如何學(xué)好幾何與代數(shù)2009.11.2

1、如何學(xué)好《幾何與代數(shù)》 陳建龍 東南大學(xué)數(shù)學(xué)系,提 綱一　數(shù)學(xué)是什么二　代數(shù)是什么三　線性代數(shù)是什么四　線性代數(shù)與空間解析幾何的聯(lián)系 五　如何學(xué)好《幾何與代數(shù)》 六 一點(diǎn)希望,一、數(shù)學(xué)是什么恩格斯:數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中的空間形式與 數(shù)量關(guān)系的科學(xué) 數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是‘‘形”與‘‘?dāng)?shù)” 新對(duì)象如: 混沌, 分形幾何等,數(shù)學(xué)科學(xué)按內(nèi)容分五大學(xué)

2、科: （1）基礎(chǔ)數(shù)學(xué) （2）應(yīng)用數(shù)學(xué) （3）計(jì)算數(shù)學(xué) （4）運(yùn)籌學(xué)與控制論 （5）概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),數(shù)學(xué)的核心領(lǐng)域:代數(shù)學(xué)—研究數(shù)的理論 幾何學(xué)—研究形的理論 分析學(xué)—溝通形與數(shù)理論,數(shù)學(xué)與其它學(xué)科的關(guān)系:1.數(shù)學(xué)是一種語(yǔ)言,是一切科學(xué)的共同語(yǔ)言;2.數(shù)學(xué)是一把鑰匙,一把打開科學(xué)大門的鑰匙;3.數(shù)學(xué)是一種工具,一種思維的工具;4.數(shù)學(xué)是一門藝術(shù),一門創(chuàng)造性藝術(shù)。(見(jiàn) 王元明,數(shù)學(xué)

3、是什么,與大學(xué)一年級(jí)學(xué)生談數(shù)學(xué),東南大學(xué)出版社,2003),二、 代數(shù)是什么代數(shù)學(xué)是從代數(shù)方程求根發(fā)展起來(lái)：公元前19-17世紀(jì),古巴比倫解決了一元一次,一元二次方程求根問(wèn)題；公元前4世紀(jì),歐幾里德在《幾何原本》中用幾何方法求解二次方程；公元1世紀(jì),九章算術(shù),三次方程和一次方程組的解法。,由一次方程的求解問(wèn)題發(fā)展起來(lái)的理論稱為線性代數(shù)學(xué),主要研究行列式,矩陣,向量空間,線性變換,型論,不變量論,張量代數(shù) 行列式的概念由日本人

4、關(guān)孝和1683年引入 矩陣的概念由凱雷1855年引入,由高次方程求根問(wèn)題發(fā)展起來(lái)的理論稱為多項(xiàng)式理論 一元高次方程求解———困難 代數(shù)解法：希望和一元二次方程一樣，由方程的系數(shù) 通過(guò)加、減、乘、除、乘方、開方六種運(yùn) 算把根表示出來(lái),結(jié)論: (1) 一元三次、四次方程可求解（代數(shù)解法）; (2) 高于四次方程沒(méi)有代

5、數(shù)解法（伽羅 瓦,1811- 1832），引進(jìn)一個(gè)新的概念“群”; (3) 高于四次的方程可求近似解（計(jì)算數(shù) 學(xué)范疇）,高等代數(shù)：線性代數(shù)學(xué) 多項(xiàng)式理論 近世代數(shù)（抽象代數(shù)）： 研究代數(shù)體系：帶有運(yùn)算的集合，運(yùn)算滿足一

6、 些規(guī)律（如交換律、結(jié)合律、 分配律等） 內(nèi)容：群、環(huán)、域（整數(shù)環(huán)，有理數(shù)域，實(shí)數(shù) 域，復(fù)數(shù)域）,三 、線性代數(shù)是什么 數(shù)學(xué)專業(yè)—高等代數(shù)、近世代數(shù) 非數(shù)學(xué)專業(yè)—線性代數(shù) 一般本科院校非數(shù)學(xué)專業(yè)線性代數(shù)：行列式、矩陣、向量、線性方程組，特征值與特征向量、二次型、線性空間、線性變換 。,

