第一章網(wǎng)絡(luò)理論基礎(chǔ)(3)精簡(jiǎn)版

1、§1-8 網(wǎng)絡(luò)圖論的基本知識(shí),1 網(wǎng)絡(luò)(電路)的圖（線圖Graph）,主要復(fù)習(xí):節(jié)點(diǎn)、支路、路徑、回路、樹、割集P43-P47）,眾所周知，電路（網(wǎng)絡(luò)）的約束分成兩類，一為元件約束，一為結(jié)構(gòu)約束。,結(jié)構(gòu)約束是電路的連接結(jié)構(gòu)對(duì)電網(wǎng)絡(luò)中的電壓和電流的制約關(guān)系（KCL，KVL）,它與元件的性質(zhì)無關(guān)。,因此就用抽象的點(diǎn)來代替原來的節(jié)點(diǎn)。用線段來代替原來的支路，這樣得到的一個(gè)由節(jié)點(diǎn)和支路組成的圖，稱為電路的圖。,既如此，討論這部分關(guān)

2、系時(shí)，就沒有必要把元件畫出。,下面復(fù)習(xí)網(wǎng)絡(luò)圖論的一些術(shù)語(yǔ)。,圖(Graph),圖是拓?fù)洌═opology,Topological Graph ）圖的簡(jiǎn)稱，是節(jié)點(diǎn)和支路的一個(gè)集合。,:: 未賦以方向的圖稱為無向圖。只有部分支路賦以方向的圖稱為混合圖。所有支路都賦以方向的圖稱為有向圖。圖中的方向表示原電路中支路電壓和電流的關(guān)聯(lián)參考方向,::圖并不反映支路之間的耦合關(guān)系!,二端元件的圖,三端元件的圖,雙口元件的圖,元件的圖,網(wǎng)絡(luò)的圖,網(wǎng)絡(luò)拓

3、撲,?i = 0,連接性質(zhì),,抽象,,抽象,無向圖,有向圖,(1)圖的基本概念(名詞和定義),1） 圖,G={支路，節(jié)點(diǎn)},是節(jié)點(diǎn)和支路的一個(gè)集合,2）連通圖,,如果圖G中的任何兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間都至少存在一條路徑，則G稱為連通圖(Connected Graph)，否則稱為非連通圖。,3）有向圖,未賦以方向的圖稱為無向圖。只有部分支路賦以方向的圖稱為混合圖。所有支路都賦以方向的圖稱為有向圖。,由電路中的多口元件造成的非連通圖，可以把不

4、連通的各部分中的任一節(jié)點(diǎn)(一部分只能取一個(gè)節(jié)點(diǎn))之間假設(shè)有一條短路線相連。把這些假設(shè)短路線連接的節(jié)點(diǎn)合并成一個(gè)節(jié)點(diǎn)，這樣所得的圖稱為鉸鏈圖(Hinged Graph)。,鉸鏈圖,,,允許孤立節(jié)點(diǎn)存在,4）子圖,如果圖G1中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)和每條支路都是G圖中的一部分，則稱G1為G 的子圖(Subgraph)。,G,G1,G2,(5)路徑（簡(jiǎn)稱路）,從圖的某一個(gè)節(jié)點(diǎn)出發(fā)，沿著一些支路連續(xù)移動(dòng)到達(dá)另一個(gè)節(jié)點(diǎn)，這樣的一系列支路稱為圖的一條路徑。,一

5、般出發(fā)的節(jié)點(diǎn)稱為始節(jié)點(diǎn)，到達(dá)的節(jié)點(diǎn)稱為終節(jié)點(diǎn)。,支路和節(jié)點(diǎn)只過一次。,(6)回路,1)連通；2)每個(gè)節(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)支路數(shù)恰好為2。,回路,不是回路,回路L是連通圖G的一個(gè)子圖。,具有下述性質(zhì),(7) 樹 (Tree),樹T是連通圖G的一個(gè)子圖，具有下述性質(zhì)：,1)連通；2)包含G的所有節(jié)點(diǎn)；3)不包含回路。,樹是聯(lián)接連通圖全部節(jié)點(diǎn)的最少支路集合。,余樹或補(bǔ)樹：G中對(duì)應(yīng)樹T的余子圖稱為余樹或補(bǔ)樹(Cotree).,圖中虛線支路為樹,,,

6、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1,6,3,4,5,2,1,6,3,4,5,2,1,6,3,4,5,2,樹不唯一,樹支(Tree Branch or Twig) ：屬于樹的支路,連支(Chord or Link) ：屬于G而不屬于T的支路,16個(gè),對(duì)于一個(gè)選定的樹,,,,,樹支數(shù) bt= n-1,連支數(shù) bl=b-(n-1),單連支回路（基本回路）,樹支數(shù) 4,連支數(shù) 3,（8）割集,與

