特征多項(xiàng)式,能控性矩陣,推論：具有能控標(biāo)準(zhǔn)形的系統(tǒng)一定能控。,（證明參見教材104頁）,例3-16 已知能控的線

21、性定常系統(tǒng),（2）A 的特征多項(xiàng)式,（3）計(jì)算變換矩陣 P,（4）計(jì)算,（5）能控標(biāo)準(zhǔn)形,3.6.2 能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形,系統(tǒng)（36）的能觀測(cè)性矩陣為,則系統(tǒng)能觀測(cè),推論：具有能觀標(biāo)準(zhǔn)形的系統(tǒng)一定能觀。,變換矩陣可取為,（39）,補(bǔ)充定理：能控標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng)和能觀標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng)互為對(duì)偶系統(tǒng)。,3.7 能控性、能觀性與傳遞函數(shù)的關(guān)系,考察SISO線性定常系統(tǒng),（40）,其傳遞函數(shù)為,（41）,傳遞函數(shù)的分子、分母分別為,可以看出，在沒有零極點(diǎn)對(duì)消

22、的情況下，傳遞函數(shù)的特征根和系統(tǒng)矩陣A 的特征值相同。,定理3-24 SISO系統(tǒng) （40）能控又能觀的充分必要條件是 不存在零、極點(diǎn)對(duì)消。,例3-17 線性定常系統(tǒng)方程如下，求系統(tǒng)傳遞函數(shù)，并且判斷系統(tǒng)能控性與能觀性。,解 傳遞函數(shù)為,能控性,能觀性,例3-19 MIMO線性定常系統(tǒng)方程為,傳遞函數(shù)矩陣,能控性,能觀性,可見，傳遞函數(shù)矩陣雖然有零極點(diǎn)對(duì)消，但是系統(tǒng)既能控又能觀。這是因?yàn)闃O點(diǎn)(s-1)還剩一個(gè)，

23、并未消失，只是降低系統(tǒng)重極點(diǎn)的重?cái)?shù)。,（42）,MIMO線性定常系統(tǒng),定理3-25 若系統(tǒng)（42）的狀態(tài)向量和輸入向量之間的傳遞函數(shù)矩陣 的各行線性無關(guān)，則系統(tǒng)能控。,定理3-26 若系統(tǒng)（42）的輸出向量和狀態(tài)向量之間的傳遞函數(shù)矩陣 的各列線性無關(guān)，則系統(tǒng)能觀。,3.8 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解,一個(gè)不能控、不能觀測(cè)的系統(tǒng)，從

24、結(jié)構(gòu)上來說，必定包括能控、不能控以及能觀測(cè)、不能觀測(cè)的子系統(tǒng)。如何按照能控性或能觀測(cè)性進(jìn)行分解呢？ 我們知道，線性變換不改變系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性。因此，可采用線性變換方法將其分解。這里必須解決3個(gè)問題：1、如何分解？2、分解后系統(tǒng)方程的形式為何？3、變換矩陣如何確定？下面介紹結(jié)構(gòu)分解問題。,線性定常系統(tǒng),（43）,3.8.1 按能控性分解,并且 維子系統(tǒng)為,（45）,變換矩陣 的確定方法：因?yàn)榧?/p>

25、矩陣 中有n1個(gè)線性無關(guān)的列向量，再補(bǔ)充 個(gè)列向量，從而構(gòu)成非奇異的矩陣,例3-20 系統(tǒng)方程如下，要求按能控性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解。,經(jīng)過線性變換后,3.8.2 按能觀性分解,定理3-28 若系統(tǒng)（43）不能觀，且狀態(tài) 有 個(gè)狀態(tài)分量能觀，則存在線性變換 ，使其變換成下面形式,（47）,能觀性矩陣 中有 個(gè)線性無關(guān)的行向量，在它們的基

26、礎(chǔ)上，再補(bǔ)充 個(gè)行向量，構(gòu)成變換矩陣。,例3-21 系統(tǒng)方程如下，要求按能觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解。,解,從 中任選兩個(gè)行向量，例如 ，再補(bǔ)充一個(gè)與之線性無關(guān)的行向量。,3.8.3 同時(shí)按能控性和能觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解,定理3-29 若系統(tǒng)（43）不能控，不能觀，且存在線性變換 ，使其變換成下面形式,系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣,（50）,（51）

27、,3.9 實(shí)現(xiàn)問題,（52）,如果給定一個(gè)傳遞函數(shù) ，求得一個(gè)系統(tǒng)方程,注：當(dāng)傳遞函數(shù)分子的階次小于分母的階次時(shí)，有（52）式形式；當(dāng)傳遞函數(shù)分子的階次等于分母的階次時(shí)，有（53）式形式。,在基于狀態(tài)空間方法分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)，要知道系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。然而在有的情況下，只知道系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（矩陣），這時(shí)就要將給定的傳遞函數(shù)（矩陣）描述變成與之輸入輸出特性等價(jià)的狀態(tài)空間表達(dá)式描述。這個(gè)問題稱為系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)問題。這里只討論

28、SISO系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)問題。,3.9.1 能控標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn),系統(tǒng)傳遞函數(shù)為,即：,進(jìn)行拉普拉斯反變換,選擇系統(tǒng)的狀態(tài)變量,于是有 ， ， ， ，,寫成矩陣形式,其中,輔助變量法：,即：,進(jìn)行拉普拉斯反變換,選擇系統(tǒng)的狀態(tài)變量,于是有 ， ， ， ，,寫成矩陣形式