7、線性代數(shù)是研究多個(gè)變量與多個(gè)變量之間線性關(guān)系（即一次關(guān)系）的數(shù)學(xué)分支（代數(shù)分支），這種線性關(guān)系主要通過(guò)矩陣（包含向量）去刻畫和處理，因此矩陣是線性代數(shù)的主要研究對(duì)象。線性代數(shù)是大學(xué)階段三門主要數(shù)學(xué)課程之一。,三門主要課程：（1）高等數(shù)學(xué) 中學(xué)基礎(chǔ)：數(shù)列，函數(shù)（指數(shù)、對(duì)數(shù)、三角函 數(shù)），二次曲線，導(dǎo)數(shù)，積分等。（2）線性代數(shù) 中學(xué)基礎(chǔ)：矩陣和變換（二階行列式、二階

8、 矩陣、二元方程組、特征值和特征向量）， 江蘇版選修課程，附加題。（3）概率統(tǒng)計(jì) 中學(xué)基礎(chǔ)：古典概率，統(tǒng)計(jì)初步（方差、回歸 等）。,重要性：（1）是其他課程學(xué)習(xí)的基礎(chǔ) （2）是進(jìn)一步深造考試的科目 以數(shù)學(xué)一為例：高等數(shù)學(xué) 55%，線性代數(shù) 22.5%，概率統(tǒng)計(jì) 22.5%高等數(shù)學(xué)：連續(xù)性數(shù)學(xué)—主要研究對(duì)象是函數(shù)線性代數(shù)：離散性

9、數(shù)學(xué)—主要研究對(duì)象是矩陣概率統(tǒng)計(jì)：隨機(jī)性數(shù)學(xué)—主要研究對(duì)象是隨機(jī)現(xiàn) 象和數(shù)據(jù),結(jié)論1：線性代數(shù)是大學(xué)三門主要數(shù)學(xué)課程之 一，考研約占數(shù)學(xué)卷的1/4（考研考4 門：政治 100分，英語(yǔ) 100分，數(shù)學(xué)一 150分，專業(yè)課 150分）；結(jié)論2：線性代數(shù)有別于高等數(shù)學(xué)和概率統(tǒng)計(jì)， 培養(yǎng)基本的邏輯推理能

10、力和分析問(wèn)題解 決問(wèn)題的能力。,線性代數(shù)是一門應(yīng)用性強(qiáng)的課程線性代數(shù)的概念來(lái)源于實(shí)際問(wèn)題 線性代數(shù)的理論提供了解決問(wèn)題的方法線性代數(shù)的題目可上機(jī)演算（借用于Matlab軟件—工程中最基本的軟件）線性代數(shù)的問(wèn)題衍生了新的數(shù)學(xué)分支（數(shù)值線性代數(shù)等）,線性代數(shù)的應(yīng)用廣泛： 線性代數(shù)的理論與方法已滲透到自然科學(xué)、工程技術(shù)和經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，1973 諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)工作是將線性代數(shù)應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)

11、的研究。（1）極值問(wèn)題，控制理論，解析幾何中一些問(wèn)題與二次型 有關(guān)；（2）線性差分方程組或線性微分方程組與多變量線性關(guān)系 的時(shí)間離散系統(tǒng)或時(shí)間連續(xù)系統(tǒng)；（3）Google搜索引擎；（4）足球循環(huán)比賽的名次確定；（5）交通流量的預(yù)測(cè)；（6）圖象壓縮等技術(shù)。,線性代數(shù)是一門內(nèi)容抽象邏輯性強(qiáng)的課程 概念多： 矩陣類： 方陣的行列

12、式，矩陣的秩，矩陣的初 等行變 換，初等矩陣伴隨矩陣，可逆矩陣，正交矩陣， 對(duì)稱矩陣，正定矩陣，矩陣的相抵，合同，相似； 向量類： 線性無(wú)關(guān)（相關(guān)），向量的極大無(wú)關(guān)組，基礎(chǔ)解系，特征向量，正交 向量組，向量組的秩。,定理（性質(zhì)，公式）多： 線性方程式有解判 別定理；矩陣可逆的判別定理；線性 相關(guān)的判別定理；唯一表示定理；二 次型為正定二次型判別定理；矩陣可相似對(duì)角陣的判別定理；

13、行列式展開定理。,,,線性代數(shù)是一門“另起爐灶”的課程,（i）線性代數(shù)以矩陣為主線；算術(shù)以數(shù)為主線。,學(xué)會(huì)兩者類比：,學(xué)會(huì)兩者的區(qū)別：,左乘-----排成一行------初等行變換右乘-----排成一列------初等列變換,(ii) 與中學(xué)(矩陣與變換)的聯(lián)系 中學(xué)：二階矩陣；二階行列式；二元 線性方程組；2維分量的內(nèi)積(數(shù)量 積)，長(zhǎng)度；