7、廣義節(jié)點(diǎn)（閉合面）的概念相關(guān)聯(lián)。是被閉合面所切割的支路集合。,是把一個(gè)連通圖恰好分成兩部分的最少支路集合。因此與節(jié)點(diǎn)有關(guān)的關(guān)系對(duì)割集也成立。,,1) 把Q 中全部支路移去，將圖恰好分成兩個(gè)分離部分；,2)保留Q 中的一條支路，其余支路都移去， G還是連通的。,,Q1 { 2 , 5 , 4 , 6 },割集Q是連通圖G中的一個(gè)支路集合，具有下述性質(zhì)：,,,,,,,Q4 { 1 , 5 , 2 },Q3{ 1 , 5 , 4},Q2 {

8、2 , 3 , 6 },單樹支割集（基本割集）,Q3 { 1 , 5 ,3 , 6 },Q2 { 3 , 5 , 4},Q1 { 2 , 3 , 6 },,,Q4 { 1 , 5 , 2 },Q3 { 1 , 5 ,3 , 6 },單樹支割集,獨(dú)立割集,單樹支割集,獨(dú)立割集,割集概念的解釋（續(xù)）,三個(gè)分離部分,保留4支路，圖不連通的。,§ 1-9圖的矩陣表示及其性質(zhì),有向圖拓?fù)湫再|(zhì)的描述,（1）關(guān)聯(lián)矩陣(Incidence M

9、atrix),（2）回路矩陣(Loop Matrix),（3）割集矩陣(Cutset Matrix),（4）連通圖的主要關(guān)聯(lián)矩陣的關(guān)系,(1)關(guān)聯(lián)矩陣A,節(jié)點(diǎn)支路關(guān)聯(lián)矩陣Aa，又稱為全階點(diǎn)關(guān)聯(lián)矩陣（或增廣關(guān)聯(lián)矩陣）。其中行：對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)；列：對(duì)應(yīng)支路，流出為正，流入為負(fù)，無關(guān)為零。,Aa中任意去掉一行剩下的行線性無關(guān)，去掉行對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)就做參考節(jié)點(diǎn)（簡(jiǎn)稱參考點(diǎn)）。稱為降階關(guān)聯(lián)矩陣。簡(jiǎn)稱關(guān)聯(lián)矩陣，記為A，（AI=0 對(duì)應(yīng)獨(dú)立的n-1個(gè)獨(dú)立的KC

10、L方程），A的秩為（N-1），Rank（Aa）=Rank（A）=n-1。,用矩陣形式描述節(jié)點(diǎn)和支路的關(guān)聯(lián)性質(zhì),aij = 1 有向支路 j 背離 i 節(jié)點(diǎn),aij= -1 有向支路 j 指向 i 節(jié)點(diǎn),aij =0 i節(jié)點(diǎn)與 j 支路無關(guān),關(guān)聯(lián)矩陣,Aa={aij}n ? b,A={aij}n ? b,1 0 0 -1 0 1,-1 -1 0 0 1 0,0 1

11、 1 0 0 -1,0 0 -1 1 -1 0,,1-1 0 0,0-1 1 0,0 0 1-1,-1 0 0 1,0 1 0-1,1 0-1 0,設(shè)④為參考節(jié)點(diǎn),稱A為（降階）關(guān)聯(lián)矩陣 (n-1)?b ，簡(jiǎn)稱關(guān)聯(lián)矩陣；表征獨(dú)立節(jié)點(diǎn)與支路的關(guān)聯(lián)（連接）性質(zhì)。,(降階)關(guān)聯(lián)矩陣A,若把Aa中的任一行劃去(相當(dāng)于相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)選作參考點(diǎn))，剩下的(n－1)

12、5;b矩陣足以表征有向圖中支路與節(jié)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)關(guān)系，并且(n－1)行是線性無關(guān)的。這種(n－1)×b階矩陣稱為降階(Reduced)關(guān)聯(lián)矩陣，簡(jiǎn)稱關(guān)聯(lián)矩陣 。,關(guān)聯(lián)矩陣A的任何階方子矩陣A0，det A0為0、1或－1。,幺模矩陣(Unimodular Matrix),一個(gè)矩陣如果它的每個(gè)方子矩陣的行列式值均為＋1、－1或0，則稱該矩陣為單模矩陣或幺模矩陣 。,對(duì)n個(gè)節(jié)點(diǎn)的連通圖G，G的關(guān)聯(lián)矩陣A的一個(gè)(n－1)階子方陣非奇異的充

13、分必要條件是此子方陣的列對(duì)應(yīng)圖G的一個(gè)樹的樹支 。,有關(guān) 的定理,:: 一個(gè)樹的關(guān)聯(lián)矩陣 是非奇異的，且,::大子矩陣(Major Submatrix),:: At為大子矩陣。,一個(gè)秩為n的n×m矩陣的大子矩陣定義為該矩陣階數(shù)為n的非奇異子矩陣。,樹的數(shù)目的計(jì)算方法,::比內(nèi)—柯西(Binet-Cauchy)定理 設(shè)矩陣B為m×n階矩陣，C是n×m階矩陣，且m＜n，則,det(BC)＝