29、,其中,2. 含零點(diǎn),， ， ， ，,寫成矩陣形式,其中,2. 含零點(diǎn),輔助變量法：,即：,進(jìn)行拉普拉斯反變換,選擇系統(tǒng)的狀態(tài)變量,， ， ， ，,寫成矩陣形式,其中,3.9.2 能觀標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn),系統(tǒng)傳遞函數(shù)為,如果令,于是,寫成矩陣形式,3.9.3 并聯(lián)形實(shí)現(xiàn),為簡(jiǎn)單起見，以兩階系統(tǒng)傳遞函數(shù)為例，進(jìn)行介紹。

30、,1）傳遞函數(shù)極點(diǎn)互異,選取,有,則,2）傳遞函數(shù)有重極點(diǎn),矩陣形式,3.9.4 串聯(lián)形實(shí)現(xiàn),設(shè),選擇狀態(tài)變量如下：,則,,則,得到系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式：,3.9.5 最小實(shí)現(xiàn),在所有可能的實(shí)現(xiàn)中，維數(shù)最小的實(shí)現(xiàn)稱為最小實(shí)現(xiàn)。最小實(shí)現(xiàn)也不是惟一的。,3.10 MATLAB的應(yīng)用,3.10.1 判斷線性系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性,用MATLAB可以很方便地求出線性控制系統(tǒng)的能控性矩陣和能觀測(cè)性矩陣，并且求出它們的秩。從而判斷系統(tǒng)的能

31、控性和能觀測(cè)性。函數(shù)ctrb( )和obsv( )分別計(jì)算系統(tǒng)的能控性矩陣和能觀測(cè)性矩陣。格式為：Qc=ctrb(A , B), Qo=obsv(A , C)。,例 3-23 判斷下面的線性系統(tǒng)是否能控？是否能觀測(cè)？,其中,解 先分別計(jì)算系統(tǒng)的能控性矩陣和能觀測(cè)性矩陣。然后，再用rank( )函數(shù)計(jì)算這兩個(gè)矩陣的秩。,輸入以下語句,這些語句的執(zhí)行結(jié)果為,從計(jì)算結(jié)果可以看出，系統(tǒng)能控性矩陣和能觀測(cè)性矩陣的秩都是3，為滿秩，因此

32、該系統(tǒng)是能控的，也是能觀測(cè)的。,注：當(dāng)系統(tǒng)的模型用sys=ss(A,B,C,D)輸入以后，也就是當(dāng)系統(tǒng)模型用狀態(tài)空間的形式表示時(shí)，我們也可以用Qc=ctrb(sys)，Qo=obsv(sys)的形式求出該系統(tǒng)的能控性矩陣和能觀測(cè)性矩陣。,3.10.2 線性系統(tǒng)按能控性或者能觀測(cè)性分解,在用MATLAB進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解時(shí)，不能控（不能觀）的系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)分解的系統(tǒng)方程形式與本章3.8節(jié)不同。,當(dāng)系統(tǒng)能控性矩陣的秩

33、 時(shí)，我們可以使用函數(shù)命令ctrbf( )可以對(duì)線性系統(tǒng)進(jìn)行能控性分解。其調(diào)用格式為 。其中，T為相似變換矩陣。,輸出為一個(gè)向量，sum(K)可以求出能控的狀態(tài)分量的個(gè)數(shù)。,輸出為一個(gè)向量，sum(K)可以求出能觀測(cè)的狀態(tài)分量的個(gè)數(shù)。,,,,解 輸入下列語句,語句執(zhí)行結(jié)果為,,從輸出的向量可以看出有兩個(gè)狀態(tài)分量是能控的。可以驗(yàn)證

34、 ，輸入語句,得到的結(jié)果為,可見，A1=Abar，所得到的結(jié)果是正確的。,3.10.3 線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)換成能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀標(biāo)準(zhǔn)形,下面通過兩個(gè)例子來說明將系統(tǒng)變換成能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀標(biāo)準(zhǔn)形的方法。,,,,運(yùn)行結(jié)果為,表明系統(tǒng)為能控，因此可以變換成能控標(biāo)準(zhǔn)形。而且求出A 的特征多項(xiàng)式為,（即： ， ， ）,,,2）計(jì)算變換矩陣,輸入以下語句,

35、計(jì)算結(jié)果為,計(jì)算結(jié)果為,表明經(jīng)過變換以后的系統(tǒng)方程為,例3-26 系統(tǒng)方程為,其中,求線性變換，將其變換成能觀標(biāo)準(zhǔn)形。,解 1）判斷系統(tǒng)是否為能觀測(cè)，并且求出A陣的特征多項(xiàng)式,輸入下面語句,運(yùn)行結(jié)果為,表明系統(tǒng)為能觀測(cè)，因此可以變換成能觀標(biāo)準(zhǔn)形。而且求出的特征多項(xiàng)式為,（即： ， ， ）,,2）計(jì)算變換矩陣,輸入以下語句,計(jì)算結(jié)果為,3）計(jì)算出能觀標(biāo)準(zhǔn)形,輸入以下語