14、 大學(xué)：m x n矩陣；n階行列式；m x n 線性方程組；n維向量的內(nèi)積(數(shù)量 積)，長(zhǎng)度。 大學(xué)內(nèi)容是中學(xué)內(nèi)容的推廣和深化,,四、 線性代數(shù)與空間解析幾何的聯(lián)系,幾何給代數(shù)提供了模型 代數(shù)給幾何提供了方法,直角坐標(biāo)系，標(biāo)準(zhǔn)正交基仿射坐標(biāo)系，基二次曲面的圖形在高等數(shù)學(xué)中曲面積分密切相關(guān)。,五、 如何學(xué)好《幾何與代數(shù)》 1. 共性方

15、法,不缺課； 幾何與代數(shù)課：內(nèi)容多，課時(shí)少，例題少，講得快；預(yù)習(xí)，聽課，復(fù)習(xí)，作業(yè)，小結(jié)；弄清課堂上或作業(yè)中不懂的內(nèi)容；從特殊到一般, 從低維到高維。,(1) 抽象概念如何掌握和理解? (a) 領(lǐng)會(huì)定義中的關(guān)鍵詞語(yǔ)： 線性相關(guān)：不全為零 特征向量：不等于零 正交向量組：每個(gè)向量非零 正交矩陣前提：實(shí)方陣

16、 正定矩陣前提：實(shí)對(duì)稱 可逆矩陣前提：方陣,2. 個(gè)性方法,借助幾何直觀幫助理解概念； 向量的數(shù)量積，長(zhǎng)度，基，維數(shù)，坐標(biāo)，內(nèi)積，標(biāo)準(zhǔn)正交基，正交變換來(lái)源于幾何(2維或3維)， 學(xué)習(xí)時(shí)與中學(xué)幾何或高數(shù)中空間解析幾何聯(lián)系起來(lái)學(xué)。,(2) 定理，性質(zhì)，公式如何證明 (a) 理清定理的條件和結(jié)論； (b) 利用熟知的結(jié)論證

17、明；,用定義AB=E（或BA=E）; |A| ? 0 ; r(A)=n; 列向量組線性無(wú)關(guān)； A的特征值不為零； Ax=0只有零解； A可經(jīng)過(guò)初等行變換變成E,例如：證明矩陣可逆的常用方法有 ：,(c) 分清楚充分條件，必要條件，充要條件區(qū)別； (d) 先特殊后一般。 先看標(biāo)準(zhǔn)形是否對(duì),再看一般情況是否 對(duì).,原因(一)：光聽(看)不練，或練習(xí)機(jī)會(huì)少。 解決方法：(1)

18、 建議“做例題” 課后把上課 講的，書上的例題自己做一遍； (2) 建議多做典型題目，做后分析 方法，舉一反三，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)。,如何克服“上課時(shí)聽得懂，作業(yè) 不會(huì)做”現(xiàn)象,原因(二)：基本概念不清，重要定理(性質(zhì)，公式)記憶不牢解決辦法： (1) 搞清概念的含義； (2) 定理(性質(zhì)

19、，公式) 的條件，結(jié)論,認(rèn)真審題：如用正交變換化簡(jiǎn)二次型不能同配方法或初等變換法 舊錯(cuò)不犯：如 矩陣左乘，右乘不同；非零矩陣未必可逆；基礎(chǔ)解系不能從非齊次線性方程組中求 檢查驗(yàn)算：把答案回代，是否滿足原題要求。,(4) 如何避免或減少答題中的錯(cuò)誤,(iv) 強(qiáng)化邏輯：充分性“”常搞錯(cuò)； 充分條件，必要條件。 例如: A是實(shí)對(duì)稱陣或A有互不相同的特征

20、值是A相 似對(duì)角化的充分條件 舉例非證：不能用舉例用作證明,可用反例來(lái)否定命 題。 例如: 相似陣特征多項(xiàng)式相同，反之不真。 的特征多項(xiàng)式相同，但 不相