14、 的對(duì)應(yīng)大子式的乘積,樹的數(shù)目的計(jì)算方法,結(jié)論：設(shè)圖G是連通的，其關(guān)聯(lián)矩陣為A，則全部樹的數(shù)目為 。,即,設(shè):,支路電壓,支路電流,節(jié)點(diǎn)電壓,矩陣形式的KCL,Ai =,,,,,,,,,,,A i = 0,矩陣形式KVL,（2） 基本回路矩陣B,2. 支路排列順序?yàn)橄冗B(樹)支后樹(連)支。,1 支路j與回路i關(guān)聯(lián)，方向一致,-1 支路

15、j 與回路i關(guān)聯(lián)，方向相反,0 支路j 不在回路i中,約定： 1. 回路電流的參考方向取連支電流方向。,用矩陣形式描述基本回路和支路的關(guān)聯(lián)性質(zhì),B = { b i j } l ? b,選 4、5、6為樹，連支順序?yàn)?、2、3。,1 -1 0 1 0 0,1 -1 1 0 1 0,= [ Bt 1 ],設(shè),矩陣形式的KVL,0 1

16、 -1 0 0 1,B u = 0,B u = 0 可寫成,Bt ut + ul = 0,ul = - Btut,用樹支電壓表示連支電壓,連支電壓,樹支電壓,矩陣形式的KVL的另一種形式,B=[ Bt 1 ],用連支電流表示樹支電流,BT il = i,矩陣形式的KCL,KCL的另一種形式,（3）基本割集矩陣Q,約定 (1) 割集方向與樹支方向相同。 (2)支路排列順序先樹(連

17、)支, 后連(樹)支。,1 j支路與割集i方向一致,-1 j支路與割集i方向相反,0 j 支路不在割集i中,用矩陣形式描述基本割集和支路的關(guān)聯(lián)性質(zhì),Q = { q i j } n-1 ? b,1 0 0 -1 -1 0,0 1 0 1 1 -1,C1:{1,2,4} C2:{1,2,3,5} C3:{2,3,6},設(shè),ut=[

18、u4 u5 u6 ]T,矩陣形式的KCL,0 0 1 0 -1 1,Qi =0,回路矩陣表示時(shí),用連支電流表示樹支電流,矩陣形式的KCL的另一種形式,Qi =0 可寫成,回路矩陣和割集矩陣的關(guān)系,矩陣形式的KVL,用樹支電壓表示連支電壓,QTut=u,KVL的另一種形式,參考節(jié)點(diǎn),1）道路矩陣 P的構(gòu)造,(4）樹的道路（路徑）矩陣P,右圖是某圖的一個(gè)樹，所謂道路是指對(duì)一個(gè)選定的樹，從任意節(jié)點(diǎn)到參考

19、節(jié)點(diǎn)的路徑；所謂道路矩陣是指表征各樹支與路徑(節(jié)點(diǎn))的關(guān)聯(lián)關(guān)系的矩陣。后面的分析將會(huì)看到，道路（路徑）矩陣P的引入會(huì)大大簡(jiǎn)化各關(guān)聯(lián)矩陣的生成。,參考節(jié)點(diǎn),若規(guī)定各道路的選號(hào)與路的起始節(jié)點(diǎn)選號(hào)一致，終點(diǎn)是參考點(diǎn)。則第k條路Pk起始節(jié)點(diǎn)就是節(jié)點(diǎn)k，路的方向從始節(jié)點(diǎn)指向參考節(jié)點(diǎn)。,則：道路矩陣,它的行對(duì)應(yīng)樹支，列對(duì)應(yīng)路徑。,參考節(jié)點(diǎn),p2,p1,p3,p4,p5,按上述規(guī)定寫出P,b2,b1,b3,b4,b5,,下面給出證明,2）,這正是引入

20、道路矩陣的目的，直接生成At的逆，也可把樹支電壓與節(jié)點(diǎn)電壓聯(lián)系起來。,可以證明 的（非零）大子陣,其中下標(biāo)i，k，j分別表示節(jié)點(diǎn)的編號(hào)、道路編號(hào)和支路的編號(hào)。若第j條支路不與節(jié)點(diǎn)i關(guān)聯(lián)時(shí)，ai j=0，第j條支路不在第k條道路Pk上時(shí)，有Pj k=0，此時(shí) 有di k= ai jPj k=0。,令,3） 的證明,只有第j條支路既與i節(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)，又在Pk上才有di k= ai jP

21、j k≠0；此時(shí)節(jié)點(diǎn)i一定在Pk上；,當(dāng)節(jié)點(diǎn)i在Pk上時(shí)，若i=k，則只有Pk上的1條支路與節(jié)點(diǎn)i相關(guān)聯(lián)；若i≠k ，則只有Pk上的2條支路與節(jié)點(diǎn)i相關(guān)聯(lián)。,Ⅱ) i節(jié)點(diǎn)在Pk上，但不是它的始節(jié)點(diǎn)，也不是終節(jié)點(diǎn)，則必有且只有二條支路和與i節(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)，設(shè)為x和y，如圖所示。任意改變x 和y的方向結(jié)果不變。,（Ⅰ）i≠k（i不是Pk的始節(jié)點(diǎn)）,Ⅰ) i節(jié)點(diǎn)不在Pk上， di k= ai jPj k=0；,di k= ai xPx k+ ai

22、 yPy k =(-1)×(1)+(1)×(1)=0,di k= ai xPx k+ ai yPy k =(1)×(-1)+(1)×(1)=0,x,,,,k,i,j1,y,（Ⅱ）i=k（i是Pk的始節(jié)點(diǎn)）,di k= ai xPx k=(1)×(1)=1,di k= ai xPx k=(-1)×(-1)=1,綜合（Ⅰ）（Ⅱ）有,所以,證明結(jié)束,路徑矩陣示例,示例,,3 各關(guān)聯(lián)矩

23、陣間的關(guān)系：設(shè)有n個(gè)節(jié)點(diǎn)b條支的連通圖，支路編號(hào)順序先連支后樹支,可見關(guān)聯(lián)矩陣A包含了網(wǎng)絡(luò)有向線圖的全部結(jié)構(gòu)信息，即表征了網(wǎng)絡(luò)的全部結(jié)構(gòu)約束（對(duì)任一選定的樹和參考節(jié)點(diǎn)）。,（對(duì)應(yīng)同一個(gè)樹）,只規(guī)定了回路與支路、割集與支路的關(guān)系，而圖是節(jié)點(diǎn)與支路的集合，因而不唯一,（給定節(jié)點(diǎn)支路編號(hào)）,（給定樹）,A與圖的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,§ 1-10 網(wǎng)絡(luò)的互聯(lián)規(guī)律性,樹支電流可以用連支電流來表示，連支電流是完備獨(dú)立變量。,1. KCL(電荷守

24、恒)的矩陣形式,一、 KCL、KVL定理的矩陣形式,2. KVL (能量守恒)的矩陣形式,連支電壓可以用樹支電壓來表示，樹支電壓是完備獨(dú)立變量。,各道路的起始節(jié)點(diǎn)對(duì)參考節(jié)點(diǎn)的電壓,為k節(jié)點(diǎn)的電壓（位）,Qf,Qf i=0,u =Qf T ut,小結(jié),ul = - Btut,A,Bf,Ai=0,i = BfT il,u = ATun,Bf u=0,二、特勒根定理,1.功率守恒定律,對(duì)于一個(gè)具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)、b條支路的網(wǎng)絡(luò)，令ub和 ib 分

25、別表示支路電壓列向量和支路電流列向量，且各支路的電壓和電流采用關(guān)聯(lián)參考方向，則,或者,功率守恒定律的證明,或者,擴(kuò)展,KVL,利用KCL,這就是擬（似）功率守恒定理,2. 擬功率守恒定理,或者,擬（似）功率守恒定理的另一種形式,設(shè)網(wǎng)絡(luò)N和 具有相同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)(即 )，支路電壓列向量和支路電流列向量分別為ub 、ib和 、 ， 則有,設(shè)同一個(gè) 網(wǎng)絡(luò)N不同時(shí)刻的電壓電流分別為,則有,或者,和,3. 微

26、分特勒根定理（不同網(wǎng)絡(luò)圖相同或同一網(wǎng)絡(luò)不同時(shí)刻）,或者,一條支路,一條支路,4.特勒根定理的多端口形式（P58）,設(shè)n端口的電壓和電流列向量分別為,由于端口的電壓和電流對(duì)外接支路是非關(guān)聯(lián)參考方向，因此其特勒根定理的表達(dá)式為：,寫成標(biāo)量形式,同理對(duì)網(wǎng)絡(luò) 有：,,,,,,,,應(yīng)用于網(wǎng)絡(luò) N和 有：,設(shè)網(wǎng)絡(luò) N的參數(shù)發(fā)生變化，從而引起各支路電壓和電流的變化 有：,把上述關(guān)系代入（3）得,(4)－(3) 得,（6）式可

27、用于求網(wǎng)絡(luò)的靈敏度，則 就是構(gòu)造的伴隨網(wǎng)路。,實(shí)事上（6）式也可以從特勒根定理的微分形式直接得到，這里的主要強(qiáng)調(diào)端口變量和構(gòu)造端口，即如果原網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部存在獨(dú)立源等可以抽出，以便簡(jiǎn)化分析處理。,三、基爾霍夫定律和特勒根定理的廣義形式,變換 稱為線性的，是指對(duì)于任意實(shí)數(shù)α和β,::,常用線性變換,反變換,(1) 傅立葉變換,正變換,線性變換,常用線性變換（續(xù)）,(2) 相量變換,(3) 拉普拉斯變換,或,反變換,正變換,