21、似。,特殊（特例）帶入驗(yàn)算法，排除某些選項(xiàng)； 蘊(yùn)含關(guān)系排除法; 如(A) => (B),則不選(A);如 (A) ? (B), 則不選(A),(B)。 舉反例排除法; 如有例子不滿足(C),則不選(C)。 歸謬排除法; 如由選項(xiàng)(A)出發(fā)導(dǎo)出錯(cuò)誤結(jié)論,不 選(A)。,,(5) 如何做單項(xiàng)選擇題（間接法）,善于提問(wèn)，掌握解題方法 (a) 面對(duì)的問(wèn)題從哪里來(lái)？ (b) 用

22、以前學(xué)到的知識(shí)能否解決？ (c) 別人是怎么去解決問(wèn)題的(提出了什么概念，采用了何種方法，解決到哪一步，還剩下什么問(wèn)題)? (d) 能否在別人的基礎(chǔ)之上有所改進(jìn)或創(chuàng)新？結(jié)論：經(jīng)過(guò)思考而得到的知識(shí)更易吸收，更有效提高解題能力。,(6) 如何開展研究型學(xué)習(xí),善于總結(jié)，構(gòu)建知識(shí)體系 從教材，學(xué)習(xí)指導(dǎo)書，老師，同學(xué)，網(wǎng)絡(luò)中歸納總 結(jié)，整理知識(shí)體系，參見(jiàn)教材配套輔導(dǎo)書, 如：

23、《線性代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)》 張小向，陳建龍 編 科學(xué)出版社 2008.3,結(jié)論：經(jīng)過(guò)歸納，類比，得出的知識(shí)體系更 易整體把握實(shí)質(zhì)。,,參考答案,提示,詳細(xì)解答,,善于思考，慎用“題海戰(zhàn)術(shù)” 做完一道題后，思考如下問(wèn)題： (a) 用了哪些條件和哪些知識(shí)點(diǎn)； (b) 有無(wú)其他方法； (c) 結(jié)果意味著什么；

24、 (d) 條件能否減弱； (e) 能否推廣到更一般情況； (f) 能否更進(jìn)一步推出什么？結(jié)論：事半功倍，做研究的方法。,波利亞的《解題表》 喬治·波利亞——美籍匈牙利數(shù)學(xué)家、教育家，數(shù)學(xué)解題方法論的開拓者。 (a) 弄清問(wèn)題； (i) 已知是什么？未知是什么？ (ii) 條件是什么？結(jié)論是什么？ (iii) 畫出草圖，引入適當(dāng)?shù)姆?/p>

25、號(hào)。,擬定計(jì)劃,(i) 見(jiàn)過(guò)這道題或與之類似的題嗎？(ii) 能聯(lián)想起有關(guān)的定理或公式嗎?(iii) 再看看未知數(shù)!(iv) 換一種方式來(lái)敘述這道題.(v) 回到定義看看!(vi) 先解決一個(gè)特例試試.(vii) 這個(gè)問(wèn)題的一般式是什么?(viii) 你能解決問(wèn)題的一部分嗎?,(c) 實(shí)行計(jì)劃 (i) 你用了全部條件嗎? (ii) 實(shí)現(xiàn)你的解題計(jì)劃并檢驗(yàn)每一步驟. (iii) 證明你的每一步都

26、是正確的.(d) 回顧 (i) 檢查結(jié)果并檢驗(yàn)其正確性. (ii) 換一個(gè)方法做這個(gè)題. (iii) 嘗試把你的結(jié)果和方法用到其它問(wèn)題上.,六、 一點(diǎn)希望,要有理想 要有信心，相信自己的能力；要有志向，再拼搏，考研 要勤奮學(xué)習(xí) 大學(xué)是人生中最重要的時(shí)期，是一個(gè)新的起點(diǎn)，不能浪費(fèi)青春年華。華羅庚說(shuō):勤能補(bǔ)拙是良訓(xùn)，一分辛苦一份才。 網(wǎng)迷 → 掛科 →重修

27、→ 成績(jī)單調(diào)遞減,要學(xué)會(huì)學(xué)習(xí) (1) 要及時(shí)調(diào)整學(xué)習(xí)方法，適應(yīng)大學(xué)學(xué) 習(xí)； (2) 學(xué)會(huì)做人，做事，做學(xué)問(wèn) (3) 學(xué)海無(wú)涯，培養(yǎng)自學(xué)能力和創(chuàng)新精 神； (4) 借助網(wǎng)絡(luò)技術(shù)，教務(wù)處課程中心和數(shù) 學(xué)系線性代數(shù)課程網(wǎng)站。 http://math.seu.edu.cn/xxds/index.htm,牢記東南大學(xué)校訓(xùn)：