28、正變換,反變換,(4) 其它線性變換,一維變換：取增量、取共軛、小波變換、多維變換：派克變換、 相模（解耦）變換、相序變換等,基爾霍夫定律和特勒根定理的廣義形式,變換域的KCL方程和KVL方程,記為,由基本回路矩陣和基本割集矩陣表示的基爾霍夫定律的廣義形式,特勒根定理的廣義形式,§1-11網(wǎng)絡(luò)及元件的基本性質(zhì)(二),陳述網(wǎng)絡(luò)性質(zhì)的三種方式,只討論端口型,根據(jù)組成網(wǎng)絡(luò)的元件－－傳統(tǒng)型,根據(jù)網(wǎng)絡(luò)方程,根據(jù)輸入－輸出關(guān)系－－端口型,

29、一、無源性和有源性,1.定義： 如果一個(gè)線性時(shí)不變?cè)?duì)于任意容許信號(hào)偶 及任意的時(shí)間t，恒有,則稱該元件是無源的，否則稱為有源的。,,時(shí)不變電阻元件的無源判據(jù),對(duì)于線性時(shí)不變電阻元件, 當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意的容許信號(hào)偶 和任意時(shí)刻t, 恒有,該電阻元件才是無源的。,,證明：,,由于電阻元件不儲(chǔ)存能量，故,1 充分性,2 必要性,若取直流信號(hào),則必為一組容許信號(hào)偶。,有源

30、，相矛盾。,假設(shè)論斷不真，則至少存在一個(gè)時(shí)刻,,成立,電阻元件是無源的,無源性示例,無源元件,⊙正值電阻、正值電容、正值電感⊙理想變壓器、回轉(zhuǎn)器⊙伏安特性曲線位于第一、三象限的二端電阻,有源元件,⊙獨(dú)立源、負(fù)值電阻、負(fù)值電容、負(fù)值電感⊙受控源、運(yùn)放、跨導(dǎo)、負(fù)阻抗變換器⊙伏安特性曲線部分位于第二或四象限的二端電阻,當(dāng)式中的等號(hào)只有在u和i同時(shí)為零時(shí)才成立時(shí), 電阻元件稱為嚴(yán)格無源的(Strictly Passive

31、)。,,,,2.可用能量(Available Energy),sup表示取上確界,對(duì)于時(shí)不變?cè)诠ぷ鼽c(diǎn)Q的所有容許信號(hào)偶 和所有 ，可用能量定義為,無源性的一般定義,對(duì)于時(shí)不變非線性元件，若在任何工作點(diǎn)Q的可用能量均是有限的，則該元件是無源的，否則稱為有源的。,3.非能的 (Nonenergic),一個(gè)元件，如果對(duì)于任何容許信號(hào)偶,則稱該元件是非能的，否則稱為能量的。,非能元件既不消耗

32、能量，也不存儲(chǔ)能量,⊙理想變壓器、回轉(zhuǎn)器,,恒有,二、無損性與有損性,定義： 如果一個(gè)n口元件對(duì)于所有有限的，從t0到∞ 平方可積的容許信號(hào)偶 ，亦即,在所有初始時(shí)刻t0之下有,或,則稱該元件是無損的，否則就是有損的。,,三、互易性、反互易性和非互易性,定義：如果線性時(shí)不變?cè)?duì)于任意兩組容許信號(hào)偶 和 ,恒有,“*”為卷積

33、符號(hào),或者,則稱該元件是互易的(Reciprocal) 。,如果恒有,則稱該元件是反互易的(Antireciprocal)。,（頻域）,或者,n端口的互易性、反互易性和非互易性,定義：如果無獨(dú)立源的n端口對(duì)于任意兩組容許信號(hào)偶 和 ,恒有,“*”為卷積符號(hào),或者,則稱該n端口是互易的(Reciprocal) 。,如果恒有,則稱該n端口是反互易的(Antireciprocal)。,（頻域）

34、,或者,設(shè)：n端口網(wǎng)絡(luò)不存在獨(dú)立源，?Z（S）（或Y（S））則有,互易性與非互易性的另一種表達(dá)形式,互易性與非互易性也可用其它網(wǎng)絡(luò)參數(shù)表示。,若,即Z（s）為對(duì)稱陣，同理y（s）也為對(duì)稱陣,稱為反互易的，否則為非互易的,互易性若干命題,uTî=0，ûTi=0；（U1î1+ U2î2=û1i1+û2i2）；,互易定理有三種形式，可由特勒根定理得（P56）：,Σ(UKîK

35、- ûKiK) =0,由互易元件構(gòu)成的n端口，是互易n端口（充分）;,由R、C、L組成的 n口網(wǎng)絡(luò)是互易的;,含受控源的n口網(wǎng)一般不互易，互易n端口內(nèi)不存在獨(dú)立源。,相互互易!,如果兩個(gè)端口數(shù)目相同的線性網(wǎng)絡(luò)(元件)，對(duì)于它們的任意端口容許信號(hào)偶 和,恒有,則稱這兩個(gè)多口網(wǎng)絡(luò)（元件）是相互互易的。,例題,或者,跳過！,四、因果性與非因果性,對(duì)于一個(gè)網(wǎng)絡(luò)，在施加激勵(lì)前沒有響應(yīng)，只有在激勵(lì)施加后才有響應(yīng)

36、，這個(gè)特性稱為起因性。,一個(gè)初始條件為零的物理網(wǎng)絡(luò)，在相同的輸入(原因)下將產(chǎn)生相同的輸出(效果)，這種特性就稱為因果性。,五、無增益特性,網(wǎng)絡(luò)的每一組解均滿足下列兩條性質(zhì):,(1)網(wǎng)絡(luò)N中任一對(duì)節(jié)點(diǎn)之間的電壓幅值小于或等于所有獨(dú)立電源兩端電壓的幅值之和;,(2)流入每一元件任一端鈕的電流的幅值小于或等于流過所有獨(dú)立電源電流的幅值之和。,對(duì)于每一個(gè)直流工作點(diǎn)Q,存在一個(gè)由(n－1)個(gè)線性正值二端電阻組成的n端連通網(wǎng)絡(luò)具有相同的工作點(diǎn)。,

37、充分必要條件:N中的每一個(gè)n端電阻元件滿足無增益判據(jù)(No Gain Criterion),電路無解示例,隧道二極管電路多解示例,六、網(wǎng)絡(luò)解的存在性與唯一性,網(wǎng)絡(luò)解的存在性與唯一性P69！,實(shí)際網(wǎng)絡(luò)總是有解的，且在任何時(shí)刻都有唯一解。但對(duì)由電路模型構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)，可能有解，也可能無解；可能有唯一解，也可能不是唯一的。網(wǎng)絡(luò)無解等或解不唯一說明電路模型不合理。,充分條件,如果電路不含純電壓源回路和純電流源割集，則該電路的解存在并且唯一。,定理,

38、線性電阻電路解的存在性和唯一性,設(shè)線性電阻電路由電路方程 描述,則當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，該電路（網(wǎng)絡(luò)）具有唯一解,,——“H”代表共軛轉(zhuǎn)置。,則稱其為歐姆型矩陣。,歐姆型矩陣,一個(gè)n階方陣F，如果在復(fù)數(shù)域中對(duì)每一個(gè)非零n維列向量X有,顯然，正定陣和負(fù)定陣是歐姆型矩陣，反過來不一定成立。,定理,設(shè)N是一個(gè)既不包含有僅由獨(dú)立電壓源和受控電壓源組成的回路，又不包含有僅由獨(dú)立電流源和受控電流源組成的

39、割集的網(wǎng)絡(luò)。N′是把N中所有獨(dú)立電源置零后得到的網(wǎng)絡(luò)，如果N′的支路導(dǎo)納矩陣為歐姆型，則網(wǎng)絡(luò)N有唯一解。,THE END,結(jié)論,設(shè)N是一個(gè)含有獨(dú)立電源的RLCM網(wǎng)絡(luò)，當(dāng)且僅當(dāng)網(wǎng)絡(luò)沒有僅由電壓源組成的回路和沒有僅由電流源組成的割集時(shí)，該網(wǎng)絡(luò)擁有唯一解。,圖論的若干內(nèi)容！,著色邊定理(與配網(wǎng)故障選線),著色邊定理是Minty于是1960年提出的一個(gè)圖論方面的定理,著色邊定理也與元件的性質(zhì)無關(guān),它僅僅取決于網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。該定理揭示了普遍的網(wǎng)

40、絡(luò)的互連規(guī)律性,近年來,在網(wǎng)絡(luò)理論方面得到廣泛的應(yīng)用 。,給定一有向圖G,把圖中的每條支路著上下列三種顏色之一:紅色、藍(lán)色和綠色.任意取出一條綠顏色支路將其著成深綠色。顯然,對(duì)于任一有向圖,可有許多種不同的著色方式.我們把著色的有向圖稱為有向著色圖(Directed Colored Graph)用 表示。假定網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)數(shù)和支路數(shù)都是有限的,則著色邊定理如下所述,(1)存在一個(gè)由深綠色支路及綠色支路和/或紅色支路形成的回路,該回路

41、中所有綠色支路的方向皆相同,即它們的方向都與回路的方向一致或相反.(2)存在一個(gè)由深綠色支路及綠色支路和/或藍(lán)色支路形成的割集,該割集中所有綠色支路的方向皆相同,即它們的方向都與割集的方向一致或相反,,設(shè) 是一有向著色圖則下述兩條中有且僅有一條成立,定理,,,,,,,,,,,,對(duì)于著色邊定理的幾點(diǎn)說明:,（1）有向圖中支路的著色是任意的,但只能有一條支路著成深綠色。,（2）有向圖中至少有一條支路著成綠色。但是紅色支路集和藍(lán)

42、色支路集可以是空集,即有向著色圖中不存在紅色支路和/或藍(lán)色支路。,（3）定理中所提到的那種回路和割集并不唯一。,推論1 設(shè) 是圖G中任一條支路,將其著成深綠色,剩余的每條支路或者著成紅色或者著成藍(lán)色.則 或者與一些紅色支路形成回路,或者與一些藍(lán)色支路形成割集,但二者不會(huì)同時(shí)成立。,推論 2 回路-割集不相容原理,設(shè) 為有向圖中的任一支路,則存在下述兩種互不相容的可能:,（1） 屬于同一方向回路；,（2）

43、 屬于同一方向割集；,二者必有一個(gè)存在,但不能同時(shí)存在。,在網(wǎng)絡(luò)理論中,應(yīng)用著色邊定理及其推論某些結(jié)論,是很簡(jiǎn)便的,應(yīng)用它們進(jìn)行某些拓?fù)錀l件的判別也特別方便。,通俗的說，這個(gè)猜想認(rèn)為，可以繪制一張“萬能地圖”，指導(dǎo)人們到達(dá)某一目的地，不管他們?cè)瓉碓谑裁次恢?。這個(gè)猜想在2007年9月被以色列數(shù)學(xué)家Avraham Trahtman證明。,路線著色問題,路線著色問題是圖論中最著名的猜想之一,路線著色定理就是說在滿足一定條件的有向圖中，這

44、樣的著色方式一定存在。,圖例中將16條邊著色，那么不管你從哪里出發(fā)，按照“藍(lán)紅紅藍(lán)紅紅藍(lán)紅紅”的路線走9步，你最后一定達(dá)到黃色頂點(diǎn)。,嚴(yán)格的數(shù)學(xué)描述如下。首先來定義同步著色。G是一個(gè)有限有向圖并且G的每個(gè)頂點(diǎn)的出度都是k。G的一個(gè)同步著色滿足以下兩個(gè)條件：1)G的每個(gè)頂點(diǎn)有且只有一條出邊被染成了1到k之間的某種顏色；2)G的每個(gè)頂點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一種走法，不管你從哪里出發(fā)，按該走法走，最后都結(jié)束在該頂點(diǎn)。,最小割集,電力系統(tǒng)的可靠性是電力系統(tǒng)規(guī)

45、劃和運(yùn)行的重要內(nèi)容,是當(dāng)今電力學(xué)術(shù)界的研究熱點(diǎn)?；谧钚「罴目煽啃栽u(píng)估，可以考慮了系統(tǒng)運(yùn)行的實(shí)際情況,例如引起負(fù)荷點(diǎn)停電事件割集, 負(fù)荷點(diǎn)供電的轉(zhuǎn)移特性,網(wǎng)絡(luò)元件的計(jì)劃?rùn)z修和主動(dòng)性故障等。,基于故障樹最小割集的可靠性數(shù)值仿真。它將故障樹分析方法與數(shù)值仿真技術(shù)相結(jié)合, 綜合了兩者的優(yōu)點(diǎn), 基于故障樹的最小割集進(jìn)行數(shù)值仿真, 求解可維修系統(tǒng)的可靠性指標(biāo), 成功地實(shí)現(xiàn)了算法的通用性, 而且還能用于計(jì)算容錯(cuò)系統(tǒng)的任務(wù)可靠度。,基于故障樹的最小

46、割集來進(jìn)行數(shù)值仿真, 消除了傳統(tǒng)仿真技術(shù)的弊端, 提供了一種可維修系統(tǒng)可靠性分析的通用方法。,最小割集是這樣一些底事件的集合, 當(dāng)割集中底事件全發(fā)生時(shí), 故障樹的頂事件就發(fā)生, 且去掉集合中任一底事件,集合將不再是割集。根據(jù)以上定義可知, 只要有一個(gè)割集發(fā)生, 故障樹的頂事件就發(fā)生, 系統(tǒng)就失效。,故障樹的結(jié)構(gòu)函數(shù)可表示為 。只要故障樹頂事件發(fā)生, 則至少有一個(gè)最小割集發(fā)生。最先發(fā)生的最小割集就

47、是導(dǎo)致系統(tǒng)失效的最小割集。直接對(duì)故障樹頂事件的發(fā)生時(shí)間進(jìn)行抽樣和對(duì)抽取最先發(fā)生的最小割集的意義是一樣的, 而最小割集又可以表示成為極易進(jìn)行數(shù)學(xué)處理的數(shù)組形式, 這樣基于故障樹的最小割集, 可以用通用的數(shù)字邏輯來模擬系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)從而編制通用的仿真程序。,主要的網(wǎng)絡(luò)（電路）和元件的性質(zhì),集中和分布性,線性和非線性,時(shí)變和非時(shí)變性,無源和有源性,互易和非互易性,看幾道例題！,例1 試說明受控源是有源元件 。,,解 以VCVS為例說明，其

48、它受控源可作類似討論。,將VCVS的控制支路加一電壓源，受控支路接一正值電阻。,故VCVS是有源元件。,t 時(shí)刻受控源吸收的功率為,,例2 已知一雙口電阻元件的伏安關(guān)系為,式中R1和R2均為正值。試求該元件為無源元件的條件。,解 該元件吸收的功率為,當(dāng) 時(shí)，R是對(duì)稱正定的，p(t)≥0，該雙口電阻元件是無源的。,重排二次型,例3 證明僅由無源元件組成的多口網(wǎng)絡(luò)是無源的，并且這只是一個(gè)充

49、分條件。（無源封閉性）,,設(shè)多口網(wǎng)絡(luò)由個(gè)無源元件組成，這些元件可以是二端的，也可以是多端的。令｛uk，ik｝表示第k個(gè)元件的容許信號(hào)偶(k＝1，2，…，l)，則對(duì)于網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部的容許信號(hào)偶｛ub，ib｝，有,證明,由于元件是無源的，對(duì)于所有k，都有,特勒根定理的多端口形式,,,而t時(shí)刻多口網(wǎng)絡(luò)吸收的功率為,到t時(shí)刻多口網(wǎng)絡(luò)吸收的能量為,這表明該多口是無源的。這種特性稱為封閉性。,例4試判斷圖示電路β取值對(duì)網(wǎng)絡(luò)有無源性的影響。,解：列出相應(yīng)的

50、電路方程,注意：由Z陣可知該網(wǎng)絡(luò)為非互易雙口網(wǎng)絡(luò)，在判斷網(wǎng)絡(luò)的有源性時(shí)要重排二次型！,例5 設(shè)雙口電感元件的電感矩陣為,證明該元件是無源元件的充分必要條件是對(duì)稱正定。,雙口電感元件的伏安關(guān)系為,證明：,1°必要性的證明,該元件在時(shí)刻t吸收的能量為,,,,（1）先說明 件是有源的。,,,,,則,可得,取,假定,電流是任意的,,,（2）當(dāng) 時(shí),這表明,當(dāng)

51、 時(shí)，雙口電感元件是有源元件。因此，元件無源時(shí)，L為對(duì)稱矩陣。,必要性,2°充分性的證明,,,因L對(duì)稱正定，所以W(t)≥0，并且只有在i = 0時(shí)，W(t)=0.因此，L為對(duì)稱正定矩陣時(shí)，該雙口電感元件一定為無源元件。,例6 證明僅由互易元件組成的多口網(wǎng)絡(luò)一定是互易封閉性的；但互易多口網(wǎng)絡(luò)可含有非互易元件。,,,,,,,,,設(shè) 和 是多口網(wǎng)絡(luò)端口的任意兩

52、組容許信號(hào)偶，相應(yīng)的兩組內(nèi)部支路容許信號(hào)偶為 和 。設(shè)多口網(wǎng)絡(luò)由 l個(gè)元件組成，每個(gè)元件相應(yīng)的容許信號(hào)偶為 和 (k=1,2,…,l)，則由特勒根定理得,由于所有元件都是互易的，所以，對(duì)于所有k,,因此,根據(jù)定義，該多口網(wǎng)絡(luò)是互易的。,則該網(wǎng)絡(luò)為線性（ 互易 ）一端口網(wǎng)絡(luò),圖示電路含有非線性（非互易元件）但仍為線性（互易）一端口網(wǎng)路。,列出相應(yīng)

53、的KCL和KVL方程,設(shè)二極管D的模型為正向電阻 和反向電阻 ，它們都是常數(shù)。,,互感元件的受控源等效電路,對(duì)圖示含互感電路求出互感支路支路阻抗陣,求出支路導(dǎo)納陣,[Y]=[Z]-1,該網(wǎng)絡(luò)是互易的！,例7 試推證用混合參數(shù)表示的n端口網(wǎng)絡(luò)互易性的條件。,,,,,,,,,證：,設(shè)：n端口網(wǎng)絡(luò)不存在獨(dú)立源，?H（S）則有,由網(wǎng)絡(luò)互易性定義，有,,把混合參數(shù)代入上式，得,,把混合參數(shù)代入上式，得,,,,,

54、,,,,,,,,,,,,,,,,必有,即,,或,,,,證明方法（二）,設(shè)：n端口網(wǎng)絡(luò)不存在獨(dú)立源，?Y（S）（或（ Z（S））則有,即Y（s）為對(duì)稱陣。,同理可證Z（s）也為對(duì)稱陣。,,,,,,,,,,,,,,,T（s）參數(shù)的證明！,例8 試推證用傳輸（ T（s））參數(shù)表示的n端口網(wǎng)絡(luò)互易性的條件。,設(shè)：n端口網(wǎng)絡(luò)不存在獨(dú)立源，?T（S）則有,把傳輸參數(shù)代入上式，得,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

55、,Z（s）、 Y（s）參數(shù)的證明！,例9 試推證用Z（s）、 Y（s）參數(shù)表示的n端口網(wǎng)絡(luò)互易性的條件。,設(shè)：n端口網(wǎng)絡(luò)不存在獨(dú)立源，?Z（S）（或Y（S））則有,即Z（s）為對(duì)稱陣,同理可證Y（s）也為對(duì)稱陣。,例10 試判別下列零狀態(tài)（?!）系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)是，是否為時(shí)不變系統(tǒng)。,解：（1）,二式相加得：,也是容許偶,∴ 該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。,解：（1）,比較兩式可知,∴ 該系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)。,不是容許偶,解：（2）,二式相加得,∴